1.5 三角函数的应用 课件-2021-2022学年北师版数学九年级下册(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.5
三角函数的应用
第1章
直角三角形的边角关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
利用解直角三角形的知识解一般实际应用问题
课时导入
回顾与思考
1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素
求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形.
2.直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2
(勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
把∠A换成∠B同样适用.
利用解直角三角形的知识解一般实际应用问题
知1－讲
感悟新知
想一想
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测
得仰角为30°，再往塔的方向前
进50m至B处，测得仰角
为60°，那么该塔有多
高？
(小明的身高忽略不计，结
果精确到1m)
类型1
借助工具测量的应用
知识点
利用解直角三角形的知识解一般实际应用问题
1
感悟新知
知1－讲
1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：
(1)弄清题意，画出示意图；
(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要
解决的问题；
(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；
(4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算；
(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．
感悟新知
知1－练
中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通
状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．
如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B
之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线形道路l上测得如下
数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82
m．求
AB的长．
例
1
知1－练
感悟新知
(结果精确到0.1
m．参考数据：sin
76.1°≈0.97，
cos
76.1°≈0.24，tan
76.1°≈4.0；
sin
68.2°≈0.93，cos
68.2°≈0.37，
tan
68.2°≈2.5)
知1－练
感悟新知
导引：设AD＝x
m，在Rt△ABC中，利用∠BCA的正切值，
可以用含x的代数式表示AB.同理在Rt△ABD中，利
用∠BDA的正切值表示出AB，从而列出关于x的方程，
求出x的值就能求出AB的长了．
知1－练
感悟新知
设AD＝x
m，则AC＝(x＋82)
m.
在Rt△ABC中，tan
∠BCA＝
∴AB＝AC·tan
∠BCA＝(x＋82)tan
68.2°
m.
在Rt△ABD中，tan
∠BDA＝
∴AB＝AD·tan
∠BDA＝xtan
76.1°
m.
∴(x＋82)tan
68.2°＝xtan
76.1°.∴x≈136.67.
∴AB≈4×136.67≈546.7(m)．即AB的长约为546.7
m.
解：
知1－练
感悟新知
1.
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯
脚B与墙脚的距离为1.6
m(即BC的长)，点D与墙的距离为1.4
m(即DE的长)，BD长为0.55
m，则梯子的长为(　　)
A．4.50
m
B．4.40
m
C．4.00
m
D．3.85
m
B
知1－练
感悟新知
小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1
m，则旗杆PA的高度为(　　)
B.
C.
D.
2.
A
知1－讲
感悟新知
3.
如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　)
A．5sin
36°米
B．5cos
36°米
C．5tan
36°米
D．10tan
36°米
C
知1－练
感悟新知
如图
1-5-5，某居民楼Ⅰ高
20
m，窗户朝南，该楼内一
楼住户的窗台离地面的距离
CM
为
2
m，窗户
CD
高
1.8
m.
现计划在楼Ⅰ的正南方距楼Ⅰ
30
m
处新建一居民楼Ⅱ
.
当正午时刻太阳光线与地面成
30°角时，要使楼Ⅱ的影子不影响楼Ⅰ所有住户的采光，新建楼Ⅱ最高只能建多少米？
类型2
借助影子测量的应用
例2
知1－练
感悟新知
设正午时刻太阳光线正好照在楼Ⅰ
一楼的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高
EG=x
m，如图
1-5-5，过
C
作
CF
⊥
EG
于
F，则
FG=CM=2
m.
在
Rt
△
ECF
中，
EF=（
x-2）
m，
FC=30
m，∠ECF=30°，
即新建楼Ⅱ
最高只能建
解：
知2－练
感悟新知
解法提醒：
解本题的关键是将实际中的相关数据，通过建立数学模型，归结到直角三角形中，再用三角函数(
正切)
求解.注：本题也可以用30°角的直角三角形的三边关系，建立方程求解.
知1－练
感悟新知
1.
如图，AB是伸缩式遮阳棚，CD是窗户，要想在夏
至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长
是________米．(假设夏
至的正午时刻阳光与地
平面的夹角为60°)
知1－练
感悟新知
2.
如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好
照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成
45°，∠A＝60°，CD＝4
m，BC＝(4
－2
)
m，则电线杆AB的长为________．
知1－练
感悟新知
如图，要在宽为22
m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2
m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为(　　)
A．(11－2
)
m
B．(11
－2
)
m
C．(11－2
)
m
D．(11
－4)
m
3.
D
课堂小结
三角函数的应用
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解
直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质解直角三角形；
课堂小结
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
三角函数的应用
课堂小结
如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B，并测得其俯角α＝
8°35′
.已知观察所
A
的标高(当水位为
0
m时的高度)
为45.54
m，当时水位为＋2.34
m．求观察所A与船只B的水平距离(结果保留整数，参考数据：sin8°35′≈0.149，cos
8°35′
≈0.989，tan
8°35′≈0.151)．
三角函数的应用
课堂小结
易错点：忽略求正切值的前提.
三角函数的应用
课堂小结
由题意可知AC＝45.54－2.34＝43.2(m)．
在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝8°35′，
tan
∠ABC＝
∴BC＝
因此观察所A与船只B的水平距离约为286
m.
解：
三角函数的应用
课堂小结
易错总结：解题时容易弄错AC的高度，A处的标高为45.54
m(水位为0
m时的高度)，当水位为＋2.34
m时，即水位上升了2.34
m，则AC的高度为45.54－2.34＝43.2(m)．
三角函数的应用