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3.2 代数式
【提升训练】
一、单选题
1．将图①所示的正六边形进行分 ( http: / / www.21cnjy.com )割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第2014个图形中，共有（ ）个正六边形．www.21-cn-jy.com
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A．4027 B．6040 C．6061 D．10066
2．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取．则：21*cnjy*com
若，则第2020次“F运算”的结果是（ ）
A．152 B．19 C．62 D．31
3．如图所示，直线l上有一点O．从该点出发沿着顺时针方向延伸形成回形通道，其回形通道的宽和的长均为单位1，回形线与直线分别交于点，．．．，若从O点到点的回形线为第1圈（即．总长为7），从点到点的回形线为第2圈…．以此类推第2020圈的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．16152 B．16159 C．16160 D．16167
4．我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对，其中，均不是3的倍数，但与的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有（ ）对．
A．1089 B．1122 C．2176 D．2244
5．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴处每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（ ）
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A．0 B．1 C．2 D．3
6．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知有公共端点的射线OA、OB、OC、OD，若点P1、P2、P3、…，按如图所示规律排列，则点P2020落在（ ）
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A．射线OA上 B．射线OB上 C．射线OC上 D．射线OD上
8．一个白色圆生成一个黑色圆，一个黑色圆生成一个白色圆和一个黑色圆，按如图方式排列，依此类推，第十行圆的个数为（ ）
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A．30个 B．34个 C．55个 D．89个
9．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方2剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为n，得到的正三角形的个数记为，则等于（ ）
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A．6060 B．8080 C．6058 D．6061
10．已知整数、、、……满足下列条件：，，，，……，（n为正整数）依此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．小红家的收入分农业收入 ( http: / / www.21cnjy.com )和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%；而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入比今年（ ）
A．增加了4% B．增加了8% C．减少了4% D．减少了8%
12．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖块数为（ ）（用含n的代数式表示）
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A．2+3n B．2n+3 C．3n-2 D．2n-3
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式xy2的系数是
B．单项式﹣6x2的次数为﹣6
C．多项式x3+2x+18是三次三项式
D．多项式3x2+y2﹣2的常数项是2
14．如图，在第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，…则第2019个图形中有（ ）个三角形．www-2-1-cnjy-com
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A．8073 B．8074 C．8075 D．8076
15．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成 ( http: / / www.21cnjy.com )的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（ ）
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A．56 B．72 C．90 D．110
16．某服装店新开张，第一天销售服装件，第二天比第一天多销售5件，第三天的销售量是第二天的3倍少9件，则第三天销售了（ ）
A．件 B．件
C．件 D．件
17．某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
18．有依次排列的三个数：6，2，8，先 ( http: / / www.21cnjy.com )将任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：6，-4，2，6，8，这称为第一次操作，第二次操作后同样可以产生一个新数串：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，继续操作下去，问：第2021次操作后所产生的新数串的所有数之和是（ ）
A．4054 B．4056 C．4058 D．4060
19．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；依此类推，则a2020的值为（ ）
A．26 B．65 C．122 D．123
20．计算，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的结果中个位数字是（ ）
A．2 B．8 C．6 D．0
21．蜜蜂被认为是自然界中最杰 ( http: / / www.21cnjy.com )出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）
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A．61 B．62 C．63 D．65
22．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（ ）
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A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左下角 D．第506个正方形的右下角
23．将一根长为x cm的铁丝围成一个正方形，将它按如图所示的方式向外等距离扩2cm，得到新的正方形，则这根铁丝需要增加（ ）
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A．8cm B．16cm C．(x+8)cm D．(x+16)cm
24．下列所给代数式中，属于单项式的是（ ）
A． B． C． D．
25．多项式的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
26．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 -2 3
第3行 -4 5 -6
第4行 7 -8 9 -10
第5行 11 -12 13 -14 15
……
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ）
A．-4954 B．4954 C．-4953 D．4953
27．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果
……
根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（ ）
A．360 B．339 C．440 D．483
28．有一数值转换器，原理如图所示．若开始 ( http: / / www.21cnjy.com )输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，则第2020次输出的结果是（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
29．下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是本身的数都是正数
B．单项式的次数是2
C．除以一个不为0的数，等于乘以这个数的相反数
D．是一个单项式
30．如图，平面内有公共端点的六条射线、、，、、，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7、…，则数字“2020”在射线（ ）
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A．上 B．上 C．上 D．上
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25，
252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25，
352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25，
…
（1）752＝5625可写成_______，852＝7625可写成________．
（2）由（1）的结果归纳猜想，得（10n＋5）2＝________．
（3）根据上面的归纳猜想，请计算：20052＝_________．
32．2020年6日1日， ( http: / / www.21cnjy.com )湖州市政府发布了全新湖洲城市形象标识，小周同学对新形象标识很感兴趣，用电脑绘画软件绘制了如下图形，其中第（1）个图形有3个形象标识，第（2）个图形有7个形象标识，第（3）个图形有13个形象标识，按此规律绘制下去．2-1-c-n-j-y
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（1）小周绘制的第（5）个图形中有_________个形象标识．
（2）小周绘制的第（n）个图形中有_________个形象标识．
33．定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，时，其“C运算”如下：
若，则第2020次“C运算”的结果是______．
34．如图是用棋子摆成的图案，摆第 ( http: / / www.21cnjy.com )1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第18个图案需要______枚棋子，摆第n个图案需要______枚棋子．21教育名师原创作品
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35．阅读下列材料：
……
计算________．
三、解答题
36．阅读解答：
（1）填空：_____；_____；_____……
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；
（3）根据上述规律，计算：．
37．探究：
，
，
，
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：．
38．如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．21世纪教育网版权所有
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（1）第n个图形中对应的等量关系是_______．
