江苏省高邮市临泽镇高中2021-2022学年高二上学期9月阶段测试数学试题（PDF版含答案）

2021-2022
学年度高二学情检测试卷
数学试卷
2021.09
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第
I卷（选择题）
一、单项选择题：本大题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．
1．已知直线
l经过点
(1, 2)，且与直线2x
3y
1
0
垂直，则
l
的方程为（
）
A．2x+3y
+
4
=
0
B．2x+3y
8
=
0
C．3x
2y
7
=
0
D．3x 2y
1=
0
2．若直线
l
:
y
=
kx

3
与直线
x+
y
3
=
0的交点位于第二象限，则直线
l
的倾斜角的取值
范围是（
）


3


3

A．
,

B．

,


2
4


2
4



3



3

C．
,

D．
,


3
4


2
4

3．若直线
x
y
m
=
0与直线mx+
y

4
=
0平行，则它们之间的距离为（
）
5
2
3
2
A．2
2
B．
C．
D．
2
2
2
4．经过圆
x2
+
y2

4x
+
4y
=
0的圆心，且和直线2x

y
+1=
0垂直的直线方程为（
）
A．2x

y
6
=
0
B．
x
+
2y
+
2
=
0
C．2x
+
y

2
=
0
D．
x

2y
6
=
0
5．已知抛物线C
：
x2
=
2py
(
p

0)的焦点为F
，点
A(t,1)在C
上且满足
AF
=
2，则
p
=
（
）
1
1
A．
B．
C．1
D．2
8
4
1
6．抛物线
y＝－
x2
的准线方程为（
）
4
1
A．x＝
B．x＝1
C．y＝1
D．y＝2
16
7．直线
l过点
A(3,4)，且与点
B(－3,2)的距离最远，则直线
l的方程为(
)
．
A．3x－y－5＝0
B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0
D．3x＋y－13＝0
答案第
1
页，总
4
页
a
8．已知直线
l1：ax+
y

2
=
0，
l
：
(a
+3)
x

2by
+1=
0(a

0,b

02
)互相垂直，则
的取
b
值范围为（
）

1


2


1

A． 0,

B． 0,

C．
,1
D．
(3,+ )

3


3


3

二、多项选择题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得
5分，有选错的得
0分，部分选对的得
2
分．
9．(多选)下列说法中，错误的是（
）
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
y2
x2
10．若方程

=1表示双曲线，则实数
m可能是（
）
4
m
+1
A．8
B．4
C．0
D．－5
1
11．当
0＜k＜
时，直线
l1：kx－y－k＋1＝0
与直线
l2：ky－x－2k＝0
的交点可能是
2
（
）
A．(2，3)
B．(1，2)
1
1
1
2
C．
(
,
)
D．
(
,
)
2
2
3
3
2
2
12．已知直线
l：
ax+
y

2
=
0与C
：
(x
1)
+
(
y

a)
=
4相交于
A,
B两点，若△ABC为钝
角三角形，则满足条件的实数
a的值可能是（
）
1
A．
B．1
C．2
D．4
2
三、填空题：本题共
4小题，每小题
5分，共
20分．
13．圆心为(1，－2)，半径为
3
的圆的标准方程是_________
14．若双曲线
x2
+
ky2
=1的离心率是
2，则实数
k
的值是_____
15．若圆
x2
+
y2
=
4，与圆C
：
x2
+
y2
+
2y
6
=
0相交于A
，
B，则公共弦
AB
的长为
___________.
y2
x2
16．已知双曲线C
:

=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为
F1，F2，过
F1
的直线
a2
b2
答案第
2
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4
页
交双曲线上支于
A，B两点，且满足BF1
=
4F1A,
AF2
=|
AB
|，则双曲线的离心率为
_________．
四、解答题：本大题共
6小题，共
70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（
分）求椭圆
x210
+
9y2
=
36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
18．（12分）已知点N
(0，1)，直线
l
:3x 4y
=
0，直线m
过点N
且与
l
垂直，直线m
交圆
x2
+
y2
=
4于两点
A，B
.
（1）求直线m
的方程；
（2）求弦
AB
的长.
x2
y2
2
19．（12分）已知椭圆
+
=1(a

