(共17张PPT)
圆周角（2）
湘教·九年级下册
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理内容是什么？
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？
因为A，O，B 在一条直线上， 所以圆心角∠AOB 是一个平角，
即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3 ＝ × 180°= 90°.
若已知∠C1 = 90°， 它所对的弦 AB 是直径吗？
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
如图，BC 是⊙O 的直径，∠ABC = 60°，
点 D 在⊙O 上，求∠ADB 的度数.
解 ∵ BC为直径，
∴ ∠BAC = 90°.
又∠ABC = 60°，
∴ ∠C = 30°.
又∵ ∠ADB与∠C都是 所对的圆周角，
∴ ∠ADB =∠C = 30°.
【教材P54页】
如图，A，B，C，D是⊙O 上的四点，顺次连接 A，B，C，D 四点， 得到四边形 ABCD，我们把四边形ABCD 称为圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
在四边形 ABCD 中，两组对角∠A 与∠C，∠B 与∠D 有什么关系？
连接 OB，OD，
∵ ∠A 所对的弧为 ， ∠C 所对的弧为 ，
又 与 所对的圆心角之和是周角，
∴ ∠A + ∠C = = 180°
圆内接四边形的对角互补.
结论：
如图，四边形ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知∠BOD 为 100°，求∠BAD 及∠BCD 的度数.
解 ∵ 圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为 ，
∠BOD = 100°,
∴ ∠BAD = ∠BOD = ×100°= 50°.
∵ ∠BCD +∠BAD = 180°，
∴ ∠BCD = 180°-∠BAD = 180°- 50°＝ 130°.
【教材P55页】
1. 如图，在⊙O中，AB 是直径，C，D 是圆上两点，且 AC ＝ AD．
求证：BC ＝ BD．
解 ∵ AC = AD,
∴ ∠ABC = ∠ABD .
又∵ ∠C = ∠D = 90°，
∴∠CAB = ∠DAB ，
∴ BC = BD.
【教材P55页】
2. 怎样运用三角板画出如图所示的圆形件表面上的直径， 并标出圆心，试说明画法的理由.
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【教材P55页】
3. 如图，圆内接四边形 ABCD 的外角 ∠DCE = 85°，求∠A 的度数.
解 ∵∠A +∠BCD = 180°，
∠BCD + ∠DCE = 180°，
∴∠A =∠DCE = 85°.
【教材P55页】
1. 如图, AB 是☉O 的直径 , C , D 是☉O 上位于 AB 异侧的两点．下列四个角中, 一定与∠ACD 互余的是（ ）
A. ∠ADC B. ∠ABD
C. ∠BAC D. ∠BAD
D
2. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O, AB 经过圆心,
∠B＝ 3∠BAC , 则∠ADC 等于（ ）
A. 100° B. 112.5°
C. 120° D. 135°
B
3. （分类讨论题）如图, A , B , C 是☉O 上的三点 , 且四
边形 OABC 是菱形．若点 D 是圆上异于 A , B , C 的
另一点 , 则∠ADC 的度数是____________.
60°或120°
①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质;
③关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.(共20张PPT)
圆周角（1）
湘教·九年级下册
如图，把圆心角∠BOC 的顶点 O 拉到圆上，得到∠BAC.
问题1：∠BAC有什么特点？它与∠BOC有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠BAC取一个名字并下定义吗？
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顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
我们把∠BAC 叫作 所对的圆周角，
叫作圆周角∠BAC 所对的弧．
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从共青团团旗上的图案抽象出的图形，该图形中就有许多圆周角．
分别测量图中 所对的圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？
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在圆上任取 ，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心与圆周角有几种位置关系？
圆周角的一边通过圆心
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（1）种情况， 圆心 O 在 BAC 的一边 AB 上．
∵ OA ＝ OC，
∴ ∠C ＝∠BAC，
∴ ∠BOC ＝∠C ＋∠BAC ＝ 2∠BAC，
即∠BAC ＝ ∠BOC．
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（2）种情况， 圆心 O 在∠BAC 的内部．
作直径 AD， 根据第（1）种情况的结果得
∠BAD ＝ ∠BOD， ∠DAC ＝ ∠DOC．
∴ ∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC
＝ ∠BOD + ∠DOC
＝ ∠BOC.
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（3）种情况，圆心 O 在∠BAC 的外部．
请同学们自己完成证明.
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理：
∠C1，∠C2，∠C3 都是 所对的圆周角， 那么∠C1 =∠C2 =∠C3 吗？
∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角均为∠AOB. 由圆周角定理，可知∠C1 =∠C2 =∠C3 .
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 50°，∠BOC =70°. 求∠ACB和∠BAC 的度数.
解 ∵ 圆心角∠AOB与圆周角∠ACB 所对的弧为 ，
∴ ∠ACB ＝ ∠AOB = 25°.
同理∠BAC ＝ ∠BOC = 35°.
【教材P52页】
1. 下图中各角是不是圆周角？ 请说明理由.
×
√
√
×
【教材P52页】
2. 如图， 在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 M，若∠CAB = 25°，∠ABD=95°，试求∠CDB 和∠ACD的度数.
解 圆周角∠ACD和圆周角∠ABD 所对的弧为
∠ACD = ∠ABD = 95°
圆周角∠CAB和圆周角∠CDB 所对的弧为
∠CDB = ∠CAB =25°
【教材P52页】
3.如图，点 A，B，C 在⊙O 上，AC∥OB．若∠OBA = 25°，求∠BOC 的度数.