（2）根据（1）的结论，求的值．
39．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为．
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（1）______（用n表示）：_______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定，
例如：．
①计算：的值；
②比较：与的大小．
40．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
青解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：______________．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：______=_______（n为正整数）；
（3）求的值．
41．某市居民使用自来水接如下标准收费（水费按月缴纳）
居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分
单价 2元/ 3元/ 4元/
（1）某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费；
（2）设某户月用水量为n立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含n的代数式表示）；
（3）甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了20元，设甲用户这个月用水，则甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为________元（用含x的代数式表示直接写出答案）．
42．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：2·1·c·n·j·y
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（1）第5个图案中有白色纸片多少张？
（2）第n个图案中有白色纸片多少张？
（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）
43．一个底面半径为，高为装满水的圆柱形水桶；若干个底面半径为的空瓶子，若干个底面半径为，高为圆柱形空杯子，如图，当瓶子内有高度为的溶液，将它倒放时，空余部分的高度为．小钱同学先把桶中的水倒入空瓶子，当倒满n个瓶子后再将剩余的水倒入杯子里．（所有容器的厚度忽略不计）【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）每个瓶子的体积是多少？（结果保留）
（2）水桶中还剩余多少水？（用含n的代数式表示，结果保留）
（3）当时，剩余的水最多能倒满几个杯子？
44．用火柴棒按下面的方式搭图形
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（1）把下表填完整：
图形编号 ① ② ③
火柴棒根数 7
（2）第n个图形需要火柴棒的根数为s，则_____（用含字母n的代数式表示）
（3）是否存在一个图形共有117根火柴棒？若存在，求出是第几个图形，如不存在，请说明理由．
45．这是一个很著名的故事阿基 ( http: / / www.21cnjy.com )米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒……按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．【出处：21教育名师】
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．）
（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：用分数表示无限循环小数：．解：设①．等式两边同时乘以10，得②．将②-①得：，则，∴．【版权所有：21教育】
请参照以上解法或用其它方法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）
46．如图所示，把一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形，已知正方形的边长为，三角形的高为．
（1）用含，的式子表示阴影部分的面积；
（2）若，求阴影部分的面积．
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47．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．如图，请你用“数形结合”的思想．21·cn·jy·com
（1）求的值为 ；
（2）请你利用（1）的结论，求下列各式的值：
①计算：
②计算：
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48．如图1是一个三角形，分别连接 ( http: / / www.21cnjy.com )这个三角形三边的中点得到图2，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：
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（1）将下表填写完整
图形编号 1 2 3 4 5 ……
三角形个数 1 ……
（2）在第n个图形中有_________个三角形（用含n的式子表示）
49．小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在回到家中．设小明出发时的速度为，v与t之间的关系如下表：
100 160 80
（1）小明出发时，离家的距离为_______m．
（2）当t为多少时，小明离家的距离是？请直接写出答案．
（3）当时，求出小明离家的距离s（用含t的代数式表示）
50．用黑白两种颜色的瓷砖按下图所示的方式铺设地面，第1层为1块白色瓷砖，第2层为3块黑色瓷砖，第3层为5块白色瓷砖……
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（1）第7层共有 块瓷砖，第n（n为正整数）层共有 块瓷砖；
（2）若按图示方式铺设n（n为正整数）层瓷砖，求黑白两种颜色瓷砖的数量差．
51．某房间窗户如图所示．其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．
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（1）装饰物所占的面积是多少？
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？
52．电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每 ( http: / / www.21cnjy.com )周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）．
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
实际生产量 +5 -1 -6 +13 -2
（1）用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数；
（2）该厂实行每日计件工资 ( http: / / www.21cnjy.com )制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当n=50时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元 21cnjy.com
53．阅读下面材料：
东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：，称为数列．计算，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列2，，3，因为，所以数列2，，3的最佳值为．
东东进一步发现；当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列，2，3的最佳值为；数列3，，2的最佳值为1；经过研究东东发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料．回答下列问题：
（1）数列的最佳值为__________；
（2）将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为__________，取得最佳值最小值的数列为__________（写出一个即可）；21*cnjy*com
（3）将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
54．两位同学在用标有数字，，，的张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片”和“卡片”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片上的数字乘以，加上，再乘以，再加上卡片上的数字，把最后得到的数的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”
乙同学：“这么神奇？我不信”……
（试验）
（1）如果乙同学抽出的卡片上的数字为，卡片上的数字为，他最后得到的数_______；
（2）若乙同学最后得到的数，则卡片上的数字为_______，卡片上的数字为_______．
（解密）
（3）请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的．
55．阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数：
1，2，4，8，16，32……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都是2，
即
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与 ( http: / / www.21cnjy.com )它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这一常数就叫做等比数列的公比，例如上面数列的比值2即为这个数列的公比．问：
① 等比数列-1，3，-9，27，……的公比是___________，第五项是___________．21·世纪*教育网
② 如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，＝，，……
所以
……
＝______________．（用的代数式表示）
③ 一个等比数列的第二项是8，公比是一，则第八项是______________．
56．研究下列算式，你会发现有什么规律？
①；
②；
③；
④；
⑤；……
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；
（3）请用上述规律计算：．
57．观察下列式子，并探索它们的规律：
，
，
……
（1）尝试写出第四个式子： ；
（2）你观察到的式子规律用正整数n表示为： ；
（3）借助以上规律，化简式子：
58．阅读理解：小莹是一个好学的学生，下面是他从网络搜到两位数乘11速算法．规律：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②．计算过程：68两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①______，②______；
（2）若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数的百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______．（用含、的式子表示）
59．定义：若是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，则______；是的差倒数，…，依次类推，回答下列问题：
（1）______，______，______．
（2）求的值．
60．同学们学过有理数减法 ( http: / / www.21cnjy.com )可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．21教育网
