初中数学人教版九年级上册24.1.3 弦,弧,圆周角-同步试题精编(word解析版)

24.1.3弦,弧,圆周角
知识点1
圆心角的定义
例1．下列图形中的角是圆心角的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
3．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
知识点2
圆心角,弦,弧之间的关系
例4．如图，在中，，，则的度数为（
）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
变式5．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，，求证：．
课堂练习
7．如图，已知在⊙O中，
，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
8．如图，在RtABO中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
（1）若，则弧的度数为　　．
（2）若，，求的长．
9．如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
10．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（
）
①；②；③；④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且
．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
由题意直接根据圆心角的定义即顶点在圆心的角叫做圆心角进行分析判断即可．
【详解】
解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B符合要求．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆心角的定义，熟练掌握圆心角定义的内容即顶点在圆心的角叫做圆心角是解答此题的关键．
2．B
【分析】
观察图形，中间相当于一个圆心角被平分为六份，用一周角度数除以六.
【详解】
解：.
故选：B.
【点睛】
本题考查的对圆心角的概念的认识，将正六边形中心看作圆心角被平分是解答关键.
3．B
【分析】
先利用半径相等得到OA＝OC，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求解
【详解】
解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝25°，
∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．B
【分析】
根据圆心角定理：等弧对等角，根据条件求出相应角的角度，作适当的辅助线，找到的关系，即得答案．
【详解】
如图，连接，
，根据等弧对等角，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
同理在中，得出：，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的弧长对应相等的圆心角，解题的关键是：理解并掌握定理，需要把所求角转化为两个角之差．
5．C
【分析】
利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】
考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
6．证明见解析
【分析】
如图，记圆的圆心为
过作于
过作于
连接
再证明
证明
可得
再证明
从而可得答案．
【详解】
证明：如图，记圆的圆心为
过作于
过作于
连接
【点睛】
本题考查的是直角三角形的全等的判定与性质，弧，弦，圆心角的关系定理，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形．
【详解】
解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．
8．（1）；（2）．
【分析】
（1）连接，利用余角的定义解得，再由圆的半径相等结合三角形内角和180°，解得，继而得到弧的度数；
（2）作于，在中，利用勾股定理解得，由等积法解得，再由勾股定理解得，最后由等腰三角形三线合一性质解题．
【详解】
解：（1）连接，
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
故答案为：；
（2）如图，作于，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦、弦心距的关系、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．相等，理由见解析
【分析】
根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由D、E分别是半径OA、OB的中点，可得OD=OE，利用SAS判定△DOC≌△EOC，继而证得结论．
【详解】
解：CD=CE，理由如下：
∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD=CE．
【点睛】
本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
10．D
【分析】
如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】
解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（1）5；（2）
【分析】
（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】
解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．
∴OF＝OD cos∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．
【点睛】
本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.
12．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝(x+3)2，
解得：x＝，
∴OM＝．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
答案第10页，总10页