(共25张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．3
因式分解
14．3.1 提公因式法
情景导入
计算：
(1)a(b＋c)＝________；
(2)(2x＋3)(3－2x)＝ ________ ；
(3)(x＋4)2＝___________；
(4)(x＋3)(3x－5)＝ ____________．
ab ＋ ac
9 － 4x2
x2＋8x＋16
3x2＋4x－15
温故
合作探究
知识板块一 因式分解
探究：
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）x2 ＋ x= ; (2) x2 － 1= .
根据整式的乘法，可以联想得到
x2 ＋ x= x(x ＋1),
x2 － 1=(x ＋1) (x － 1),
多项式 整式的乘积形式
和 差
积
因式分解
整式乘法
例1
下列各式从左到右的变形属于因式分解的
是( )
A．a2＋1＝a(a＋ )
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
分析：
紧扣因式分解的定义进行判断．因为 不是整式，所以a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分解，故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，
如x2－1 (x＋1)(x－1)
合作探究
知识板块二 公因式及提公因式法
因式分解
整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解
（1）(5a－1)2=25a2－10a+1；
（2）(a－3)(a+3)=a2－9；
（3）m2－4=(m+2)(m－2)；
（4 ）2xy－ 2xz= 2x(y－z)．
例2
利用整式乘法和因式分解的定义加以判断即可．
(1)(2)是整式乘法，(3)(4)是因式分解.
分析：
解：
合作探究
知识板块三 变形后用提公因式法
1.公因式的定义
一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个
多项式各项的公因式 .
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公
约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字
母最低次幂；
例3
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y；
(2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解：
(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，所以公因式是 xy2.
(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是
2，所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取
变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－
36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都
有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，
所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
确定一个多项式的公因式时， 要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．
2.用提公因式法分解因式
确定一个多项式的公因式时，要从____________
和__________________分别进行考虑 .
数字系数
字母及其指数
公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.
数字系数
字母及其指数
把2a(b+c) － 3(b+c)分解因式.
b+c是这两个式子的公因式，可以直接
提出.
2a(b+c) － 3(b+c)
= (b+c)(2a － 3).
例2
分析：
解：
如何检查因式分解是否正确？
提公因式的步骤
①确定应提取的公因式；
②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
当堂演练
B
2.已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )
A．b＝3，c＝－1
B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4
D．b＝－4，c＝－6
当堂演练
D
当堂演练
A
3.如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形，如图②，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
当堂演练
4．若ab＝7，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是____．
35
当堂演练
5．已知a，b，c为△ABC的三边，
且a2－ab＋4ac－4bc＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a(a－b)＋4c(a－b)＝0，
∴(a－b)(a＋4c)＝0.
又∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a＋4c≠0，∴a－b＝0，
∴a＝b，即△ABC为等腰三角形．
课堂总结
1．把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解．
2．因式分解与整式乘法互为逆变形．
3．多项式各项公共的因式叫做这个多项式的公因式．
4．把多项式中公因式提出来，从而达到因式分解的目的，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(共17张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．3
因式分解
14．3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式分解因式
情景导入
1．乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_______．
2．计算：(1)(x＋2)(x－2)＝_______；
(2)(2m＋3n)(2m－3n)＝__________；
(3)[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝____．
a2 － b2
x2－4
4m2－9n2
4xy
温故
合作探究
知识板块一 用平方差公式分解因式
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
整式乘法
因式分解
这种分解因式的方法称为公式法.
a2－b2= (a+b)(a－b)
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 .
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
例1
分解因式：
(1)4x2 － 9;
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =
(2 x) 2 －3 2 ，即可用平方 差公式分解因
式；在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为m 2 － n 2.
分析：
解：
(1) 4x2 － 9
=(2 x ）2 － 3 2
= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
= [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ]
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差
公式的有效方法．
例2
分解因式：
(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平
方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因
式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将
(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因
式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为
整体，运用平方差公式进行分解因式．
分析：
解：
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)；
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
解：
(5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－
(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．
合作探究
知识板块二 平方差公式在分解因式中的应用
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式，要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
分解因式：
(1) x4－y4; (2) a3b － ab.
对于(1)， x4－y4可以写成(x2) 2 － (y2) 2的形式，这样就可以利 用平方差公式进行因式分解了对于(2)， a3b － ab有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解.