例如：计算．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为，，，．
所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
（1）________；
（2）应用上面的方法计算：．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：．
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3.2 代数式
【提升训练】
1．将图①所示的正六边形进行分割 ( http: / / www.21cnjy.com )得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第2014个图形中，共有（ ）个正六边形．
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A．4027 B．6040 C．6061 D．10066
【答案】B
【分析】
观察第二个图形，有1+3=4个；第三个图形，有1+3+3=7个；依此类推，发现规律即可解答．
【详解】
解：第二个图形中有1+3=4个；
第三个图形中有1+3+3=7个；
...
∴第n个图形中有1+3（n-1）=3n-2个；
∴第2014个图形中有1+3×（2014-1）=6040个；
故选B．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律：结合图形观察前几个具体数值，即可发现每一次总是多3个正六边形是关键．
2．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取．则：
若，则第2020次“F运算”的结果是（ ）
A．152 B．19 C．62 D．31
【答案】D
【分析】
计算出n=49时第1、2、3、4、5、6、7次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．
【详解】
解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n=49为奇数应先进行F①运算，
即3×49+5=152（偶数），
需再进行F②运算，
即152÷23=19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5=62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21=31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5=98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21=49（奇数），
再进行F①运算，得到3×49+5=152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2020÷6=336…4，
则第2020次“F运算”的结果是31．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．21世纪教育网版权所有
3．如图所示，直线l上有一点O．从该点出发沿着顺时针方向延伸形成回形通道，其回形通道的宽和的长均为单位1，回形线与直线分别交于点，．．．，若从O点到点的回形线为第1圈（即．总长为7），从点到点的回形线为第2圈…．以此类推第2020圈的长为（ ）
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A．16152 B．16159 C．16160 D．16167
【答案】B
【分析】
根据回形通道的宽和OP的长均为1和周长公式得出第n圈的长的规律．
【详解】
解：根据回形通道的宽和OP的长均为1得：
第一圈的长是：2×（1+2）+1=7；
第二圈的长是：2×（3+4）+1=15；
第三圈的长是：2×（5+6）+1=23；
则第n圈的长是：2×（2n-1+2n）+1=8n-1，
∴第2020圈的长为8×2020-1=16159，
故选B．
【点睛】
此题考查了图形的变化类，根据周长公式求出各圈的长归纳总结得出规律是解题的关键；主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
4．我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对，其中，均不是3的倍数，但与的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有（ ）对．
A．1089 B．1122 C．2176 D．2244
【答案】D
【分析】
先判断出只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，即可得出结论．
【详解】
解：从1到100这100个自然数中，除3余1的数为，除3余2的数为，为自然数），
而，
所以是3的倍数，
而，，
所以，以及不是3的倍数，
即：两个数的和是3的倍数，只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，
所以，是除3余1的数，必是除3余2的数或是除3余2的数，必是除3余1的数，
而从1到100这100个自然数中，除3余1的数有34个，除3余2的数有33个，
满足条件的有序数对共有对，
答案：．
【点睛】
此题是约数与倍数，主要考查了整除问题，判断出只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数是解本题的关键．21·世纪*教育网
5．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴处每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（ ）
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A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
由于圆的周长为4个单位长度 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以只需先求出数轴在此圆上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【详解】
解：∵-1-（-2020）=2019，
2019÷4=504…3，
∴数轴上表示数-2020的点与圆周上表示数字1的点重合．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴，本题找到表示数-2020的点与圆周上起点处表示的数字重合是解题的关键．
6．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得的值即可．
【详解】
解：P1（1，-1）=（0，2），
P2（1，-1）=P1(P1)=P1(0，2)=（2，-2），
P3（1，-1）=P1（P2）=P1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P4（1，-1）=P1（P3）=P1（0，4）=（4，-4），
P5（1，-1）=P1（P4）=P1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P6（1，-1）=P1（P5）=P1（0，8）=（8，-8），
…
当n为奇数时，Pn（1，-1）=（0，），
∴=（0, ）=（0，21011），
应该等于．
故选C．
【点睛】
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．
7．已知有公共端点的射线OA、OB、OC、OD，若点P1、P2、P3、…，按如图所示规律排列，则点P2020落在（ ）
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A．射线OA上 B．射线OB上 C．射线OC上 D．射线OD上
【答案】B
【分析】
根据图形可以发现点的变化规律：P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，每8个点为一周期循环，从而可以得到点P2020落在哪条射线上．
【详解】
解：由图可得，
P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，每8个点为一周期循环，
∵（2020﹣1）÷8＝252…3，
∴点P2020落在射线OB上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．一个白色圆生成一个黑色圆，一个黑色圆生成一个白色圆和一个黑色圆，按如图方式排列，依此类推，第十行圆的个数为（ ）
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A．30个 B．34个 C．55个 D．89个
【答案】C
【分析】
由题意可得：第一行有一个圆，第二行有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆，第三行有两个圆，第四行有三个圆，第五行有五个圆，第六行有八个圆；由此可得规律为：后一行圆的个数为前面两行圆的个数之和，然后问题可求解．
【详解】
解：由题意可得：
第一行有一个圆，第二行有一个圆，第三行有两个圆，第四行有三个圆，第五行有五个圆，第六行有八个圆；由此可得规律为：
后一行圆的个数为前面两行圆的个数之和，故可得这列数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…….；
∴第十行圆的个数为55个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查图形规律问题，关键是由图形得到基本的规律，然后可进行求解．
9．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方2剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为n，得到的正三角形的个数记为，则等于（ ）
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A．6060 B．8080 C．6058 D．6061
【答案】D
【分析】
根据规律得出数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3(n-1)=3n+1．
【详解】
解：∵剪1次得到4个正三角形，
剪2次得到4+3×1个正三角形，
剪3次得到4+3×2个正三角形，
…，
∴剪n次得到4+3(n-1)=3n+1个正三角形，
∴剪2020次得到3×2020+1=6061个正三角形，即=6061．
故选D．
【点睛】
此类题考查图形的规律，从数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
10．已知整数、、、……满足下列条件：，，，，……，（n为正整数）依此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，，n是偶数时，，然后把n的值代入进行计算即可得解．
【详解】
解：a1=-1，
a2=-|a1+1|=-|-1+1|=0，
a3=-|a2+2|=-|0+2|=-2，
a4=-|a3+3|=-|-2+3|=-1，
a5=-|a4+4|=-|-1+4|=-3，
a6=-|a5+4|=-|-3+5|=-2，
a7=-|a6+4|=-|-2+6|=-4
…，
所以，n是奇数时，，n是偶数时，，
a2019=（2019+1）=-1010，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
11．小红家的收入分农业收入和其他收入两 ( http: / / www.21cnjy.com )部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%；而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入比今年（ ）
A．增加了4% B．增加了8% C．减少了4% D．减少了8%
【答案】A
【分析】
设小红家的其他收入为，则农业收入为，而明年的农业收入和其他收入也可以用表示出来，然后进行比较即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：设小红家的其他收入为，
今年农业收入是其他收入的1.5倍，
则农业收入为，
今年全年的收入是；
明年农业收入将减少，