b

0)的离心率为
，右焦点为
F(1,0)．
a2
b2
2
(1)求此椭圆的标准方程；
(2)若过点
F且斜率为
1
的直线与此椭圆相交于
A、B两点，求|AB|的值．
20．（12分）已知直线方程为
(2 m)
x
+
(2m+1)
y
+3m+
4
=
0
.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m
为何值时，点Q
(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少
答案第
3
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4
页
（3）若直线分别与
x
轴，
y
轴的负半轴交于
A,
B两点，求
AOB
面积的最小值及此时直线
的方程.
21．（12分）已知
P是直线3x
+
4y
+8
=
0上的动点，PA，PB是圆
x2
+
y2
2x 2y
+1=
0
的切线，A
，
B是切点，C
是圆心．
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）当四边形PACB面积最小时，求切线PA，
PB的方程．
x2
y2
22．（12分）已知椭圆C
:
+
=1(a

b

0)，椭圆上动点M
到左焦点距离的最大值为
a2
b2
3，最小值为
1.
（1）求椭圆C
的标准方程；
（2）设点A
为椭圆长轴的左端点，P,Q为椭圆上异于椭圆C
长轴端点的两点，
记直线
1
AP,
AQ斜率分别为
k1,k2，若
k1k2
=

，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定
4
点坐标，若不过定点，请说明理由.
答案第
4
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4
页
参考答案
1．C
【分析】
求出直线
l
的斜率，利用点斜式可得出直线
l
的方程.
【详解】
2
直线
l
与直线2x
3y
1
0
垂直，且直线2x
3y
1
0
的斜率为
，
3
3
所以直线
l
的斜率为
，
2
3
又因为直线
l
经过点P
(1, 2)，所以直线
l
的方程为
y
+
2
=
(x
1)，
2
化简得3x
2y
7
=
0
.
故选：C．
2．D
【分析】
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得
k

1，
结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
y
=
kx

3
3+
3
3k

3
联立方程组
，解得
x
=
,
y
=
，
x
+
y
3
=
0
k
+1
k
+1
3+
3
3k

3
因为两直线的交点位于第二象限，可得

0且

0，解得
k

1，
k
+1
k
+1

3
设直线
l
的倾斜角为
，其中
[0,
)，即
tan

1，解得


，
2
4

3
即直线
l
的倾斜角的取值范围是
(
,
)
.
2
4
故选：D.
3．C
【分析】
m
1
4
根据两条直线平行可得
=

，求出m
=
1，再利用两平行线之间的距离即可求解.
1
1
m
【详解】
直线
x
y
m
=
0与直线mx+
y

4
=
0平行，
m
1
4
则m

0
，且
=

，
1
1
m
答案第
1
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页
求得m
=
1，两直线即为直线
x
y
+1=
0与直线
x

y
+
4
=
0，
|
4
1|
3
2
它们之间的距离为
=
，
2
2
故选：C．
4．B
【分析】
由圆的方程写出圆心坐标，根据与2x

y
+1=
0垂直，写出直线方程即可.
【详解】
由题设，圆的方程可化为
(x 2)2
+
(y
+
2)2
=
8，即圆心为
(2, 2)，
1
∴过圆心且垂直于2x

y
+1=
0的直线方程为
y
+
2
=

(x

2)，整理得
x
+
2y
+
2
=
0
.
2
故选：B
5．D
【分析】
由抛物线的定义求解即可.
【详解】
p
由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，1+
=
2,
p
=
2
2
故选：D
6．C
【详解】
抛物线的标准方程为
x2＝－4y，则准线方程为
y＝1.
故选：C
7．D
【分析】
由题意确定直线斜率，再根据点斜式求直线方程.
【详解】
1
kl
=

=
3 l
:
y

4
=
3(x
3),3x
+
y
13
=
0由题意直线
l与
AB
垂直，所以
4
2
，
3+
3
选
D.
【点睛】
本题考查直线斜率与直线方程，考查基本求解能力.
答案第
2
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页
8．B
【分析】
a
2
a
由直线与直线垂直的性质得
=
，再上a

0，b

0，能求出
的取值范围.
b
a
+3
b
【详解】
解：∵直线
l1：ax+
y

2
=
0，
l
：
(a
+3)
x

2by
+1=
0(a

0,b

02
)互相垂直，
a
2
∴
a
(a
+3)
2b
=
0，∴
=
，
b
a
+3
2

2

∵
a

0，b

0，∴
0,

.
a
+
3

3

a

2

∴
的取值范围为 0,

.
b

3

故选：B.
【点睛】
本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题.
9．ABD
【详解】
解析
A错，因为倾斜角为
90°的直线没有斜率；B错，因为
0°<α<90°时，k>0，
90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为
90°，则它们的斜率不存在，D错．
10．ABC
【分析】
根据双曲线的标准方程特征即可解出．
【详解】
y2
x2
若方程

