2021-2022学年人教版数学八年级上册12.3 角的平分线的性质和判定--综合运用课件（17张ppt）

(共17张PPT)
12.3角的平分线的性质和判定的综合运用
角的平分线的性质和判定回顾对比
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主要作用
P
C
P
C
因为PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
所以OP平分∠AOB
因为OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
所以PD=PE
证明线段PD=PE相等
判断OC是不是角平分线
代替用全等证明线段相等
除定义外判断角平分线的方法
例题1
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
思路：过点P分别向三角形各边作垂直，标垂足．
由角的平分线的性质得
PD = PE 及 PE = PF．
进而PD = PE = PF．
于是问题得证．
A
B
C
P
E
D
F
M
N
变式一.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P；求证：点P也在∠A的平分线上。
思路：过点P分别向三角形各边作垂直，标垂足．
由角的平分线的性质得
PD = PE = PF．
由角的平分线的判定可解决问题
变式二 如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为15，求S△ABC
A
B
C
O
M
N
G
D
S△ABC=C×r
思路：由角的平分线的性质得O到三边距离都等于OD=3由等面积法可知S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
=AB×3+BC×3+AC×3
=×3(AB+BC+CA) =×3×C△ABC 解决问题，若设△ABC周长为C,OD=r
变式三 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
H
M
G
思路：过点F分别向三角形
各边作垂直，标垂足．
由角平分线的性质得
FH = FG 及 FG = FM．
进而F M= FG = FH．
由角平分线的判定得证．
变式四 如图，已知△ABC的外角∠ACF和内角∠ABC的平分线相交于点P，求证：AP为∠BAC外角的平分线。
例题2
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条互相交叉公路的S区修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
S
作图思路：
分别作∠BAC和∠ABC的平分线，
两线交于点O，
则点O即为所求．
可以试试证明．
变式一 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条互相交叉公路的S1区修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
.
S
S1
变式二 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条互相交叉公路的S2区修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
.
S
S1
S2
变式三 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条互相交叉公路的S3区修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
.
S
S1
S2
S3
变式四 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条互相交叉公路所在平面区域修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
.
S
S1
S2
S3
例题3
如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
证明角平分线思路：
①角平分线判定
②定义．
变式一 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF = EF．
注意鉴别易混定理．
证法一．证两次全等
证法二．证一次全等
课后小结
1．需注意区分性质和判定的条件和结论，以 免发生混淆．
2．角平分线常见的辅助线：以补全基本图中角平分线上点到两边垂线段为主要辅助线．
3．角平分线证明思路不仅仅是判定，还有定义
1．如图，△ABC的角平分线AP和外角平分线BP相交于点P，求证：点P也在∠BCD的平分线上．
课后练习
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．