22.3实际问题与二次函数同步练习题 2021-2022年人教版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》同步练习题（附答案）
1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
2．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（　　）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点 B．当h＝25 m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点 D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
3．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
5．为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（　　）
A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃
6．合肥市2019年平均房价为6500元/m2．若2020年和2021年房价平均增长率为x，则预计2021年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为　 　．
7．用总长为60m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S（m2）与一边长l（m）之间的函数关系式为　 　，自变量l的取值范围是　 　．
8．如图建立直角坐标系，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，则它对应的解析式为：　 　．
9．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 　 　元时，网店该商品每天盈利最多．
10．汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是　 　秒．
11．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为　 　．
12．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为　 　m．
13．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C（4，3），且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x+b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是　 　．
14．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为　 　．
15．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y＝x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是　 　．
16．在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面上升1m时，水面宽为 　 　m．
17．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
18．某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间每天的定价增加x元．
（1）求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？
（3）若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
19．某水果批发商销售热带水果，其进价为8元/千克，当销售单价定为10元时，每天可售出300千克．根据市场行情，现决定增加销售价格．市场调查反映：销售单价每增加2元，则每天少售出100千克，若该热带水果的销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克）．
（1）求每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天销售这种热带水果的利润最大，最大利润为多少元？
20．某公司计划组织员工去武夷山风景区三日游，人数估计在25～45人．已知某旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元．设该公司旅游人数为x（人），人均收费为y（元）．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为6000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人．请你分析：旅行社带团接待旅游人数多少人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润＝总收费﹣固定成本﹣其他成本）
21．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点O垂直于BC的直线与抛物线交于点M，求点M的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．某件热销商品，经调查发现某月（按30天计）前5天销售价格p（元/件）和销量q（件）与第x天的关系如下表：
第x天 1 2 3 4 5
销售价格p（元/件） 2 3 4 5 6
销量q（件） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种现象后，统一规定每件商品销售价格不得高于1元/件，从第6天起将该商品调整为1元/件．据统计，该商品从第6天起销量q（件）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200（6≤x≤30，且x为整数），已知该商品的进货价格为0.5元/件．
（1）该商品前5天的销售价格p与x，销量q与x满足一次函数关系式，请直接写出它们的函数关系式；
（2）求该店前5天获得的利润W1（元），第6到第30天获得的利润W2（元）与x的函数关系式，判断第几天的利润最大，并求出最大利润；
（3）这个月中调整价格后商家每天还能盈利不低于275元的天数有多少天？
