初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角-同步试题精编(word解析版)

24.1.4圆周角
知识点1
圆周角定理
例1．如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法中正确的是（
）
A．是的弦
B．是圆心角
C．是圆周角
D．
变式2．如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（
）
A．80°
B．100°
C．120°
D．130°
3．AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（
）
A．32°
B．64°
C．116°
D．128°
知识点2
同弧或等弧所对的圆周角相等
例4．如图，、是的直径，，交于点，，则的度数为（
）
A．20°
B．40°
C．60°
D．70°
变式5．如图，是的直径，点，在圆上，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（
）
A．5
B．
C．5
D．
知识点3
直径所对的圆周角
例7．如图，半径为5的经过点C和点O，点B是y轴右侧的优弧上一点，，则点C的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
变式8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
9．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧上一点，则∠ACB＝_______．
课堂练习
10．如图，在⊙O中，AC=AB,
直径BC=2,
,
则AD=___．
11．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤
作法
推断
第一步
在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接
①
，理由是
②
第二步
过点C作的垂线，交于点D，交于点E
，
③
第三步
作射线
射线平分
射线为所求作．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β，
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．
13．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．
14．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
试卷第4页，总4页
参考答案
1．B
【分析】
根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、点C不在上，所以AC不是的弦，故错误，不符合题意；
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
2．D
【分析】
在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由∠AOC=
100°
求出∠ADC=
∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC=
180°
，即可求出∠ABC的度数．
【详解】
在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC=
100°
，
∴∠ADC=
∠AOC=50°
，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=
180°
，
∴∠ABC=
180°
-50°
=130°
，
故选：D．
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
3．C
【分析】
根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BDC＝32°
∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°
∴∠AOC=180°-∠BOC=116°
故选：C
【点睛】
考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．
4．C
【分析】
先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．
【详解】
解：∵∠A＝20°，
∴∠EOD＝2∠A＝40°，
又∵，
∴∠ADB＝∠A＝20°，
∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
5．B
【分析】
由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．A
【分析】
首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．
【详解】
解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，
此时AP+PB=QP+PB=QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵B为的中点，
∴∠BOD=∠ACD=30°，
∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，
∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵直径CD=10，
∴OB=CD=×10=5，
∴BQ===5，即PA+PB的最小值为5
．
故选A．
【点睛】
此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．
7．A
【分析】
先根据可得CD是的直径，进而求得，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．
【详解】
解：如图，设与x轴的交点为D，连接CD．
∴CD是的直径，
∵的半径为5，
，
，
，
∴点C的坐标为，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
8．70
【分析】
先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．
【详解】
解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°．
故答案为70．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
9．118°
【分析】
在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝124°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×124°＝62°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．
故答案为：118°．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．
【分析】
过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.
【详解】
解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD
∵BC是圆的直径
∴∠BAC=90°=∠BDC
∵
∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB
∴BD=DC
∵DE⊥AB
∴∠AED=90°
∴∠EDA=∠DAB=45°
∴AE=DE
在Rt△ABC中，AC=AB，BC=2，
∴
∴
同理
∴
∴
设AE=DE=x，则BE=4-x
在Rt△DEB中，
∴
解得或
∵，
∴
∴
∴
∴
∴AE=DE=3
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
11．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论
【详解】
解：补全的图形如图1所示．
①∵OQ是直径
∴∠OPQ=90°
故答案为：90；
②故答案为：直径所对的圆周角是直角；
③∵CE⊥PQ
∴由垂径定理得：．
故答案为：
【点睛】
本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键
12．（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．
【分析】
（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．
【详解】
解：（1）连接OB，
∵∠OAB=α=35°，
∴∠OBA=35°，
∴∠AOB=110°，
∴β=∠AOB=55°；
（2）结论：α+β=90°．
证明：∵∠AOB=180°-2α，β=∠AOB
∴β=90°-α，
∴α+β=90°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．
13．（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．
【分析】
（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【详解】
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=（R-2）cm，
CE=CD=×8=4（cm）．
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R-2）2+42，
解得R=5，
∴OB=5cm．
故圆O的直径为10cm．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．（1）见解析；（2）BD＝2.8
【分析】
（1）利用弧的中点,等腰三角形的性质计算即可．
（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．
【详解】
（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∵C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴，
∴，
∴OF＝1.4，
又∵O是AB的中点，F是AD的中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF＝2.8．
【点睛】
本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．
答案第11页，总11页