则明年的农业收入是，
明年的其他收入是，
明年的全年收入是，
所以明年的收入增加的是：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，并明确增加或减少的百分数的计算方法．
12．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖块数为（ ）（用含n的代数式表示）
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A．2+3n B．2n+3 C．3n-2 D．2n-3
【答案】A
【分析】
先观察最左边和最右边各一个白色瓷砖，再观察中间，每一个纵向都有3个白瓷砖，第几个图案就有几列，由此可以得到表达式.
【详解】
解：观察每个图案发现纵向数白色瓷砖每列有3个，
第1个图案有1列，
第2个图案有2列，
第3个图案有3列，
...
以此类推，第n个图案有n列，因此纵向数n列共有3n块白色瓷砖，
由于最左边和最右边各有一块白色瓷砖，
所以共有白色瓷砖数（2+3n）．
故选A．
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【点睛】
本题涉及到了代数式的应用，考查了学生对图形的观察能力和应用代数式的能力，体现了学生分析与归纳的能力．
13．下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式xy2的系数是
B．单项式﹣6x2的次数为﹣6
C．多项式x3+2x+18是三次三项式
D．多项式3x2+y2﹣2的常数项是2
【答案】C
【分析】
利用多项式的项数与次数的定义，单项式的次数与系数的定义解答即可．
【详解】
解：A、单项式xy2的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、单项式﹣6x2的次数为2，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、多项式x3+2x+18是三次三项式，原说法正确，故此选项符合题意；
D、多项式3x2+y2﹣2的常数项是﹣2，原说法错误，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
此题考查单项式的次数及系数定义，多项式的定义及次数与项数定义，常数项定义，熟记定义并运用解决问题是解题的关键．21*cnjy*com
14．如图，在第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，…则第2019个图形中有（ ）个三角形．
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A．8073 B．8074 C．8075 D．8076
【答案】A
【分析】
根据题目中的图形，可以发现三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．
【详解】
解：第1个图形中一共有1个三角形，
第2个图形中一共有1＋4＝5个三角形，
第3个图形中一共有1＋4＋4＝9个三角形，
…
第n个图形中三角形的个数是1＋4（n﹣1）＝4n﹣3，
当n＝2019时，4×2019﹣3＝8073，
∴第2019个图形中有8073个三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据图形变化列代数式寻找规律；关键在于透过数形结合找出变化的规律．
15．如图，是由相同的花盆按 ( http: / / www.21cnjy.com )一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（ ）
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A．56 B．72 C．90 D．110
【答案】C
【分析】
由题意可知，三角形每条边上有3盆花，共计3× ( http: / / www.21cnjy.com )3-3盆花，正四边形每条边上有4盆花，共计4×4-4盆花，正五边形每条边上有5盆花，共计5×5-5盆花，…则正n变形每条边上有n盆花，共计n×n-n盆花，结合图形的个数解决问题．
【详解】
解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32-3盆花，
第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42-4盆花，
第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52-5盆花，
…
第n个图形：正n+2边形每条边上有n+2盆花，共计（n+2）2-（n+2）盆花，
则第8个图形中花盆的个数为（8+2）2-（8+2）=90盆．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查归纳与总结的能力，关键在于根据题意总结归纳出花盆总数的变化规律．
16．某服装店新开张，第一天销售服装件，第二天比第一天多销售5件，第三天的销售量是第二天的3倍少9件，则第三天销售了（ ）21cnjy.com
A．件 B．件
C．件 D．件
【答案】A
【分析】
根据题意可以用代数式表示出第三天的销量，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
第三天的销量为：3（a+5）﹣9＝（3a+6）件，
故选：A．
【点睛】
本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
17．某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
【答案】A
【分析】
原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案．
【详解】
由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元
∵m＞0，
∴m＞0.99m，
∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．
18．有依次排列的三个数：6，2 ( http: / / www.21cnjy.com )，8，先将任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：6，-4，2，6，8，这称为第一次操作，第二次操作后同样可以产生一个新数串：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，继续操作下去，问：第2021次操作后所产生的新数串的所有数之和是（ ）
A．4054 B．4056 C．4058 D．4060
【答案】C
【分析】
首先根据题意，分别求出前三次操作得到 ( http: / / www.21cnjy.com )的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总结出第n次操作：求和结果是16+2n，再把n=2021代入，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：第一次操作：6，-4，2，6，8，求和结果：18，
第二次操作：6，-10，-4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20，
第三次操作：6，-16，-10，6，-4，10，6，-4，2，2，4，2，6，-4，2，6，8，求和结果：22，
……
第n次操作：求和结果：16+2n，
∴第2021次结果为：16+2×2021=4058．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数字的变化规律，要熟练掌握．
19．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；依此类推，则a2020的值为（ ）
A．26 B．65 C．122 D．123
【答案】A
【分析】
根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可计算出a2020的值．
【详解】
解：由题意可得，
a1=52+1=26，
a2=(2+6)2+1=65，
a3=(6+5)2+1=122，
a4=(1+2+2)2+1=26，
…，
由上可得，这列数字依次以26，65，122循环出现，
∵2020÷3=673…1，
∴a2020的值与a1的值相同，
∴a2020的值为26，
故选：A．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出a2020的值．
20．计算，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的结果中个位数字是（ ）
A．2 B．8 C．6 D．0
【答案】D
【分析】
由31-1=2，32-1 ( http: / / www.21cnjy.com )=8，33-1=26，34-1=80，35-1=242，…得出末尾数字以2，8，6，0四个数字不断循环出现，由此用2020除以4看得出的余数确定个位数字即可．
【详解】
解：∵2020÷4=505，
∴32020-1的个位数字是0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了尾数的特征，关键是能根据题意得出个位数字循环的规律是解决问题的关键．
21．蜜蜂被认为是自然界中 ( http: / / www.21cnjy.com )最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）
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A．61 B．62 C．63 D．65
【答案】A
【分析】
根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．
【详解】
解：由图可得，
第一个图有1个蜂巢，
第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，
第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，
…，
则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，
故选：A．
【点睛】
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．
22．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左下角 D．第506个正方形的右下角
【答案】D
【分析】
观察图形可知每个正方形上标4个数 ( http: / / www.21cnjy.com )，由2021÷4=505……1可得出2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，结合1所标的位置即可得出2021标在第506个正方形的右下角．
【详解】
解：观察图形，可知：每个正方形上标4个数，
∵2021÷4=505……1，505+1=506，
∴2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，
∴2021标在第506个正方形的右下角．
故选：D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化找出正方形四个顶点所标的数字的规律是解题的关键．
23．将一根长为x cm的铁丝围成一个正方形，将它按如图所示的方式向外等距离扩2cm，得到新的正方形，则这根铁丝需要增加（ ）
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A．8cm B．16cm C．(x+8)cm D．(x+16)cm
【答案】B
【分析】
根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
【详解】
解：∵原正方形的周长为xcm，
∴原正方形的边长为cm，
∵将它按图的方式向外等距扩2cm，
∴新正方形的边长为(+4)cm，
则新正方形的周长为4×(+4)=x+16（cm），
因此需要增加的长度为x+16-x=16cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范．
24．下列所给代数式中，属于单项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据单项式的定义逐一验证即可．
【详解】
∵是单项式，
是二次根式，
