3.2.2奇偶性(第1课时)课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第1课时
观察下列两组图形，说说这两组图形各有什么共同特点？
而我们所数学中的函数图像是否也有类似的对称现象呢？这就是我们本节课要研究的内容。
引入
这些图形都是对称图形。
第1组是轴对称图形， 即关于某一条直线对称；
第2组是中心对称图形，即关于某一个点对称。
(1)
(2)
思考1：观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象，你能找出它们的共同特性吗？
探究新知（一）
这两个图象都关于y轴对称
思考2：现让自变量取一些特殊值，得到下列表格.观察下列表格，你能发现什么？
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
f(x)=x2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
g(x)=2-|x| ... -1 0 1 2 1 0 -1 ...
当x取一对相反数时，相应的两个函数值相等
思考3：事实上，这种情况无法列举完，那么”当x取一对相反数时，相应的两个函数值相等”这个结论是否具有一般性呢？若具有一般性，如何用严格的符号语言来表示？
设P(x,f(x))是f(x)=x2图象上任意一点，则
点P关于y轴的对称点为P′(-x,f(-x)).
∵PP′平行x轴,
∴f(-x)=f(-x)).
又从解析式的角度来看,
(-x)2=x2总是成立的。
∴这个结论具有一般性。即
x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)
同理，对于函数g(x)=2-|x|：
x∈R，都有g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)
∴函数g(x)=2-|x|也是偶函数
这时我们称函数f(x)=x2叫偶函数
R是函数f(x)的定义域
对于函数f(x)=x2：
2.偶函数的特征:
(2)代数特征：
f(-x)=f (x)
(3)几何特征:
一般地，设函数f(x)的定义域为Ⅰ，如果 x∈Ⅰ,都有
-x∈Ⅰ,且
f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).
1. 偶函数的定义
偶函数
函数图象关于y轴对称.
(1)定义域特征：
定义域关于原点对称.
“f(-x)=f(x)”有时换为
“f(-x)-f(x)=0”更方便
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探究新知（二）
这两个图象都关于原点成中心对称
当x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数
-3 -2 -1 0 1 4 9
(-∞,0)∪(0,+∞)是函数g(x)的定义域
2.奇函数的特征:
(2)代数特征：
f(-x)=-f (x)
(3)几何特征:
一般地，设函数f(x)的定义域为Ⅰ，如果 x∈Ⅰ,都有
-x∈Ⅰ,且
f(-x)=-f(x),
那么函数f(x)就叫做奇函数(evenfunction).
1. 奇函数的定义
奇函数
函数图象关于原点对称.
(1)定义域特征：
定义域关于原点对称.
思考：比较一下奇函数和偶函数的异同？
相同点：
①定义域都关于原点对称，
②都是函数的整体性质.
不同点：
①奇函数图象关于原点对称，
偶函数图象关于y轴对称;
②f(-x)=-f(x): 自变量取一对相反数时，函数值也是一对相反数.
f(-x)=f(x): 自变量取一对相反数时，函数值相等
“f(-x)=-f(x)”有时换为
“f(-x)+f(x)=0”更方便
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练习
1.观察下列函数图像，并判断它们的奇偶性
奇函数
既非奇函数又非偶函数
奇函数
既非奇函数又非偶函数
偶函数
既非奇函数又非偶函数
既是奇函数又是偶函数
思考：举例说明，根据奇偶性函数可分为哪几类？
根据奇偶性, 函数可划分为四类
①奇函数，
②偶函数，
③既是奇函数又是偶函的函数，
④既不是奇函数又不是偶函的函数，
2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
（教材P85练习第1题）
O
x
y
f(x)
O
x
y
g(x)
3.若函数y=f(x)(x∈(a2-3,2a))具有奇偶性，则a=_____。
1
由（a2-3)+2a=0得
a=-3或a=1
当a=-3时，
(a2-3,2a)=(6,-6)无意义
简析：
例. 判断下列函数的奇偶性
解:
(1)
例 析
(2)
函数f(x)定义域为R
∵ x∈R,都有-x∈R，
∴f(x)定义域关于原点对称
又∵ x∈R，f(-x)=(-x)5=-x5
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=x5是偶函数。
函数f(x)定义域为R
∵ x∈R,都有-x∈R，
∴f(x)定义域关于原点对称
又∵ x∈R，f(-x)=(-x)4=-x4
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)=-x4是偶函数。
思考: 你能归纳用定义判断函数奇偶性的一般过程是怎样的吗？
求定义域
判断定义域是否关于原点对称
计算f(-x)，并判断f(-x)与f(x)的关系
作结论
例. 判断下列函数的奇偶性
(1)求函数的定义域Ⅰ；
(2)判断定义域Ⅰ是否关于原点对称；
若定义域Ⅰ关于原点对称，则函数不具有奇偶性;
若定义域Ⅰ关于原点对称关于原点对称，则进入第三步.
(3) x∈Ⅰ,计算f(-x)，并判断f(-x)与f(x)的关系；
(4)作结论.
若f(-x)=－f(x)，则函数是奇函数；
若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；
若f(-x)≠f(x)且f(-x)=-f(x) ,则f(x)既非奇函数又非偶函数;
若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x) ,则f(x)既是奇函数又是偶函数.
用定义法判定函数f(x)的奇偶性的步骤
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一求二看
三算
四断
例. 判断下列函数的奇偶性
练习
1.判断下列函数的奇偶性.（教材P85练习第2题）
解: (1)
函数f(x)=2x4+3x2定义域为R
∵ x∈R,都有-x∈R，
∴f(x)定义域关于原点对称
又∵ x∈R，f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)=2x4+3x2是偶函数。
(2)函数f(x)=x3-2x定义域为R
∴f(x)定义域关于原点对称
又∵ x∈R，f(-x)=(-x)3-2(-x)
=-x3+2x
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=x3-2x是奇函数。
2.判断下列函数的奇偶性.
解: (1)
函数f(x)=3定义域为R
∴f(x)定义域关于原点对称
又∵ x∈R，f(-x)=3
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)=3是偶函数。
(2)函数f(x)定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)
∴f(x)定义域不关于原点对称
∴函数f(x)不具有奇偶性。
(3)函数f(x)=|x+1|-|1-x|定义域R
∴f(x)定义域不关于原点对称
又∵ x∈R，f(-x)=|-x+1|-|1+x|
=-|x+1|+|1-x|
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=|x+1|-|1-x|是奇函数
1. 本节课我们得出奇偶函数定义的过程是怎样的？
小结
2.什么是偶函数？奇函数的特征是怎样的？
(1)图象法(直观判断)；
(2)定义法(严格推导)。
4.如何判定一个函数的奇偶性？
具体函数→图象特征(定性刻画)
→数量刻画(定量刻画)
→数学符号语言
→抽象定义
奇函数呢？
3.函数的单调性和奇偶性各反应了函数怎样的性质？
单调性反映的是函数的增减性，奇偶性反映的是函数的对称性;
单调性针对的是定义域下的某一个区间，奇偶性针对的是整个定义域。
作 业
2.教材P86习题3.2第5题
简析：
简析：
简析：