2021-2022学年北师版数学九年级下册3.3 垂径定理 课件-(共41张PPT)

(共41张PPT)
3.3
垂径定理
第3章
圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
垂径定理圆心角与所对的弧、弦之间的关系
垂径定理的推论
课时导入
回顾与思考
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什
么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.
知识点
垂径定理
知1－讲
感悟新知
1
如图,
AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄
AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是
什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
感悟新知
归
纳
知1－讲
垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧.
感悟新知
知1－讲
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
感悟新知
知2－讲
特别提醒
:
垂直于弦的直径”中的直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂
直于弦的线段、直线均可.“
弧”是指弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉了优弧.
感悟新知
知1－讲
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
图1
图2
O
A
E
B
感悟新知
知1－讲
D
O
C
A
E
B
图3
图4
D
O
C
A
E
B
感悟新知
知1－练
例
1
如图所示，弦CD
垂直于⊙
O
的直径AB，垂足为点H，
且CD=2
，BD=
，则AB
的长为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
B
解：连接OD，如图所示.
∵
CD
⊥
AB，CD=2
，∴
CH=DH=
.
在Rt
△
BHD
中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙
O
的半径为r，
在Rt
△
OHD
中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（
）2=r2.
解得r=
∴
AB=3.
感悟新知
知1－练
感悟新知
归
纳
知1－讲
利用垂径定理求线段的长的方法：
垂径定理是解决有关圆的计算、证明问题常用的知识.
求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解.
感悟新知
知1－练
例2
如图所示，在⊙
O
中，AB
为⊙
O
的弦，C，D
是直线
AB
上两点，且AC=BD.
求证：△
OCD
为等腰三角形.
感悟新知
知1－练
导引：
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
感悟新知
知1－练
解：过点O
作OM
⊥
AB，垂足为M，
∵
OM
⊥
AB，∴
AM=BM.
∵
AC=BD，∴
CM=DM.
又∵
OM
⊥
CD，∴
OC=OD.
∴△
OCD
为等腰三角形.
感悟新知
归
纳
知1－讲
垂径定理涉及弦、圆心到弦的垂线段、直径三个量，证明线段相等、证明垂直、证明角相等都经常用到垂径定理.在使用时，若已知圆心，作垂直于弦的半径（或直径）或连半径，是常用的作辅助线的方法.
感悟新知
知1－练
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所
对的弦长)为37.4
m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2
m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
1.
感悟新知
知1－练
解：
如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝
AB＝
×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2)
m，OA＝R
m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9
m.
感悟新知
知1－练
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
2.
解：
相等．理由略．
感悟新知
知1－练
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE≌△ODE
3.
B
感悟新知
知1－练
如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为(　　)
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
4.
C
感悟新知
知1－练
如图，已知⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足
为点D.要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是(　　)
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
5.
B
感悟新知
知1－练
如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C.连接AO并延长交⊙O于点E.连接BE，CE，若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为(　　)
A．12
B．15
C．16
D．18
6.
A
知2－讲
感悟新知
知识点
垂径定理的推论
2
如图,
AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)，
交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
感悟新知
归
纳
知2－讲
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.
感悟新知
归
纳
知2－讲
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
感悟新知
归
纳
知2－讲
即：如图，在⊙O中，
感悟新知
归
纳
知2－讲
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
感悟新知
知2－讲
拓宽视野
:
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：1.
过圆心；2.
垂直于弦；3.
平分弦（非直径）；4.
平分弦所对的劣弧；5.
平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.
知2－练
感悟新知
例
3
如图所示，AB，CD
是⊙
O
的弦，M，N
分别为AB，CD的中点，且∠
AMN
=
∠
CNM.
求证：AB=CD.
感悟新知
知2－讲
方法点拨
:
证明两条弦相等的方法：证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等.根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法.
知2－练
感悟新知
连接OM，ON，OA，OC.
∵
O
为圆心，且M，N
分别为AB，CD
的中点，
∴
AB=2AM，CD=2CN，OM
⊥
AB，ON
⊥
CD.
∴∠
OMA=
∠
ONC=90°
.
∵∠
AMN=
∠
CNM，∴∠
OMN=
∠
ONM.
∴
OM=ON.
又∵
OA=OC，∴
Rt
△
OAM
≌
Rt
△
OCN（HL）.
∴
AM=CN.
∴
AB=CD.
解：
知2－练
感悟新知
如图,
—条公路的转弯处是一段圆弧（即
图中
,点O是
所在圆的圆心），其中CD=
600m，
E为
上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
例4
感悟新知
知2－练
连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=
(R-
90)
m.
∵OE
⊥CD，∴
CF
=
CD
=
×600
=
300
(m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2
=
3002
+
(R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545
m.
解：
知2－练
感悟新知
如图，⊙O的直径CD＝10
cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)
A．8
cm　　
cm　　
C．6
cm　　
D．2
cm
1.
A
知2－练
感悟新知
如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为(　　)
A.
B．3
C．2
D．4
2.
C
感悟新知
知2－练
如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25
m，BD＝1.5
m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(　　)
A．2
m
B．2.5
m
C．2.4
m
D．2.1
m
3.
B
课堂小结
垂径定理
垂径定理：
(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧.
课堂小结
垂径定理
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具
备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为
条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
课堂小结
垂径定理
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，一定正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
课堂小结
垂径定理
易错点：被图形的表面现象所误导
D
错解：
诊断：
根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特殊，因而误认为CD平分OB.