是多项式，
是分式，
故选A．
【点睛】
本题考查了单项式的定义，熟练把握数与字母的积这一特征是解题的关键．
25．多项式的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】
根据多项式的项的定义，多项式的次数的定义即可确定其次数．
【详解】
解：由于组成该多项式的单项式（项）共有三个3m3，4m2n2，﹣1，
其中最高次数为2+2＝4，
所以多项式的次数分别是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了对多项式的项和次数的掌握情况，难度不大．解题的关键是明确多项式的次数是多项式中最高次项的次数．
26．已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 -2 3
第3行 -4 5 -6
第4行 7 -8 9 -10
第5行 11 -12 13 -14 15
……
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（ ）
A．-4954 B．4954 C．-4953 D．4953
【答案】A
【分析】
分析可得：第n行有n个数，此行最后一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负；先求出99行最后一个数，然后可求出100行从左边数第4个数．
【详解】
解：第1行有1个数，最后一个数的绝对值是：1；
第2行有2个数，最后一个数的绝对值是：3=1+2=；
第3行有3个数，最后一个数的绝对值是：6=1+2+3=；
第4行有4个数，最后一个数的绝对值是：10=1+2+3+4=；
第5行有5个数，最后一个数的绝对值是：15=1+2+3+4+5=；
……；
∴第n行有n个数，最后一个数的绝对值是：；
∴第99行有99个数，此行最后一个数的绝对值为：；
∴第100行从左边数第4个数的绝对值为4954，
∵奇数为正，偶数为负，
∴第100行从左边数第4个数为-4954，
故选：A．
【点睛】
本题考查规律型：数字的变化类以及学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n行有n个数，此行最后一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负．
27．小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果
……
根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（ ）
A．360 B．339 C．440 D．483
【答案】C
【分析】
根据左起第一个数3，8，15，24的变化规律，得出第n行的左起第一个数为，由此即可求出第20行的左起第一个数．www.21-cn-jy.com
【详解】
根据题意可知，每行的左起第一个数依次为：
，
，
，
，
第n行的左起第一个数为．
∴第20行的左起第一个数为．
故选：C．
【点睛】
本题考查数字的变化规律．根据题意找到规律并利用规律解决问题是关键．
28．有一数值转换器，原理如图所示．若开 ( http: / / www.21cnjy.com )始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，则第2020次输出的结果是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
依次计算，找出规律解答即可．
【详解】
解：第1次：5+3=8，
第2次：×8=4，
第3次：×4=2，
第4次：×2=1，
第5次：1+3=4；
…，
∴除第1次外，结果以4，2，1三个数依次循环，
∵(2020-1) ÷3=673，
∴第2020次输出的结果是1．
故选A．
【点睛】
本题考查了程序流程图的计算，以及规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．【版权所有：21教育】
29．下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是本身的数都是正数
B．单项式的次数是2
C．除以一个不为0的数，等于乘以这个数的相反数
D．是一个单项式
【答案】D
【分析】
根据绝对值的意义、有理数的除法法则、单项式的定义进行判断即可．
【详解】
解：A选项，绝对值是本身的数是正数或0，故原说法错误；
B选项，单项式的次数是3，故原说法错误；
C选项，除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，故原说法错误；
D选项，表示一个数，是一个单项式，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了绝对值、单项式的定义以及有理数的除法，熟记相关定义和法则是解答本题的关键．
30．如图，平面内有公共端点的六条射线、、，、、，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7、…，则数字“2020”在射线（ ）
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A．上 B．上 C．上 D．上
【答案】C
【分析】
由题意知，6个数字循环一次，则可求2020与4在一条射线上；
【详解】
由题意可知，6个数字循环一次，
∵，
∴2020与4在一条射线上，
∴“2020”在射线OD上；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了规律型数字变化类，准确分析判断是解题的关键．
二、填空题
31．152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25，
252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25，
352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25，
…
（1）752＝5625可写成_______，852＝7625可写成________．
（2）由（1）的结果归纳猜想，得（10n＋5）2＝________．
（3）根据上面的归纳猜想，请计算：20052＝_________．
【答案】100×7×（7＋1）＋25， ( http: / / www.21cnjy.com ) 100×8×（8＋1）＋25， 100×n×（n＋1）＋25， 4020025．
【分析】
（1）根据题目给出的规律填写即可；
（2）根据（1）中的规律，用n表示末尾是5的数的平方即可；
（3）利用（2）中的规律计算即可．
【详解】
解：（1）752＝5625可写成100×7×（7＋1）＋25，
852＝7625可写成100×8×（8＋1）＋25，
故答案为：100×7×（7＋1）＋25，100×8×（8＋1）＋25，
（2）752＝（10×7＋5）2，852＝（10×8＋5）2，
由（1）可得，（10n＋5）2＝100×n×（n＋1）＋25，
（3）20052＝100×200×（200＋1）＋25=4020025．
【点睛】
本题考查了有理数计算与列代数式表示规律，解题关键是根据数字运算发现规律，熟练运用代数式表示出规律，并熟练运用规律进行计算．21*cnjy*com
32．2020年6日1日，湖 ( http: / / www.21cnjy.com )州市政府发布了全新湖洲城市形象标识，小周同学对新形象标识很感兴趣，用电脑绘画软件绘制了如下图形，其中第（1）个图形有3个形象标识，第（2）个图形有7个形象标识，第（3）个图形有13个形象标识，按此规律绘制下去．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）小周绘制的第（5）个图形中有_________个形象标识．
（2）小周绘制的第（n）个图形中有_________个形象标识．
【答案】31 （n2+n+1）
【分析】
观察图形可知，每个图形中形象标识的个数为序号数的平方+序号数+1，依此可求第5个和第n个图有多少个形象标识．
【详解】
解：由图形可知，第1个图形有12 ( http: / / www.21cnjy.com )+1+1=3个形象标识，第2个图形有22+2+1=7个形象标识，第3个图形有32+3+1=13个形象标识，第4个图形有42+4+1=21个形象标识，
（1）小周绘制的第（5）个图形中有52+5+1=31个形象标识．
（2）小周绘制的第（n）个图形中有（n2+n+1）个形象标识．
故答案为：31；（n2+n+1）．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．
33．定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，时，其“C运算”如下：
若，则第2020次“C运算”的结果是______．
【答案】4
【分析】
根据题意，可以写出前几次输出的结果，从而可以发现结果的变化规律，从而可以得到第2020次“C运算”的结果．
【详解】
解：由题意可得，
当n=26时，
第一次输出的结果为：13，
第二次输出的结果为：40，
第三次输出的结果为：5，
第四次输出的结果为：16，
第五次输出的结果为：1，
第六次输出的结果为：4，
第七次输出的结果为：1
第八次输出的结果为：4
…，
∴从第五次开始，奇数次输出的结果为：1，偶数次输出的结果为：4，
∴第2020次“C运算”的结果是4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
34．如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案 ( http: / / www.21cnjy.com )需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第18个图案需要______枚棋子，摆第n个图案需要______枚棋子．21·cn·jy·com
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【答案】1027
【分析】
依次解出n=1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第18个及第n个图案需要的棋子枚数．
【详解】
解：时，总数是；
时，总数为；
时，总数为；
；
时，总数为枚；
；
时，有枚．
故答案为：1027，．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
35．阅读下列材料：
……
计算________．
【答案】
【分析】
根据题干中给出的算式，总结出规律，据此计算．
【详解】
解：由题意可得：
，
∴
=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数字型规律，有理数的混合运算，解题的关键是读懂例子，总结出运算规律．
三、解答题
36．阅读解答：
（1）填空：_____；_____；_____……
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；
（3）根据上述规律，计算：．
【答案】（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3）
【分析】
（1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；
（2）根据（1）中式子的规律，可得结果；
（3）设S=20+21+22+23+24+…+22021，然后表示出2S，再相减计算即可得解．
【详解】
解：（1）21-20=1=20，
22-21=2=21，
23-22=4=22；
（2）由题意可得：
2n-2n-1=2n-1；
（3）设，
∴，
∴
=
=．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．
37．探究：
，
，
，
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：．
【答案】（1）25-24=2×24-1×24=24；（2）2n+1-2n=2×2n-1×2n=2n；（3）-2
【分析】
（1）根据给出的内容，直接可以仿写25-24=2×24-1×24=24，
（2）2n+1-2n=2×2n-1×2n=2n，
（3）将原式进行变形，即提出负号后，就转化为原题中的类型，利用（1）（2）的结论，直接得出结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
25-24=2×24-1×24=24；
（2）2n+1-2n=2×2n-1×2n=2n；
（3）
=
=
...