23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．
（1）若a＝30，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，其顶点为D，对称轴为x＝2，且与x轴交于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点M是第四象限该抛物线上一点，过M作MN⊥x轴于点N，点P是x轴上一点，要使以点M、N、P为顶点的三角形与△DEB全等，求满足条件的点M，点P的坐标．
参考答案
1．解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，
∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，
∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．
∴正确的有①②③④，
故选：C．
2．解：∵h＝vt﹣gt2，v＝20m/s，g≈10m/s2，
∴h＝20t﹣5t2
＝﹣5（t2﹣4t）
＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h＝20m时，只有一个时刻，
∴A、B、D均不正确．
∵h＝20t﹣5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，
∴当h＝15m时，对应两个不同的时刻点．
∴C正确．
故选：C．
3．解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
4．解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝﹣（t﹣3）2+40，
解得t＝3±，故③错误；
④令t＝2，则h＝﹣（2﹣3）2+40＝m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
5．解：∵y＝﹣t2+12t+2
＝﹣（t2﹣12t+36）+38
＝﹣（t﹣6）2+38，
∴当t＝6时，温度y有最大值，最大值为38℃．
∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．
故选：A．
6．解：由题意得：y＝6500（1+x）2，
故答案为：y＝6500（1+x）2．
7．解：长方形一边长为l（m），则另一边长为（30﹣l）m，所以长方形的面积＝l（30﹣l），
即S＝﹣l2+30l，
l的范围为0m＜l＜30m．
故答案为S＝﹣l2+30l，0m＜l＜30m．
8．解：由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+16，把（0，0）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣20）2+16，
即y＝﹣x2+x，
故答案为y＝﹣x2+x．
9．解：设销售单价为x元，则每天可销售100﹣2（x﹣60）＝（220﹣2x）件，每天盈利w元，
依题意得：w＝（x﹣50）（220﹣2x）＝﹣2x2+320x﹣11000＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝80时，w有最大值，最大值为1800元，
故答案为：80．
10．解：∵s＝﹣3t2+8t，
＝﹣3（t﹣）2+，
∴当t＝秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：．
11．解：设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，
故答案为：1050平方米．
12．解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，
∴水面宽CD为2m，
故答案为：2．
13．解：∵抛物线y＝ax2经过C（4，3），
∴抛物线的解析式为y＝x2，
∵C是线段AB的中点，
∴B（0，6），A（8，0），
设点D的坐标为（0，a），
则点E的坐标为（a，0），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（a，），
∵点P在抛物线y＝x2上，
∴＝×（a）2，
解得：a＝，
∴点P的坐标为：（，），
设D在x轴上，E在y轴上，
设点D的坐标为（a，0），
则点E的坐标为（0，a），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（，a），
∵点P在抛物线y＝x2上，
∴a＝×（a）2，
解得：a＝8，
∴点P的坐标为：（4，3）．
故答案为：（，）或（4，3）．
14．解：∵抛物线经过点A（4，0），
∴×42+4b＝0，
∴b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝2，
∵点C（1，﹣3），
∴作点C关于x＝2的对称点C′（3，﹣3），
直线AC′与x＝2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|＝AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC′的解析式为y＝3x﹣12，
当x＝2时，y＝﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
15．解：依题意，应分为两种情况讨论，
①当二次函数顶点在x轴下方，
若yx＝1＜0且yx＝2≥0，即，解得此不等式组无解；
若yx＝2＜0且yx＝1≥0，即，解得﹣1≤a＜﹣；
②当二次函数的顶点在x轴上时，
Δ＝0，即（a﹣3）2﹣12＝0，解得a＝3±2，
而对称轴为x＝﹣，可知1≤﹣≤2，故a＝3﹣2．
故答案为：﹣1≤a＜﹣或a＝3﹣2．
16．解：∵AB＝6m，OC＝3m，
∴点B坐标为（3，﹣3），
将B（3，﹣3）代入y＝ax2得：
﹣3＝a×32，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2．
∴当水面上升1m时，即纵坐标y＝﹣2时，有：
﹣2＝﹣x2，
∴x2＝6，
∴x1＝﹣，x2＝．
∴水面宽为：﹣（﹣）＝2（m）．
故答案为：2．
17．解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即y＝﹣3x2+252x﹣4860，
∵x﹣30≥0，
∴x≥30．
又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．