=1表示双曲线，则其是焦点在
y
轴上的双曲线，所以m
+1
0，即
4
m
+1
m

1．
故选：ABC．
11．CD
【分析】
首先求交点坐标，根据选项，代入验证.
【详解】
答案第
3
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11
页

k
x
= kx

y

k
+1=
0

k
1
联立
，得
，
ky

x

2k
=
0

2k
1y
=

k
1
1
k
2k
1
0

k

，

0，

0，即交点在第二象限，
2
k
1
k
1

k
1

=
k
1
2
1
验证
C
选项，
，得
k
=
，成立，
2k
1
1
3=

k
1
2

k
1

=
k
1
3
1
验证
D
选项，
，得
k
=
，成立，
2k
1
2
4=

k
1
3
故选：CD
12．AC
【分析】
根据
ABC的形状先判断出 CAB的大小，然后结合圆心到直线的距离d
以及sin CAB
的
取值范围求解出a
的取值范围.
【详解】
由题意，圆C
的圆心为
(1,a)，半径为
r
2，
由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则0

CAB

45 ，
2a

2
设圆心C
到直线
l
的距离为d
，则
d
=
，
a2
+1
d
a
1
2
则0

sin CAB
=
=

，
r
a2
+1
2
且直线不经过圆心，即a
+
a

2

0，
a2

4a
+1
0
整理可得
，解得2
3

a

2+
3
，且a
1
.
a
1
所以a (2
3,1)
(1,2+
3
)
.
故选：AC.
2
2
13．
(x
1)
+
(
y
+
2)
=
9
【分析】
答案第
4
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11
页
结合圆的标准方程即可得出结果.
【详解】
由题意知，
圆的圆心为
(1，
2)，半径为
3，
所以圆的标准方程为：
(x 1)2
+
(y
+
2)2
=
9
.
故答案为：
(x 1)2
+
(y
+
2)2
=
9
1
14．
3
【详解】
试题分析：先根据双曲线方程可知
a
和
b，进而求得
c
的表达式，利用离心率为
2
求得
k
的值．根据题意，由于双曲线
x2
+
ky2
=1的离心率是
2，则可知
1
1
c
1
1
1
a
=1,b
=
, c
=
1
,
=
1
=
2,k
=

，故答案为
k
k
a
k
3
3
考点：双曲线的简单性质
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识的积累．
15．2
3
【分析】
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.
【详解】
2
2
由题意
AB
所在的直线方程为：
(x
+
y
+
2y
6)
(x2
+
y2

4)
=
0，即
y
=1，
因为圆心O到直线
y
=1的距离为
1，所以
AB
=
2
22
12
=
2
3
.
故答案为：2
3
3
5
16．
5
【分析】
a
5a
根据向量关系和长度关系表示出
AF
=
，
BF1
=
2a
，
BF2
=
4a1
，
AF2
=
，结合余弦
2
2
定理即可求解.
【详解】
答案第
5
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11
页
由题满足BF1
=
4F1A,
AF2
=|
AB
|，
AF2

AF1
=
AB

AF1
=
4
AF1
=
2a，
a
5a
所以
AF
BF
=
2a
BF1
=
，
1
，
2
=
4a
，
AF2
=
，
F2F1
=
2c，
2
2
2
2

5a


5a

16a2
+





ABF
42
中由余弦定理得：
2
2
cos ABF
=



2
=
，
5a
5
2
4a
2
2
2
216a
+
2a

2c
F1BF
(
)
(
)
4
2中由余弦定理得：cos F1BF2
=
=
，
2 2a 4a
5
2
2
16a2
+
(2a)

(2c)
4
cos F1BF2
=
=
，
2 2a 4a
5
c2
9
3
5
化简得：
=
，所以离心率e
=
.
a2
5
5
3
5
故答案为：
5
17．长轴长为12，短轴长为4、焦点坐标为
(4
2,0)
,( 4
2,0)、顶点坐标为
(6,0)
,( 6,0)
,(0,2)
,(
2
20, 2)和离心率为
3
【分析】
将椭圆方程化成标准方程即可解出．
答案第
6
页，总
11
页
【详解】
x2
y2
因为椭圆
x2
+
9y2
=
36的标准方程为
+
=1，所以a
=
6,b
=
2,c
=
36 4
=
4
2
，
36
4
故长轴长为12，短轴长为4、焦点坐标为
(4
2,0)
,( 4
2,0)、顶点坐标为
(
2
26,0)
,( 6,0)
,(0,2)
,(0, 2)和离心率为
．
3
2
91
18．（1）4x+3y
3
=
0；（2）
.
5
【分析】
（1）由垂直求出直线m
的斜率，由点斜式方程可求出直线m
；（2）利用点到直线的距离
公式求出圆心到直线m
的距离，勾股可求弦长.
【详解】
3
4
解：（1）直线
l
的斜率为
k
=
，则直线m
的斜率为
k
'
=

