必修4第2章（第7课时）平面向量的数量积⑴
文档属性
| 名称 | 必修4第2章（第7课时）平面向量的数量积⑴ |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 191.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-08-03 17:06:45 | ||
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文档简介
课 题： 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标运算
若，，则，，
若，，则
2．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
二、讲解新课：
1．力做的功：W = ||||cos，是与的夹角
2．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，
（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c
但是 = =
如右图： = ||||cos = |||OA|，= ||||cos = |||OA|
= 但
(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是() ()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线
3．“投影”的概念：作图
定义：||cos叫做向量在方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 ||；当 = 180时投影为 ||
4．数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||os的乘积
5．探究：设、为两个非零向量
1 = 0
2当与同向时， = ||||；当与反向时， = ||||
特别的 = ||2或
3 || ≤ ||||
6.平面向量数量积的运算律
1．交换律： =
证：设，夹角为，则 = ||||cos， = ||||cos
∴ =
2．数乘结合律：() =() = ()
证：若> 0，() =||||cos， () =||||cos，() =||||cos，
若< 0，() =||||cos() = ||||(cos) =||||cos，
() =||||cos，
() =||||cos() = ||||(cos) =||||cos
3．分配律：( + ) = +
在平面内取一点O，作= , = ，=，
∵ + （即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，
即 | + | cos = || cos1 + || cos2
∴| | | + | cos =|| || cos1 + || || cos2
∴( + ) = + 即：( + )= +
说明：（1）一般地，(·)≠（·）
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，
（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·
(＋)２＝２＋２·＋２
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b.
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= -10
例2已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，∴·＝０；
③当与的夹角是60°时，有
·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
例3 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图：ABCD中，，，=
∴||2=
而=
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
四、课堂练习：
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记
C
教学目的：
1掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标运算
若，，则，，
若，，则
2．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
二、讲解新课：
1．力做的功：W = ||||cos，是与的夹角
2．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，
（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c
但是 = =
如右图： = ||||cos = |||OA|，= ||||cos = |||OA|
= 但
(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是() ()
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线
3．“投影”的概念：作图
定义：||cos叫做向量在方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 ||；当 = 180时投影为 ||
4．数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||os的乘积
5．探究：设、为两个非零向量
1 = 0
2当与同向时， = ||||；当与反向时， = ||||
特别的 = ||2或
3 || ≤ ||||
6.平面向量数量积的运算律
1．交换律： =
证：设，夹角为，则 = ||||cos， = ||||cos
∴ =
2．数乘结合律：() =() = ()
证：若> 0，() =||||cos， () =||||cos，() =||||cos，
若< 0，() =||||cos() = ||||(cos) =||||cos，
() =||||cos，
() =||||cos() = ||||(cos) =||||cos
3．分配律：( + ) = +
在平面内取一点O，作= , = ，=，
∵ + （即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，
即 | + | cos = || cos1 + || cos2
∴| | | + | cos =|| || cos1 + || || cos2
∴( + ) = + 即：( + )= +
说明：（1）一般地，(·)≠（·）
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，
（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·
(＋)２＝２＋２·＋２
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b.
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= -10
例2已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，∴·＝０；
③当与的夹角是60°时，有
·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
例3 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图：ABCD中，，，=
∴||2=
而=
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
四、课堂练习：
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记
C