沪教版（上海）数学高二下册-13.6实系数一元二次方程（教案）

实系数一元二次方程
【教学目标】
理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数的关系，并会进行简单应用。
【教学重难点】
在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解。
【教学过程】
（一）复习引入
1．初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下：
当时，方程有两个实数根：
2．上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是：。
设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？
说明：设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程。
（二）讲授新课
1．实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程。
因为，所以原方程可变形为，
配方得：
，
即
。
（1）当时，原方程有两个不相等的实数根。
；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根。
；
（3）当时，，
由上一堂课的教学内容知，的平方根为，
即，
此时原方程有两个不相等的虚数根。
。
（为一对共轭虚数根。）
说明：实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根。
设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？
回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程。
（，即为上节课学习过的。）
例1．（1）在复数集中解方程：；
（2）在复数集中解关于的方程：
。
解：（1）因为△=，所以方程的解为：
，。
（2）因为△=16-a2，
所以当△>0，即时，原方程的解为：
，。
当△=0，即时，若，则原方程的解为；
若，则原方程的解为。
当△<0，即时，原方程的解为：
，。
提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负。
说明：例1．（2）需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1。
例2．已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程。
说明：例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动。
既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积。
若方程的两个解分别为，则：
。
例3．在复数集中分解因式：
（1）； （2）。
解：（1）=。
（2）（见课本例1）
提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数A。
2．实系数一元二次方程中根与系数的关系
对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）。
设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？
利用求根公式，容易验证，。
例4．已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值。
解：（见课本例2）
（三）巩固练习
见课本练习13.6（1）；练习13.6（2）。
说明：以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习。
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