初中数学人教版九年级上册24.4.1 弧长和扇形的面积-同步试题精编(word解析版)

24.4弧长和扇形的面积
知识点1
求弧长
例1．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π
B．π
C．π
D．2π
变式2．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，，则弯道外边缘的长为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
知识点2
求圆心角
例4．已知扇形的弧长为2π，半径为8，则此扇形的圆心角为_____度．
变式5．如图，点、、在半径为9的上，的长为，则的度数是______．
6．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形若其中一个扇形的弧长为，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（
）
A．30
B．60
C．105
D．210
知识点3
求扇形的面积
例7．如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以B为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形ABC（阴影部分）的面积是（
）
A．4
B．8
C．
D．
变式8．如图，将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为________．
9．一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是_______．
课堂练习
10．在中，的圆心角所对的弧长是，则的半径是__________．
11．已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为_____cm2．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B（5，2），C（5，5）．
（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）．
13．如图，⊙与的边相切于点，与相交于点，且，
（1）求劣弧的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
14．如图，△ABC内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点．已知⊙O半径为2，∠C＝60°．
（1）求证：△ABD是等边三角形．
（2）求阴影部分的面积．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长公式，熟记公式是解题的关键．
2．C
【分析】
确定半径OA，.根据弧长公式可得．
【详解】
OA=OC+AC=12+4=16(m)，的长为：
（m）,故选C
.
【点睛】
本题主要考查了弧长的计算公式，解题的关键是牢记弧长的公式．
3．（1）55°；（2）．
【分析】
（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；
（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∠CAD=35°，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠OAC=55°；
（2）连接OE，OC，如图，
由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，
∵OA=OE，
∴∠AEO∠EAO70°，
∵OC∥AE，
∴∠COE=∠AEO=70°，
∴AB=2，则OC=OE=1，
∴的长为．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
4．
【分析】
根据扇形的弧长公式解题．
【详解】
解：由弧长公式得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形的弧长公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．20°
【分析】
连接、，由弧长公式的可求得，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得．
【详解】
解：连接、，
∵的长为，
∴
∴
∴，
∴．
故答案为：20°
【点睛】
本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
6．D
【分析】
根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧长，再根据弧长公式求解即可．
【详解】
解：由题意可求得圆的周长，
其中一个扇形的弧长，则另一个扇形的弧长，
设另一个扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式：，有：
，解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查弧长的计算，解题关键是理解题意，正确应用弧长公式进行计算．
7．B
【分析】
由正方形的性质得出的长，再利用扇形的面积公式S=弧长×半径解答即可．
【详解】
解：∵正六边形的边长为2，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=2，
∴的长=4×2=8，
∴扇形ABC（阴影部分）的面积S=×8×2=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查正多边形和圆、正方形的性质、扇形的面积公式，熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解答的关键．
8．
【分析】
由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积
=扇形ABB'的面积
=
=2π；
故答案为：2π．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积=扇形ABB'的面积是解题的关键．
9．10
【分析】
设该扇形的半径为rcm，然后根据弧长计算公式可直接进行求解．
【详解】
解：设该扇形的半径为rcm，由题意得：
，解得：；
故答案为10．
【点睛】
本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
10．4
【分析】
直接利用弧长公式求解即可．
【详解】
解：，
∴cm．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记．弧长公式为：．
11．3π
【分析】
根据公式扇形的面积＝弧长与半径积的一半，即可得出答案．
【详解】
解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，
∴扇形的面积是（cm2），
故答案为：3π．
【点睛】
本题考查的是扇形的面积，牢记扇形的面积公式是解决本题的关键．
12．（1）见解析；（2）π
【分析】
（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1；
（2）根据弧长公式即可求出点B经过的路径长．
【详解】
解：（1）∵将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，
∴△ABC和
△A1B1C1关于坐标原点O，
∵A（1，1），B（5，2），C（5，5），
∴A1（-1，-1），B1（-5，-2）C1（-5，-5），
连接A1B1，B1C1，A1C1，即得到△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求；
（2）∵OB＝
，
∴点B经过的路径长为．
【点睛】
本题主要考查了图形的变换——旋转，求弧长，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解题的关键．
13．（1）；（2）．
【分析】
（1）连接，由是⊙的切线可得，再运用直角三角形的性质可得，，最后运用弧长公式计算即可；
（2）在中运用勾股定理可求得BC,然后根据求解即可．
【详解】
解：（1）
连接．
∵是⊙的切线，
∴．
∵，，
∴，．
∴劣弧的长为；
（2）
在中，．
．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式、扇形的面积等知识点，掌握圆的切线的性质是解答本题的关键．
14．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）根据圆周角定理得出根据弧、弦、圆心角的关系得到，即可证明；
（2）连接OA,OB，过O作OM⊥AB于M，则根据圆周角定理得出，由垂径定理得出，再根据30°所对的直角边是斜边的一半，得出,由勾股定理得出，根据扇形和三角形的面积公式即可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵点D是优弧ACB的中点，
∴，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形；
（2）解：连接OA，OB，
过O作OM⊥AB于M，则
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°，
∵OM⊥AB，
∴，
∴
∵⊙O半径为2，
∴OMOA＝1，
∴AM，
∴AB＝2AM＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOB－S△AOB．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定，圆周角定理，扇形的面积计算，垂径定理，30°所对的直角边是斜边的一半，解题关键是掌握相关定理及公式．
答案第9页，总9页