解 ∵AC∥OB，
∴∠BAC =∠OBA = 25°.
∵圆形角∠BOC与圆周角∠BAC所对的弧为 ，
∴∠BOC = 2∠BAC = 50°
【教材P52页】
1. 下列结论中,正确的个数有（ ）
①在同圆或等圆中,同弦所对的弧相等;
②相等的圆周角所对的弧相等;
③圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半;
④半圆所对的弦是直径．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
2. 如图 , A , B , C 三点在☉O 上, 连接 AO．若∠B ＝ 40°,
则∠OAC ＝________°．
50
3. 如图, BD 是☉O 的直径, 圆周角∠A ＝30°, BC＝ 3,
∠DBC＝60°,则 BD ＝______．
6
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等;(共15张PPT)
圆心角
湘教·九年级下册
观察图中的∠AOB， 可以发现它的顶点在圆心，角的两边与圆相交， 像这样的角叫作圆心角.
我们把∠AOB 叫作 所对的圆心角，
叫作圆心角∠AOB 所对的弧．
在生活中，我们常遇到圆心角，如飞镖靶中有圆心角，还有手表的时针与分针所成的角等也是圆心角．
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
【对应练习】
已知在⊙O中，圆心角∠AOB ＝∠COD．
它们所对的弧 与 相等吗？它们所对的弦 AB 与 CD 相等吗？
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AB = CD
在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．
∠AOB ＝∠COD
AB = CD
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图，等边△ABC 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，求圆心角 ∠AOB 的度数.
解 ∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AB = BC = AC.
∴ ∠AOB =∠BOC =∠COA .
又∵ ∠AOB +∠BOC +∠COA = 360°，
∴ ∠AOB = （∠AOB+∠BOC+∠COA）
= × 360 ° = 120° .
【教材P48页】
1.在⊙O中，已知∠AOB = 40°， ，求∠COD的度数.
解 ∵
∴∠COD = ∠AOB = 40°
【教材P48页】
2. 如图，在⊙O中，AB 是直径，∠AOE = 60°，点 C，D 是 的三等分点，求∠COE 的度数.
解 ∵ ∠AOE = 60°， ∴∠BOE = 120°
又∵点 C，D 是 的三等分点
∴∠BOC = ∠COD = ∠DOE = 40°
∴∠COE = 80°
【教材P48页】
如图, 在☉O 中, ,∠A＝30°,则∠B 的度数为（ ）
A. 150°
B. 75°
C. 60°
D. 15°
B
2. 如图,在☉O 中,若 C 是 的中点, ∠OAB＝50°,
则∠BOC 的度数为（ ）
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
A
3. 如图, AB 是 ☉O 的直径, BC , CD , DA 是☉O 的弦,
且 BC ＝ CD ＝ DA , 则∠BCD 的度数为（ ）
A. 100° B. 110° C. 120° D.135°
C
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．
∠AOB ＝∠COD
AB = CD
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
∠AOB ＝∠COD
AB = CD
∠AOB ＝∠COD
AB = CD
AB = CD
∠AOB ＝∠COD(共12张PPT)
湘教·九年级下册
∴ AB = CD
【教材P56】
【教材P56】
证明
∴ ∠AOC= ∠BOC ,
∵ OA = OB, M, N 为 OA, OB 的中点，
∴ OM = ON.
又∵OC 公共，
∴△OMC≌△ONC（SAS）.
∴ MC = NC.
【教材P56】
解 ∵ ∠AOB= 100°,
∴ 优弧 所对应的圆心角为 260°.
∴∠ACB= ×260°= 130°.
【教材P56】
解 ∵ ∠A= 72°,
∴ ∠BOC = 2×72° = 144°.
∴ OB = OC ,
∴∠OBC = = 18°.
【教材P56】
解 ∵ ∠BCD = 40°,∠BFD = 70°
∴ ∠B = 30°.
∵ ∠B 与∠ADC 所对应的弧都是 ,
∴∠ADC = 30°.
【教材P57】
当曲尺的两边紧靠凹面，
且曲尺的直角顶点落在圆弧上，
由圆周角定理的推论可知 90°的圆
周角所对的弦是直径， 则凹面是
半圆形状， 否则凹面不合要求.
解 （1） ∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
∴ 对角线 AC， BD 即为圆的直径.
（2） 阴影部分的面积为圆面积减去正方形面积，为4π-8.
【教材P57】
【教材P57】
解 ∵ ∠APC 与∠ABC 所对的弧为 ，
∴ ∠ABC =∠APC = 60°.
同理， ∠BAC =∠CPB = 60°.
∴ ∠ACB = 60°.
∴ △ABC 为等边三角形.
【教材P57】
解 连接 DC.
∵ ∠ADC 与∠B 所对的弧为 ，
∴ ∠ADC =∠B = ∠DAC.
又∵ AD 为直径， ∴ ∠ACD = 90°.
∴ 在 Rt△ACD 中， ∠ADC = 30°.
∴ AC = AD = cm.
【教材P57】
解 连接 AB.
∵ 四边形 CEBA 与四边形 ABFD 分别内接于⊙O1和⊙O2，
∴ ∠C+∠ABE = 180°， ∠D +∠ABF = 180°.
又∵ ∠ABE +∠ABF = 180°， ∴ ∠C+∠D = 180°.
∴ CE∥ DF.
1. 说一说本节课的收获。
2. 你还存在哪些疑惑？