（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
18．解：（1）∵宾馆客房部有50个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，
∴房间每天的入住量y关于x的函数关系式为y＝50﹣；
（2）当客房部的总收入为12000元时，有
（50﹣）（200+x）＝1200，
解得：x1＝100，x2＝200，
200+100＝300（元），200+200＝400（元），
∴每个房间的定价是300元或400元；
（3）根据题意，得
w＝（200+x﹣20）（50﹣）＝﹣+32x+9000＝﹣+11560，
∵﹣＜0，
∴当x＝160时，wmax＝11560，
此时定价为160+200＝360（元），
∴当每个房间定价为每天360元时，w有最大值，最大值是11560元．
19．解：（1）＝﹣50x+800，
∴每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式y＝﹣50x+800；
（2）设每天的销售利润为w元，
则w＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800，
∵a＝﹣50＜0，
∴二次函数开口向下，
∴w有最大值，
∴x＝12时，w最大，此时w最大＝800元，
答：当销售单价为12元时，每天的销售利润最大，最大利润为800元．
20．解：（1）由题意可得，
当25≤x≤30时，y＝1000，
当30＜x≤45时，y＝1000﹣（x﹣30）×10＝﹣10x+1300，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）由题意可得，
当25≤x≤30时，w＝1000x﹣6000﹣600x＝400x﹣6000，
∵k＝400＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝400×30﹣6000＝6000；
当30＜x≤45时，w＝（﹣10x+1300）x﹣6000﹣600x＝﹣10x2+700x﹣6000＝﹣10（x﹣35）2+6250，
∴当x＝35时，w取得最大值，此时W＝6250；
由上可得，旅行社带团接待旅游人数35人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是6250元．
21．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得：b＝1，c＝2，
∴抛物线的函数表达式：y＝﹣x2+x+2；
（2）由题意知：OB＝OC＝2，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴过点O垂直于BC的直线为y＝x，设M（x，x），
∴﹣x2+x+2＝x，
解得：x＝，
∴M的坐标为（，）或（﹣，﹣）；
（3）存在，点Q坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，）．理由如下：
抛物线的对称轴x＝﹣＝，
∴点P的横坐标为，
分情况讨论：
①当BC是平行四边形边时，由于OB＝2，
设Q（a，b），则|a﹣|＝2，
解得：a＝或﹣，
当a＝时，b＝﹣，
当a＝﹣时，b＝﹣，
故Q（，﹣）或（﹣，﹣）；
②当BC是平行四边形对角线时，
∵B（2，0），C（0，2），
∴BC的中点坐标为（1，1），
设Q（a'，b'），则a'+＝2，
解得：a'＝，
当a'＝时，b'＝，
∴Q（，），
综上所述，点Q坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，）．
22．解：（1）由表中数据可得，该商品前5天销售价格比天数多1，
∴销售价格p与x的函数关系式为p＝x+1（1≤x≤5，且x为整数）；
∵销量q与x满足一次函数关系式，
∴设q与x的函数关系式为q＝mx+n，
把（1，70）和（2，75）代入得：
，
解得：，
∴q与x的函数关系式为q＝5x+65（1≤x≤5，且x为整数）；
（2），
W2＝（﹣2x2+80x﹣200）（1﹣）＝﹣x2+40x﹣100，
当1≤x≤5时，对称轴直线为x＝﹣＝﹣＝﹣，
∵5＞0，
∴当1≤x≤5时，W1随x的增大而增大，
∴在x＝5取得最大值，W1＝5×52+×5+＝495（元），
当6≤x≤30，W2＝﹣（x﹣20）2+300，
∵﹣1＜0，
∴当x＝20时，W2取得最大值，W2＝300（元），
∴第5天利润最大为495元；
（3）∵调整价格后商家每天还能盈利不低于275元，
∴﹣x2+40x﹣100＝275，
解得：x＝15或x＝25，
∴根据函数的性质可知从第15天到第25天共11天盈利不低于275元．
23．解：（1）设AB＝xm，则BC＝（200﹣2x）m，根据题意得：
x（200﹣2x）＝1800，
解得x1＝10，x2＝90，
当x＝10时，200﹣2x＝180＞30，不符合题意舍去，
当x＝90时，200﹣2x＝20，
答：AD的长为20m；
（2）设AD＝nm，
∴S＝n（200﹣n）＝﹣（n﹣100）2+5000，
当a≥100时，则n＝100时，S的最大值为5000，
当0＜a＜100时，则当0＜n≤a时，S随n的增大而增大，
∴当n＝a时，S的最大值为100n﹣a2，
答：当a≥100时，S的最大值为5000，当0＜a＜100时，S的最大值为100n﹣a2．
24．解：（1）根据题意得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），E（2，0），
∴OE＝2，DE＝9，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得x＝﹣1或5，
∴B（5，0），
∴BE＝3，
①若MN＝DE＝9，NP＝BE＝3，如图：
∴yM＝﹣9，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝﹣9得：
﹣x2+4x+5＝﹣9，解得x＝3+2或x＝﹣3+2（小于0，舍去），
∴M（3+2，﹣9），
∴N（3+2，0），
∴P（3+5，0）或（3﹣1，0）；
②若MN＝BE＝3，NP＝DE＝9，如图：
∴yM＝﹣3，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝﹣3得：
﹣x2+4x+5＝﹣3，解得x＝2+2或x＝﹣2+2（小于0，舍去），
∴M（2+2，﹣2），
∴N（2+2，0），
∴P（2+11，0）或（2﹣7，0）．
综上所述，以点M、N、P为顶点的三角形与△DEB全等，M（3+2，﹣9）时P（3+5，0）或（3﹣1，0），M（2+2，﹣2）时P（2+11，0）或（2﹣7，0）