=2-22
=-2
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，认真 ( http: / / www.21cnjy.com )观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2n+1-2n=2n成立．
38．如图，同一行的两个图形中小正方形的个数相等，但它们的排列方式不一样，根据不同的排列方式可以得到一列等式．
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（1）第n个图形中对应的等量关系是_______．
（2）根据（1）的结论，求的值．
【答案】（1）；（2）650
【分析】
（1）分别得出前几个图形表示的等量关系，从而得到规律；
（2）将变形为，再根据所得规律计算．
【详解】
解：（1）图①中，，
图②中，，
图③中，，
∴第n个图形中对应的等量关系是：
；
（2）由（1）可得：
=
=
=650
【点睛】
此题考查了平面图形的规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
39．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，，……按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为．
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（1）______（用n表示）：_______
（2）我们在用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n．
规定，
例如：．
①计算：的值；
②比较：与的大小．
【答案】（1）2（n+1），202；（2）①-22；②3☆n＞（-3）☆n
【分析】
（1）由图形可知：第1个图形 ( http: / / www.21cnjy.com )中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…由此得出第n个图形中有2（n+1）个实心圆，进一步代入求得答案即可；
（2）①根据规定的运算顺序与计算方法，转化为有理数的混合运算计算即可；②根据规定的运算顺序与计算方法分别计算得出结果比较得出结论即可．
【详解】
解：（1）第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，
；；
（2）①10
；
②是正整数，
；
，
．
所以3*．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，有理数的混合运算，找出图形的运算规律，理解规定的运算方法是解决问题的关键．
40．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
青解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：______________．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：______=_______（n为正整数）；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】
（1）根据题目中的式子的特点，可以写出第五个等式；
（2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式；
（3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值．
【详解】
解：（1）由题意可得，
第5个等式：，
故答案为：；
（2），
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
41．某市居民使用自来水接如下标准收费（水费按月缴纳）
居民月用水量 不超过的部分 超过但不超过的部分 超过的部分
单价 2元/ 3元/ 4元/
（1）某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费；
（2）设某户月用水量为n立方米，当时，求该用户应缴纳的水费（用含n的代数式表示）；
（3）甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费超过了20元，设甲用户这个月用水，则甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为________元（用含x的代数式表示直接写出答案）．
【答案】（1）35元；（2）4n-28元；（3）106-x或2x+44或x+70
【分析】
（1）根据收费标准进行计算即可；
（2）根据收费标准列代数式即可；
（3）由题意可知甲用户的用水量大于10m3，再分三种情况，根据收费标准列出代数式即可．
【详解】
解：（1）10×2+（15-10）×3=20+15=35元，
∴该用户这个月应缴纳水费35元；
（2）∵n＞18，
∴该用户应缴纳的水费为：
10×2+（18-10）×3+（n-18）×4=4n-28（元）；
（3）∵甲用户缴纳的水费超过了20元，
∴甲用户的用水量大于10m3，
当10＜x≤18时，则18≤36-x，
此时共缴纳的水费为：
10×2+（x-10）×3+4×（36-x）-28=106-x（元）；
当x＞18时，即0＜36-x≤10，
此时共缴纳的水费为：
4x-28+（36-x）×2=2x+44（元）；
当x＞18时，即10＜36-x＜18，
此时共缴纳的水费为：
4x-28+10×2+（36-x-10）×3=x+70（元）．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算以及列代数式等知识点，正确理解收费标准，针对不同情况分类讨论是解题的关键．
42．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：
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（1）第5个图案中有白色纸片多少张？
（2）第n个图案中有白色纸片多少张？
（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）
【答案】（1）16张；（2）（3n+1）张；（3）673个
【分析】
（1）观察图形的变化可得第5个图案中有白色纸片有3×5+1=16张；
（2）结合（1）即可得规律，第n个图案中有白色纸片（3n+1）张；
（3）结合（2）发现的规律即可求得白色纸片有2020张是第几个图案．
【详解】
解：（1）观察图形的变化可知：
第1个图案中有白色纸片张数为：3×1+1=4；
第2个图案中有白色纸片张数为：3×2+1=7；
第3个图案中有白色纸片张数为：3×3+1=10；
第4个图案中有白色纸片张数为：3×4+1=13；
第5个图案中有白色纸片张数为：3×5+1=16；
（2）根据（1）发现规律：
第n个图案中有白色纸片张数为：（3n+1）张．
（3）根据（2）可知：
3n+1=2020，
解得n=673．
答：第673个图案有白色纸片有2020张．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
43．一个底面半径为，高为装满水的圆柱形水桶；若干个底面半径为的空瓶子，若干个底面半径为，高为圆柱形空杯子，如图，当瓶子内有高度为的溶液，将它倒放时，空余部分的高度为．小钱同学先把桶中的水倒入空瓶子，当倒满n个瓶子后再将剩余的水倒入杯子里．（所有容器的厚度忽略不计）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）每个瓶子的体积是多少？（结果保留）
（2）水桶中还剩余多少水？（用含n的代数式表示，结果保留）
（3）当时，剩余的水最多能倒满几个杯子？
【答案】（1）；（2）；（3）剩余的水最多能倒满8个杯子．
【分析】
（1）计算出瓶子中溶液的体积和将它倒放时，空余部分的体积，再将两者相加即可得；
（2）先求出水桶内水的总体积，用它减去n个瓶子的体积即可列出代数式；
（3）将n=4代入代数式，求得剩余的水，再求出水杯的体积，用剩余的水除以水杯的体积即可．
【详解】
解：（1）瓶子正放时，溶液的体积为：，
将它倒放时，空余部分的体积为：，
则瓶子的体积为： ，
答：每个瓶子的体积是；
（2）圆柱形水桶内水的总体积为：，
水桶中还剩余多少水为：；
（3）当n=4时，
水桶中还剩余多少水为：
水杯的体积为：，
，
∴剩余的水最多能倒满8个杯子．
【点睛】
本题考查圆柱体体积的计算，有理数的混合运算，列代数式．较难的是题（1），正确得出瓶子的体积是由两部分组成是解题关键．2-1-c-n-j-y
44．用火柴棒按下面的方式搭图形
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）把下表填完整：
图形编号 ① ② ③
火柴棒根数 7
（2）第n个图形需要火柴棒的根数为s，则_____（用含字母n的代数式表示）
（3）是否存在一个图形共有117根火柴棒？若存在，求出是第几个图形，如不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，见解析，第23个图形
【分析】
（1）观察图形与表格发现，后一个 ( http: / / www.21cnjy.com )图形比前一个图形多用5根火柴棒，由此得出第三个图形比第二个图形多用5根火柴棒，第四个图形比第三个图形多用5根火柴棒；
（2）由后一个图形比前一个图形多用5根火柴棒，而第一个图形用了7根火柴；即7=5×1+2，即可求出第n个图形需要（5n+2）根小棒；
（3）将s=117代入计算，即可求出答案．
【详解】
解：（1）根据题意，把下表填完整：
图形编号 ① ② ③
火柴棒根数 7 12 17
（2）第一个图形用了7根火柴；即7=5×1+2；
第二个图形用了12根火柴；即12=5×2+2；
第三个图形用了17根火柴；即17=5×3+2；
…
∴第n个图形需要（5n+2）根小棒；
∴；
故答案为：．
（3）根据题意，当时，则
，
解得：，
第23个图形共有117根火柴棒．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规律．
45．这是一个很著名的故事阿基米德与国 ( http: / / www.21cnjy.com )王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒……按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程．）
（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：用分数表示无限循环小数：．解：设①．等式两边同时乘以10，得②．将②-①得：，则，∴．
请参照以上解法或用其它方法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）
【答案】（1）263；（2）8；（3）264-1．
【分析】
（1）观察发现，第n个格子里的米粒数是2为底数，n-1作为指数；
（2）通过计算可以看出，个位数是以4项为一组循环的，用63除以4，余数是几就与第几项的个位数相同；
（3）利用信息，这列数都乘以2，再相减即可求出．