，又过点N
(0，1)，由点斜式方程
4
3
4
可知直线m
为：
y
=

x+1，即4x+3y
3
=
0
.
3
3
3
（2）直线m
与圆相交，则圆心到直线m
的距离为：d
=
=
，圆的半径为
r
2，所以
5
5
9
2
91
弦长
AB
2
r2
d
2
2
4
.
25
5
x2
4
19．(1)
+
y2
=1；(2)
2
2
3
【详解】
c
=1
x2
2
试题分析：(1)由{c
2

a
=
2

b
=1
+
y
=1
；(2)先求得直线方程为
y＝x－1，
=
2
a
2
2
4
4
2再与椭圆方程联立得3x
－4x＝0
x1＝0，x
＝

AB
=
.
2
3
3
试题解析：(1)由题意知
＝
且
c＝1.
∴a＝
，b＝
＝1.
故椭圆的标准方程为
＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆方程为
＋y2＝1，
①
又直线过点
F(1,0)，且倾斜角为
，斜率
k＝1.
∴直线的方程为
y＝x－1.
②
由①，②联立，得
3x2－4x＝0，
答案第
7
页，总
11
页
解之得
x1＝0，x2＝
.
故|AB|＝
|x1－x2|＝
|0－
|＝
.
4
20．（1）证明见解析；（2）m
=
时，距离最大，最大值为2
13；（3）
AOB
面积的最小
7
值为4，此时直线方程为2x
+
y
+
4
=
0
.
【分析】
（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）易知当定点
P与Q连线垂直时，点Q到直线距离最大；求出PQ方程后，利用直线垂
直关系可构造方程求得m
；利用两点间距离公式可求得最大值；
（3）利用直线方程可
A,
B坐标，并确定m
的取值范围，利用m
表示出
S
AOB
，可得一个分
1
9
S
=

式型的函数，通过换元法可表示出
AOB
2
50
25
，由二次函数最值的求解方法可

+

2
t
2
t
求得所求面积最小值，并求得m
的值，由此可得直线方程.
【详解】
（1）由直线方程整理可得：
( x
+
2y
+3)m+
2x
+
y
+
4
=
0，
x
+
2y
+
3
=
0
x
=
1
由

得：
， 直线恒过定点P
( 1, 2)；
2x
+
y
+
4
=
0
y
=
2
（2）由（1）知：直线恒过定点P
( 1, 2)，
则当PQ与直线垂直时，点Q到直线距离最大，
y
+
2
x+1
又
PQ所在直线方程为：
=
，即3x 2y
1=
0，
4+
2
3+1
4
当
PQ与直线垂直时，3(2 m)
2(2m+1)
=
0，解得：m
=
；
7
2
2
则最大值
PQ
=
( 1 3)
+
( 2
4)
=
2
13
；
（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，
3m+
4

3m
+
4

令
x
=
0得：
y
=

，即B
0,
；
2m+1

2m
+1

3m+
4

3m
+
4

令
y
=
0得：
x
=

，即
A
,
0 ；
2 m

2 m

答案第
8
页，总
11
页

3m
+
4



0
2m
+1
1
又
A,
B位于
x,
y轴的负半轴，
，解得：

m

2；

3m
+
4
2

0

2 m
2
1
3m+
4
3m+
4
1
(3m+
4)
S
=


=

，
AOB
2
2 m
2m+1
2
2m2
+3m+
2
5
t

4
令3m+
4
=
t，则

t
10， m
=
，
2
3
1
t
2
1
9t
2
1
9
S
AOB
=

=

=
2
2

t

4

t

4
2
2t
2
+
25t
50
2
50
25
2
+3
+
2

+

2
，



3

3
t
2
t
5
1
1
2

t
10，


，
2
10
t
5
1
1

50
25

9
则当
=
，即m
=
0时，
+

2
=
， (S
AOB
)
=
4
t2
t
4
t
8
min
，

max
此时直线的方程为：2x
+
y
+
4
=
0
.
54
25
2

4

7
21．（1）2
2
；（2）
y
=

x
+


28

5

5
【分析】
（1）根据四边形PACB面积最小时
P
到C
的距离最小计算即可；
（2）由（1）可知此时PC
与直线3x
+
4y
+8
=
0垂直，求出此时
P
的坐标，再设切线方
程，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可
【详解】
2
2
（1）化简圆
x2
+
y2
2x 2y
+1=
0有
(x 1)
+
(
y
1)
=1，故C
(1,1)
,
AC
=1，
1
又
SPACB
=
2S
PAC
=
2
AC

