初中数学人教版九年级上册24.2.2 切线长定理及三角形的内切圆-同步试题精编(word解析版)

24.2.2切线长定理及三角形的内切圆
一．选择题
1．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
2．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（
）
A．B．C．
D．
3．如图，在中，是外一点，与相切于两点，是上两点，若，则（
）
A．210°
B．215°
C．220°
D．225°
4．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　）
A．130°
B．50°
C．60°
D．65°
5．在中，，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．
甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是（
）
A．只有甲正确
B．只有丙错误
C．乙、丙都正确
D．甲、乙、丙都正确
二．填空题
7．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为____．
8．如图，在中，，I是内心，O是外心，则__________．
三．解答题
9．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm，CO=8cm．求BC的长及⊙O的半径．
10．已知如图，中，内切圆的半径．求：的最小值．
11．如图，ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心．
试卷第2页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
根据切线长定理即可得结论．
【详解】
解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB＝PA＝4，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝4+4＝8．
则△PCD的周长是8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
2．C
【分析】
根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.
【详解】
解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为的内心，
故选：C．
【点睛】
本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．
3．B
【分析】
连接AB，根据圆内接四边形性质和切线长定理求出和的度数即可．
【详解】
解：连接AB，
∵与相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∵是上两点，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线长定理、圆内接四边形性质、等腰三角形性质，解题关键是恰当连接辅助线，构造等腰三角形和圆内接四边形．
4．D
【分析】
连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数．
【详解】
解：如下图
连OA、OB、OC
∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A
∴OB⊥PB，OA⊥PA
又∠P=50°
∴∠AOB=130°
∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C
∴DB=DC且OC⊥DC
∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC
同理得∠EOC=∠AOC
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC
=∠BOC+∠AOC
=(∠BOC+∠AOC)
=∠AOB=×130°
=65°．
故选：D．
【点睛】
此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键．
5．C
【分析】
首先根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，得其斜边是10，即可求得外接圆半径和内切圆半径．
【详解】
∵AC=6，BC=8，AC=10，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且斜边是AC=10，
∴其外接圆的半径为5，
三角形的内切圆半径=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理的逆定理；解题的关键是灵活运用勾股定理的逆定理判断△ABC是以AC为斜边的直角三角形．
6．B
【分析】
点为的内心，可用角平分线的性质，再用三角形全等可判断甲和乙，当最小，即当时，的周长最小即可判断丙．
【详解】
（1）∵点为的内心，
∴当于，于时，．
当，不垂直于，时，
如图1，过点作于，于．
则．
∵，
∴．∵，
∴．
∵点为的内心，，，
∴．
∴≌．
∴．故甲的判断正确．
（2）如图1，连接．
由（1）可知，四边形的面积为．
∵点的位置固定，
∴四边形的面积是定值．故乙的判断正确．
（3）如图2，过点作于点．
由（1）可得，．
∴的周长．
∴当最小，即当时，的周长最小，此时不垂直于，故丙的判断不正确．
综上所述，答案选B．
【点睛】
此题考查的是三角形的内心，熟悉掌握三角形内心的性质是解题的关键．
7．65°或115°
【分析】
根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数．
【详解】
如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE=∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE
∴∠COD=（360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°．
【点睛】
此题主要考查考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和等知识点的应用，解题的关键是根据题意分情况作图求解．
8．140°
【分析】
根据三角形的内心得出，根据三角形内角和定理求出，进而可求得的度数，根据圆周角定理即可求得∠BOC．
【详解】
解：在△ABC中，∠BIC=125°，I是内心，
∴，
∴，
∴
∴，
∵O是外心，
∴,
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点．正确识别图中相关角是解题关键．
9．BC=10cm，半径为cm．
【分析】
由切线长定理和可证明是直角三角形，在Rt
中，由勾股定理可求得BC长．连接OF，利用等积法可求得OF的长，OF即为半径长．
【详解】
（1）∵AB、BC、CD是的切线
∴BF＝BE，CF＝CG，∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝∠BCD
∵
∴∠ABC＋∠BCD＝
∴∠OBC＋∠BCO＝
∴∠BOC＝
∴是直角三角形
∵BO＝6，CO＝8
∴
∴BC的长为10cm．
（2）连接OF，
∵BC与相切与点F
∴
利用面积可得：
∴
∴的半径为cm．
【点睛】
本题主要考察切线长定理，求得是直角是解题的关键．
10．最小值是．
【分析】
根据Rt△ABC中，内切圆O的半径r，三角形三个边分别为：a、b、c，可得S△ABC＝ab，ab＝2S△，2r＝a＋b c，c＝a＋b 2r，再根据勾股定理列出方程，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】
解：∵中，内切圆的半径，三角形三个边分别为：、、，
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
∴．
两边平方，得，
．
将，代入，得：
，．
∵且，
∴，是方程的两个根．
∵，是正实数，
∴△，即．
．
解得或，不合题意舍去．
∴的最小值是．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心的应用，解决本题的关键是综合运用三角形内切圆的性质、一元二次方程根的判别式等知识．
11．（1）见解析；（2）4，
【分析】
（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，∠ABC+∠COD＝180°，再根据等角的补角得到∠AOD＝∠ABC，然后根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出在AB＝10，再利用切线长定理得到BD＝BC＝6，利用线段差可得AD＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，利用勾股定理得到r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，连接OB交CD于H，如图，则OB垂直平分CD，然后利用面积法可计算出CH，从而得到CD的长．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∵OD=OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOD＝∠OCD+∠ODC
=2∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABC；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∵OC⊥CB，OC为半径，
∴BC为切线，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，
解得r＝3，
∴OC＝3，
连接OB交CD于H，如图，
∵OC＝OD，BC＝BD，
∴OB垂直平分CD，
在Rt△OCB中，OB＝，
∵OB CH＝OC BC，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝．
【点睛】
本题考查切线性质，四边形内角和，等角的补角性质，圆周角定理，等腰三角形性质，外角性质，勾股定理，切线长定理，三角形面积掌握并会利用这些知识是解题关键．
12．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）延长CB交圆于一点，把这点与点D连接，与AB交点即为圆心；
（2）连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O即可．
【详解】
（1）如图1所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB交点即为圆心；
由已知可得∠A+∠DBA=90°，∠EBA=∠C=∠A,故∠EBA
+∠DBA=90°，DE为直径；
（2）如图2所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O．点即为所求．说明：由已知可得，△ADB为等边三角形，由作图可知，AE为直径，DF⊥BC，可得，F是BC中点，进而得出H是AD中点，BH⊥AD，BH过圆心；
【点睛】
本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是准确理解题意，根据圆的有关性质进行作图．
答案第12页，总12页