必修4第2章（第8课时）平面向量的数量积⑵

课 题：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件
⑶能用所学知识解决有关综合问题
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有 = ||||cos，
（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么
，
所以
又，，
所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即
2.平面内两点间的距离公式
（1）设，则或
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设，，则
4.两向量夹角的余弦（）
cos =
三、讲解范例：
例1 设 = (5, 7)， = (6, 4)，求
解： = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 2
例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
证明：∵=(21, 32) = (1, 1), = (21, 52) = (3, 3)
∴=1×(3) + 1×3 = 0 ∴
∴△ABC是直角三角形
例3 已知 = (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9与 = 4的向量
解：设= (t, s)，
由 ∴= (2, 3)
例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少
分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由＝（１，），＝（＋１，－１）
有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．
记与的夹角为θ，则cosθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使B = 90，求点B和向量的坐标
解：设B点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x5, y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值
解：当 = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当 = 90时，= 0，== (12, k3) = (1, k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C= 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
四、课堂练习：
五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记