【详解】
解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为263；
（2）∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32…
∵63÷4=15…3，
∴263的末位数字与23的末位数字相同，是8；
（3）设x=1+2+22+…+263①．
等式两边同时乘以2，得2x=2+22+23+…+264②
②-①，得x=264-1．
答：国王输给阿基米德的米粒数为264-1．
【点睛】
本题有理数的乘方及数的规律探索，读懂题目信息是解题的关键．
46．如图所示，把一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形，已知正方形的边长为，三角形的高为．
（1）用含，的式子表示阴影部分的面积；
（2）若，求阴影部分的面积．
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【答案】（1）；（2）40．
【分析】
（1）用正方形的面积减去三角形的面积即可；
（2）先求出a，h的值，代入求值即可；
【详解】
解：（1）用含，的式子表示阴影部分的面积：
，
（2）由题意得：，
则，，
阴影部分的面积是：．
【点睛】
本题主要考查了列代数式和代数式求值，准确计算是解题的关键．
47．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．如图，请你用“数形结合”的思想．21教育网
（1）求的值为 ；
（2）请你利用（1）的结论，求下列各式的值：
①计算：
②计算：
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【答案】（1）；（2）①；②
【分析】
（1）利用图中的面积逐步得出规律，从而得到结果；
（2）①将原式化为，再根据（1）中结论计算即可；
②将原式化为，再根据（1）中规律计算即可．
【详解】
解：（1）如图，
②+③+④+⑤+⑥的面积为：，
③+④+⑤+⑥的面积为：，
④+⑤+⑥的面积为：，
可得：，
∴；
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（2）①
=
=
=；
②
=
=
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了规律型问题，有理数的混合运算，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
48．如图1是一个三角形，分别连接这个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形三边的中点得到图2，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：
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（1）将下表填写完整
图形编号 1 2 3 4 5 ……
三角形个数 1 ……
（2）在第n个图形中有_________个三角形（用含n的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）4n-3
【分析】
（1）可直接通过图形写出三角形的个数；
（2）根据（1）中的数据总结出规律，得出有关于n的代数式．
【详解】
解：（1）填写如下：
图形编号 1 2 3 4 5 ……
三角形个数 1 5 9 13 17 ……
（2）由（1）可得：
每一次操作，图中多出4个三角形，
∴在第n个图形中有1+4（n-1）=4n-3个三角形．
【点睛】
此题考查图形的变化规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
49．小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在回到家中．设小明出发时的速度为，v与t之间的关系如下表：2·1·c·n·j·y
100 160 80
（1）小明出发时，离家的距离为_______m．
（2）当t为多少时，小明离家的距离是？请直接写出答案．
（3）当时，求出小明离家的距离s（用含t的代数式表示）
【答案】（1）200；（2）1 ( http: / / www.21cnjy.com ).6min或14min；（3）当5＜t≤6.25时，s=80t+280；当6.25＜t≤16时，s=-80t+1280
【分析】
（1）根据表格中的数据，可以求得小明出发2min时，离家的距离；
（2）根据题意可以出发时和返回时分别求得当t为多少时，小明离家的距离是160m；
（3）根据表格中的数据，分当5＜t≤6.25时，当6.25＜t≤16时两种情况分别求解．
【详解】
解：（1）由表格可得，
小明出发2min时，离家的距离为：100×2=200m，
故答案为：200；
（2）总路程为：100×2+160×（5-2）+80×（16-5）=1560m，
则单程为：1560÷2=780m，
当t为1.6min或14min时，小明离家的距离是160m，
理由：出发前二分钟内：160÷100=1.6min，
返回时，（780×2-100×2-160×3-160）÷80=9min，
∴t=9+5=14min，
答：当t为1.6min或14min时，小明离家的距离是160m；
（3）∵100×2+160×（5-2）=680＜780，
∴小明开始返程的时间为：5+[（780-680）÷80]=6.25（min），
∴小明离家的距离为：当5＜t≤6.25时，s=680+（t-5）×80=80t+280，
当6.25＜t≤16时，s=780-80（t-6.25）=-80t+1280．
【点睛】
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用分类讨论的数学思想解答．
50．用黑白两种颜色的瓷砖按下图所示的方式铺设地面，第1层为1块白色瓷砖，第2层为3块黑色瓷砖，第3层为5块白色瓷砖……
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）第7层共有 块瓷砖，第n（n为正整数）层共有 块瓷砖；
（2）若按图示方式铺设n（n为正整数）层瓷砖，求黑白两种颜色瓷砖的数量差．
【答案】（1）13，2n-1；（2）黑白两种颜色瓷砖的数量差为．
【分析】
（1）根据题意即可得第7层共有2×7-1=13块瓷砖；第n层共有（2n-1）块瓷砖；
（2）先计算前几层黑白两种颜色瓷砖的数量差，找到规律，即可求黑白两种颜色瓷砖的数量差．
【详解】
（1）根据题意可知：
第1层为2×1-1=1块白色瓷砖；
第2层为2×2-1=3块黑色瓷砖；
第3层为2×3-1=5块白色瓷砖；
……
第7层共有2×7-1=13块瓷砖；
所以第n层共有（2n-1）块瓷砖；
故答案为：13；（2n-1）；
（2）当时，白色-黑色；
当时，黑色-白色；
当时，白色-黑色；
当时，黑色-白色；
当时，白色-黑色；
当时，黑色-白色；
，
可得规律，层瓷砖，两种颜色差为．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
51．某房间窗户如图所示．其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）装饰物所占的面积是多少？
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？
【答案】（1）装饰物所占的面积为；（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是．
【分析】
（1）半径相同的两个四分之一圆和一个半圆正好构成了一个整圆，所求装饰物所占的面积正好是一个整圆的面积；21教育名师原创作品
（2）能射进阳光的部分的面积=窗户面积-装饰物面积．
【详解】
（1）装饰物的面积正好等于一个半径为的圆的面积＝；
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是．
【点睛】
本题考查了列代数式．将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解是解题的关键．
52．电动车厂计划每天平均生产 ( http: / / www.21cnjy.com )n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）．
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
实际生产量 +5 -1 -6 +13 -2
（1）用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数；
（2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可 ( http: / / www.21cnjy.com )得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当n=50时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元
【答案】（1）5n+9；（2）52250
【分析】
（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电动车的数量，再求和即可；
（2）5天的电动车总数乘以200加上超出部分的奖励，减去罚款，可得工人这一周的工资总额．
【详解】
（1）n+5+n-1+n-6+n+13+n-2=5n+9
答：本周五天生产电动车的总数为（5n+9）辆；
（2）当n=50时，5n+9=，
=52250（元），
答：厂工人这一周的工资总额是52250元．
【点睛】
此题考查正负数的实际应用，列代数式，有理数的加减混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
53．阅读下面材料：
东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：，称为数列．计算，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列2，，3，因为，所以数列2，，3的最佳值为．
东东进一步发现；当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列，2，3的最佳值为；数列3，，2的最佳值为1；经过研究东东发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料．回答下列问题：
（1）数列的最佳值为__________；
（2）将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为__________，取得最佳值最小值的数列为__________（写出一个即可）；
（3）将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．
【答案】（1）2；（2）；-3，2，-4或2，-3，-4；（3）a=11或4．
【分析】
（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；
