沪教版（上海）数学高二下册-12.3椭圆的标准方程（教案）

椭圆的标准方程
【教学目标】
1. 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
2. 理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
3. 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法。
【教学过程】
一、预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子。当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）。当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆。启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？
二、新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义。
把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）。其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距。即当动点设为时，椭圆即为点集。
（ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系。
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理。
设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义。
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程。
（iii）例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程。
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出。引导学生用其他方法来解。
另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，
则。
例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足。当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程。
引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程。
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围。
例3如图，设，的坐标分别为，。直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程。
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程。
解法剖析：设点，则，；
代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程。
引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程。
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴。
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