AP
=
AC

CP
2

AC2
=
CP2
1，故当CP最小时四边形
2
3+
4+8
15
PACB面积最小，此时CP为C
到直线的3x
+
4y
+8
=
0距离CP
=
=
=
3，此时最
32
+
42
5
小面积为
SPACB
=
CP
2
1
=
2
2
1
4
k
=
=
（2）由（1），当四边形PACB面积最小时
CP
3
3
，此时直线PC
的方程为

4
答案第
9
页，总
11
页

4
x
=
4
3x
+
4y
+8
=
0

5

4
7

y
1=
(x
1)，即4x 3y
1=
0又

，解得
，即P

,

.
3
4x
3y
1=
0

7

5
5
y
=


5
7

4

当过
P的直线无斜率时，不与圆C
相切，故设过
P
的直线方程为
y
+
=
k

x
+
，即
5

5

4k
7
4k
7
k
1+
kx

y
+
=
0，又切线PA，
PB，故
5
，即
9k
12
=
5
k
2
+1，两边平
5
=1
k
2
+1
216
2162

4 56 119
54
25
2
方化简得56k
2
216k
+119
=
0，解得
k
=
=
2 56
28
7
54
25
2

4

54
25
2

4

7
故切线PA，
PB的方程分别为
y
+
=

x
+
，即
y
=

x
+


5
28

5

28

5

5
【点睛】
本题主要考查了根据直线与圆的位置关系求解的问题，需要根据相切时圆心到直线的距离
为半径列式求解，计算量较大，属于中档题
x2
y2
22．（1）
+
=1；（2）过定点，
(1,0)
.
4
3
【分析】
（1）由题意可得
a-c=1,a+c=3，求出a,c
，再由a2
=
b2
+
c2即可求解.
（2）讨论直线PQ斜率存在与否，将直线与椭圆方程联立，根据
y
y
1
k1k
=
1
2
2
=

，利用韦达定理化简整理可得(
)(
)
m
2

km
2k
2
=
0，求出m
=
2k
或
x1
+
2
x2
+
2
4
m
=
k
，代入直线方程即可求解.
【详解】
（1）由题可知
a-c=1,a+c=3，
解得
a=2,c=1,则
b=3，
x2
y2
故椭圆C
的标准方程为
+
=1
.
4
3
（2）设点P,Q
的坐标分别为
(x1,
y1
)
,(x2
,
y2
)，
（ⅰ）当直线PQ斜率不存在时，

3


3

由题意知，直线方程和曲线方程联立得：P
1,
，Q
1,
，

2


2

（ⅱ）当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为
y
=
kx
+m
，

x2
y2

+
=1
2
联立
4
3
，消去
y
得：
(4k
+3)
x2
+8kmx
+
(4m2
12)
=
0，


y
=
kx
+m
答案第
10
页，总
11
页
由
=
64k
2m2

4(4k
2
+3)(4m2
12)
=
48(4k
2
m2
+3)

0，有4k
2
+3

m2，
8km
4m2
12
由韦达定理得：
x1
+
x2
=

，
x1x2
=
，
4k
2
+3
4k
2
+
3
y1y2
1
故
k1k2
=
=

，可得：4y
y
+
(x
+
2)(x(x
+
2)(x
+
2)
4
1
2
1
2
+
2)
=
0，
1
2
可得：4(kx1
+m)(kx2
+m)+
(x1
+
2)(x2
+
2)
=
0，
2
整理为：
(4k
+1)
x1x2
+
(4km+
2)(x1
+
x2
)+
4m2
+
4
=
0，
4m2
12
8km
故有
(4k
2
+1)

(4km+
2)
+
4m2
+
4
=
0，
4k
2
+3
4k
2
+3
化简整理得：m2

km
2k
2
=
0，解得：m
=
2k
或m
=
k
，
当m
=
2k
时直线PQ的方程为
y
=
kx+
2k
，即
y
=
k
(x
+
2)，过定点
( 2,0)不合题意，
当m
=
k
时直线PQ的方程为
y
=
kx
k
，即
y
=
k
(x
1)，过定点
(1,0)，
综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线PQ过定点
(1,0)
.(也可以直接设
x=my+n避免讨论)
答案第
11
页，总
11
页