必修4第2章（第4课时）平面向量的线性运算（3）

课 题： 2.2.3向量数乘运算及其几何意义
教学目的：
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律；
3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.
教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件
教学难点：对向量共线的充要条件的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
差向量的意义： = , = , 则=
即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
二、讲解新课：
1．示例：已知非零向量，作出++和()+()+()
==++=3
==()+()+()=3
（1）3与方向相同且|3|=3||；（2）3与方向相反且|3|=3||
2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||
（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
3．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ 　②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ0，μ0，
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向
即 |(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向，且|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立.
当，且λ0，λ1时
（1）当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，
作 λ λ
则+ λ+λ
由作法知 ，∥有OAB=OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同
∴λ(+)=λ+λ
当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
4．向量共线的充要条件
若有向量()、，实数λ，使=λ，则与为共线向量
若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ； 当与反向时=μ从而得
向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使=λ
三、讲解范例：
例1若3＋2＝，－3＝，其中，是已知向量，求，.
分析：此题可把已知条件看作向量、的方程，通过方程组的求解获得、.
解：记3＋2＝① －３＝②
3×②得３－９＝３③
①－③得11＝－３. ∴＝－④
将④代入②有：＝＋３＝＋
例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).
解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.
∴EF是△ADG的中位线，∴EF =, ∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝（＋）.
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB，EC，则有＝＋，
＝＋，
又∵E是AD之中点，∴有＋＝.
即有＋＝＋；
以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
∴＝＝（＋）＝（＋）
例3 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
解：∵
∴
所以,A、B、C三点共线.
四、课堂练习：
五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：