例3
分析：
分解因式，必须进
行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(1) x4－y4 =(x2 ＋ y2)( x2 － y2)
= (x2 ＋ y2) (x＋ y) ( x － y) ；
(2) a3b － ab
=ab(a2 － 1)
= ab(a ＋1)(a － 1).
解：
求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：依题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n.
∵8n是8的n倍，∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
例4
当堂演练
D
1.下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
2.把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9)
B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2
D．x(x＋3)(x－3)
当堂演练
D
当堂演练
A
3.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
课堂总结
1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
3．因式分解的一般步骤是：若有公因式，应先提取公因式，然后再运用公式分解因式．(共22张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．3
因式分解
14．3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
情景导入
1．乘法的完全平方公式：(a＋b)2＝_____________；(a－b)2＝______________.
2．填空：(1)(5x－___)2＝____－10xy＋y2；
(2)(____＋____)2＝4a2＋12ab＋9b2.
a2 +2ab+ b2
y
温故
a2 － 2ab+ b2
25x2
2a
3b
3．计算：
(1)(6x＋3)2；
解：原式＝36x2＋36x＋9;
(2)(a－ b)2.
解：原式＝a2－ab＋ b2.
12
14
合作探究
知识板块一 完全平方式的特征
我们把以上两个式子叫做完全平方式 .
两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍
a2 +2ab+ b2
a2 －2ab+ b2
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因
式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
a2 +2ab+ b2=
（ a + b ）2
（a－ b）2
a2 －2ab+ b2=
例1
下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．
①4x2－4xy－y2；②x2＋ x＋ ；
③－1－a－ ；④m2n2＋4－4mn；
⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能
用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方
公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平
方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式
分解．①中的y2 前面是“－”号，不能用完全
平方公式分解 ．⑤中中间项有a、b的积的2
倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾
积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也
不符合．
解析：
(1)完全平方公式的结构：等式的左边是一个完全平方式，右边是这两个数和(或差)的平方．
(2)是整式乘法中的完全平方公式的逆用，在整式乘法中能写成两个数的和(或差)的平方，结果一定是完
全平方式，而在因式分解中，每一个完全平方式都能因式分解．
合作探究
知识板块二 用完全平方公式分解因式
都是有3项
从每一项看：
从符号看：
带平方的项符号相同（同“+”或同“-”）
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从项数看：
用公式法正确分解因式关键是什么？
熟知公式特征！
分解因式：
(1)16x2 ＋ 24x ＋ 9;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2.
例2
在(1)中，16x2 = (4x) 2 , 9 = 32 ，24x = 2
4x 3，所以 16x2 ＋ 24x ＋ 9是一个完全
平方式，即
16x2 ＋ 24x ＋ 9 = (4x) 2 ＋ 2 4x 3 ＋ 32.
a2 ＋ 2 a b ＋ b2
分析：
(1)16x2 ＋ 24x ＋ 9
= (4x) 2 ＋ 2 4x 3 ＋ 32
=(4 x ＋ 3) 2;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2
= － (x2 － 4xy ＋ 4y2 )
= －[x2 － 2 x 2y ＋ (2 y) 2]
= － (x － 2y) 2.
解：
解题的关键是判断该多项式是否符合完全平方公式的结构特点，若符合公式特点再确定公式中的a，b在本题中所代表的是什么式子，分解因式的结果要分解到每一个因式都不能再分解为止．
合作探究
知识板块二 用完全平方公式分解因式的应用
分解因式：
(1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2 ；
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36.
例3
(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进
一步分解； (2)中，将 a ＋ b看作一个整体，
设a ＋ b =m，则原式化为完全平方式m 2
－ 12m ＋ 36.
分析：
(1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2
=3a (x2 ＋ 2xy ＋ y2)
= 3a(x ＋ y) 2;
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36
= (a ＋ b) 2 －2 (a ＋ b) 6+6 2
= (a ＋ b － 6) 2 .
解：
分解因式的一般步骤：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止 .
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
当堂演练
D
2.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48
C．32 D．16
当堂演练
A
当堂演练
B
3.下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋ ＝(x－ ) 2
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
当堂演练
4.分解因式：
(1)－2x3y＋4x2y－2xy；
解：原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2；
(2)(a－b)2－6(b－a)＋9；
解：原式＝(a－b)2＋6(a－b)＋9＝(a－b＋3)2；
(3)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
解：原式＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2＝(x－1)4.
课堂总结
1．两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方．用字母表示为a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
2．两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方．用字母表示为a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
3．像a2＋2ab＋b2 ， a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．
4．把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
