初中数学人教版九年级上册24.2.1 点和圆的位置关系-同步试题精编(word解析版)

24.2.1点和圆的位置关系
知识点1
点与圆的位置关系判定
例1．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为　
　；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
3．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．
知识点2
三角形的外接圆
例4．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC
=
．
变式5．如图，内接于，，，则的直径等于多少？
6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
课堂练习
7．如图，己知△ABC．
（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．
（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．
8．如图，已知射线OC为∠AOB的平分线，且OA＝OB，点P是射线OC上的任意一点，连接AP、BP．
（1）求证：△AOP≌△BOP；
（2）若∠AOB＝50°，且点P是△AOB的外心，求∠APB的度数；
（3）若∠AOB＝50°，且△OAP为钝角三角形，直接写出∠OAP的取值范围．
9．如图，在中，，于点D，，，以点C为圆心，cm为半径画圆，指出点A，B，D与的位置关系，若要使经过点D，求这个圆的半径.
10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使．
（3）在图③中，连结MA、MC，使．
11．如图：内接于圆，请用尺规作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出外接圆的圆心．
（2）在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为的两倍．
12．如图，D是的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，．
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：点O是的外接圆的圆心．
13．如图是的外接圆，为直径，点C是的中点，连结分别交于点F，E．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
14．如图，是的内接三角形，直径交于点，和的延长线交于点．
（1）若，求证：．
（2）若点在下半圆上运动，则当点运动到什么位置时，的外心在的一边上？请说明理由．
试卷第2页，总4页
参考答案
1．（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4
【分析】
（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
2．（1）（2，0）；（2）点D在⊙M内．
【分析】
（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；根据图形即可得出点M的坐标
（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【详解】
（1）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（2）圆的半径
线段MD=
所以点D在⊙M内．
【点睛】
考查点与圆的位置关系，坐标与图形性质，垂径定理，求出圆心的位置是解题的关键.
3．见解析
【分析】
取AB的中点O，连接DO、HO，根据BD，AH分别是△ABC的高，可得△DAB和△HAB都是直角三角形，斜边都是AB，而点O为斜边中点，则有DO＝HO＝AB＝AO＝BO，也就是说以O为圆心、OA为半径的圆，点D、H、B也在这个圆上，即可证明A、B、H、D四点共圆．
【详解】
证明：如图，取的中点，连接、，
∵BD，AH分别是的高，
和都是直角三角形，且它们的斜边都是，
∵点为斜边中点，
，
也就是说，点、、在以为圆心、为半径的圆上，
即点、、、都在以为圆心、以为半径的圆上，
故可得：、、、四点共圆．
【点睛】
本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．
4．（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可；
（2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
5．12
【分析】
连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理，掌握这些知识点是解题关键．
6．（1）⊙O的半径为；（2）OE
【分析】
(1)过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；
(2)作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,从而计算EH-OH得到OE的长．
【详解】
解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝CHBC＝3，
即AH垂直平分BC，
∴点O在AH上，
在Rt△ABH中，AH4，
连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，
即⊙O的半径为；
（2）作EF⊥AB于F，如图②
∵BD平分∠ABC，
∴EH＝EF，
∵S△ABEBH AEAB EF，
∴，
∴EHAH4，
由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，
∴OE=EH-OH．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点和等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先作和的垂直平分线，它们的交点为，再以点为圆心，为半径作圆，则（除、、外）上任意取一点得到点；
（2）当点为的中点时，点到的距离最大．连接交于，如图，利用垂径定理得到，所以，利用圆周角定理得到，则，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出即可．
【详解】
解：（1）如图，点为所作；
（2）当点为的中点时，点到的距离最大．
连接交于，如图，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
8．（1）证明见解析；（2）∠APB＝100°；（3）0°＜∠OAP＜
65°或90°<∠OAP<155°．
【分析】
（1）根据“SAS”证明即可；
（2）根据三角形外心定义得到PA＝PB＝PO，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠APC＝50°，根据∠APO＝∠BPO即可求解；
（3）根据题意得，分为钝角和为钝角两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP；
（2）∵∠AOB＝50°，
∴∠AOP＝∠BOP＝25°，
∵点P是△AOB的外心，
∴PA＝PB＝PO，
∴∠A＝∠AOP＝25°，
∴∠APC＝∠A＋∠AOP＝50°，
∵△AOP≌△BOP，
∴∠APO＝∠BPO，
∴∠BPC＝∠APC＝50°，
∴∠APB＝100°；
（3）∵∠AOB＝50°，
∴
，
∴，
∴，
如图1，当为钝角时，
90°<∠OAP<155°
；
如图2，当为钝角时，
90°<∠OPA<155°，
即90°<<155°，
∴0°＜∠OAP＜
65°
∴∠OAP的取值范围为：90°<∠OAP<155°或0°＜∠OAP＜
65°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，全等三角形判断，三角形的外心，等腰三角形性质，三角形分类等知识，熟悉相关知识点是解题关键．
9．若使经过点D，这个圆的半径为cm.
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可通过解直角三角形求出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
在中，，
.
在中，，
.
，
点A在外.
，
点B在上.
，点D在内.
若使经过点D，这个圆的半径为cm.
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内
10．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置；
（2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得
，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；
（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置．
【详解】
（1）如图①所示，点M即为所求．
（2）如图②所示，点M即为所求．
（3）如图③所示，点M即为所求．
【点睛】
本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．
11．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）分别作AB的垂直平分线与AC的垂直平分线，交点O为圆心；
（2）连接BO，再过点A作BO的垂线，交⊙O于点D，连接CD，则∠ACD即为所求．
【详解】
解：（1）如图，点O即为所作；
（2）如图，∠ACD即为所作．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，确定圆心，垂径定理，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．
12．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证；
（2）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，由此即可得证．
【详解】
（1），
，
又点D是的边BC的中点，
垂直平分BC，
；
（2）如图，连接BO，
由（1）已证：AD垂直平分BC，
点O在AD上，
，
又，
，
∴点O是的外接圆的圆心．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形外接圆的圆心，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．
13．（1）见解析；（2）2.8
【分析】
（1）由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）连接，由勾股定理求出，得出，求出，则可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，
为的直径，
，
，
是的中点，
，F是AD的中点，
，
，
，
又是的中点，F是AD的中点，
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定理，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
14．（1）见解析；（2）使是的直径或，理由见解析
【分析】
（1）连接．由垂径定理可得，所以，由圆周角定理可得，所以．由，，即可得，由此可得，即可证得
．
（2）根据已知条件易知不可能为90°，分两种情况讨论：①当时，，根据圆周角定理的推论可得为的直径．所以此时的外心在的边上；②当，是直角三角形，所以．所以此时的外心在的边上．
【详解】
（1）如图，连接．
∵，∴，∴，
又，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴．
（2）当是的直径或时，的外心在的一边上．理由如下：
易知不可能为90°，分两种情况讨论：
①当时，，∴为的直径．
此时的外心在的边上；
②当，是直角三角形，∴．
此时的外心在的边上．
综上所述，当点运动到使是的直径或时，的外心在的一边上．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论、三角形外心等知识，解决第（2）问时要注意分情况讨论，不要漏解．
答案第14页，总14页