（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值， ( http: / / www.21cnjy.com )由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|-3+2|=1，由此得出答案即可；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．
【详解】
解：（1）因为|-4|=4，，，
所以数列-4，-3，1的最佳值为2．
故答案为：2；
（2）对于数列-4，-3，2，因为|-4|=4，，所以数列-4，-3，2的最佳值为；
对于数列-4，2，-3，因为|-4|=4，，所以数列-4，2，-3的最佳值为1；
对于数列2，-4，-3，因为|2|=2，，所以数列2，-4，-3的最佳值为1；
对于数列2，-3，-4，因为|2|=2，，所以数列2，-3，-4的最佳值为；
∴数列的最佳值的最小值为|，
数列可以为：-3，2，-4或2，-3，-4．
故答案为：；-3，2，-4或2，-3，-4．
（3）当，则a=0或-4，不合题意；
当，则a=11或7；
当a=11时，数列为-9，11，2，因为|-9|=9，，所以数列-9，11，2的最佳值为1，符合题意；
当a=7时，数列为-9，7，2，因为|-9|=9，，所以数列-9，7，2的最佳值为0，不符合题意；
当，则a=4或10．
当a=4时，因为数列为-9，4，2，因为|-9|=9，，所以数列-9，4，2的最佳值为1，符合题意；
当a=10时，因为数列为-9，10，2，因为|-9|=9，，所以数列-9，10，2的最佳值为，不符合题意；
∴a=11或4．
【点睛】
本题考查数字的规律，绝对值的性质；理解题意，根据所给数据，正确的进行分类讨论是解题的关键．
54．两位同学在用标有数字，，，的张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片”和“卡片”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片上的数字乘以，加上，再乘以，再加上卡片上的数字，把最后得到的数的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”
乙同学：“这么神奇？我不信”……
（试验）
（1）如果乙同学抽出的卡片上的数字为，卡片上的数字为，他最后得到的数_______；
（2）若乙同学最后得到的数，则卡片上的数字为_______，卡片上的数字为_______．
（解密）
（3）请你说明：对任意告知的数，甲同学是如何猜到卡片的．
【答案】（1）39；（2）4，3；（3）用任意数M减去14得到两位数，十位数字是卡片A上的数字，个位数字为卡片B上的数字
【分析】
（1）根据游戏规则计算M的值即可；
（2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，根据规则得到，化简为10x+y=43，由x、y都是1至9这9个数字，即可得到x=4，y=3；
（3）设卡片A上的数字为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，卡片B上的数字为y，可得到10x+y=M-14，用任意数M减去14得到两位数，十位数字是卡片A上的数字，个位数字为卡片B上的数字．
【详解】
（1）M=，
故答案为：39；
（2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则
，
10x+y=43，
∵x、y都是1至9这9个数字，
∴x=4，y=3，
故答案为：4,3．
（3）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则
，
10x+y=M-14，
用任意数M减去14得到两位数，十位数字是卡片A上的数字，个位数字为卡片B上的数字．
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，列代数式，合理猜想，正确理解题中游戏规则列式计算是解题的关键．
55．阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数：
1，2，4，8，16，32……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都是2，
即
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它 ( http: / / www.21cnjy.com )前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这一常数就叫做等比数列的公比，例如上面数列的比值2即为这个数列的公比．问：
① 等比数列-1，3，-9，27，……的公比是___________，第五项是___________．
② 如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，＝，，……
所以
……
＝______________．（用的代数式表示）
③ 一个等比数列的第二项是8，公比是一，则第八项是______________．
【答案】①﹣3，﹣81；②a1·qn﹣1；③
【分析】
①观察发现该等比数列的公比﹣3，进而可求得第五项；
②通过观察发现an=a1·qn﹣1即可；
③根据定义和②中关系式，即可求得第八项的值．
【详解】
解：①∵3÷（﹣1）=﹣3，9÷（﹣3）=﹣3，
∴该等比数列的公比为﹣3，第五项为27×（﹣3）=﹣81，
故答案为：﹣3，﹣81；
②通过观察，发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方，
∴an=a1·qn﹣1，
故答案为：a1·qn﹣1；
③由②中关系可知，
a8=a2·q6=8×（）6= ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字类规律探究、整式的除法、有理数的混合运算，读懂题意，分析出数据变化规律是解答的关键．
56．研究下列算式，你会发现有什么规律？
①；
②；
③；
④；
⑤；……
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；
（2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式；
（3）请用上述规律计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）43659．
【分析】
（1）根据例题关系即可得出结果；
（2）根据题意得到n个数相加的关系式；
（3）把所求式化为计算即可．
【详解】
解：（1）第⑥个算式为：
（2）第个算式为：
；
（3），
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了数字规律题，准确分析计算是解题的关键．
57．观察下列式子，并探索它们的规律：
，
，
……
（1）尝试写出第四个式子： ；
（2）你观察到的式子规律用正整数n表示为： ； 【出处：21教育名师】
（3）借助以上规律，化简式子：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由每个等式的内在联系，前后两个等式的关联关系，从而可得第四个式子；
（2）由每个等式的内在联系，前后两个等式的关联关系，总结出规律，即可得到答案；
（3）利用规律把原式化为：从而可得答案．
【详解】
解：（1）由题意可得：．
故答案为：．
（2）探究规律：
，
，
，
……
总结规律：第个等式为：．
故答案为：．
（3）利用规律可得：
．
【点睛】
本题考查的是数字类的规律探究及规律的运用，有理数的混合运算，列代数式，掌握探究的方法是解题的关键．
58．阅读理解：小莹是一个好学的学生，下面是他从网络搜到两位数乘11速算法．规律：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①．计算过程：24两数拉开，中间相加，即，最后结果264；②．计算过程：68两数分开，中间相加，即，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①______，②______；
（2）若某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数的百位数字是______，十位数字是______，个位数字是______．（用含、的式子表示）
【答案】（1）①374；②869；（2），a+b，
【分析】
（1）根据题目中的速算法可以解答本题；
（2）根据题意，可以写出该三位数各位上的数字．
【详解】
解：（1）由题意可得，①，②，
故答案为：①374，②869；
（2）由题意可得，
某一个两位数十位数字是，个位数字是，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是，十位数字是a+b，个位数字是，
故答案为：，a+b，；
【点睛】
本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
59．定义：若是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，则______；是的差倒数，…，依次类推，回答下列问题：
（1）______，______，______．
（2）求的值．
【答案】（1），，；（2）
【分析】
（1）直接利用倒差数的定义求出a2、a3、a4即可；
（2）先根据（1）发现a1、a2、a3…a4为、、4的循环，然后运用加法结合律计算即可．
【详解】
解：（1），，
故答案为，，；
（2）由题意和（1）可知，a1、a2、a3…a4为、、4的循环
∴
=（++4）+（++4）+…+（++4）
=673×（++4）
=673×
=．
【点睛】
本题主要考查了数字变化规律以及有理数的四则混合运算，理解差倒数的定义以及发现每三个数一循环成为解答本题关键．
60．同学们学过有理数减法可以 ( http: / / www.21cnjy.com )转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算．
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为，，，．
所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
（1）________；
（2）应用上面的方法计算：．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题中式子的计算规律直接计算即可；
（2）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算；
（3）根据题目中式子的特点，将各式化为两个数的差，再根据有理数的加减法法则计算.
【详解】
（1）∵，，，，
∴，
故答案为：＇
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=.
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，数字类规律的探究，根据题意得到此题的计算规律是解题的关键.
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