8．2 椭圆
一、整合教材知识，落实基本能力
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±c，0) (0，±c)
焦距
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0，1)
3．直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
4．弦长公式： 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝＝，
或|AB|＝ ＝＝．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，通过直线与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的一元二次方程求得．
1．焦点三角形 如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当|PF1|＝|PF2|时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc．
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c． (4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝．
3．设AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)
(1)斜率：k＝－． (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 椭圆的标准方程
高考对椭圆的标准方程的考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程得出椭圆的基本量的数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第(1)问，难度适中．
1．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
1．(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
2．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
3．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
4．已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．
5．(2017·湖南长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
6．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，直线x＋y－4＝0与y轴的交点为椭圆的一个顶点，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
7．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
8．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
9．(2021·长春联考)阿基米德(公元前287—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
考点二 椭圆的定义及其应用
高考对椭圆定义的考查形式主要有两种：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用椭圆的定义结合正、余弦定理等知识解决焦点三角形问题，通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中．
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(2016·北京东城期末)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
5．(2021·湖北四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
6．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21 C．－或21 D．或－21
7．椭圆＋＝1焦点是F1，F2，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B． C． D．
8．(2016·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝( )A． B． C． D．
考点三 椭圆的几何性质
椭圆的几何性质内容非常丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但是对其离心率的考查是每年高考的热点．本考点对数形结合思想要求较高，方法灵活，难度中等偏上，题型既有选择题、填空题，也有解答题。常见的命题角度有：(1)求椭圆离心率的值(或范围)；(2)根据椭圆性质求参数的值 或范围．
角度1 求椭圆离心率的值
求椭圆的离心率，常见的有三种方法
一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
1．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A． B． C． D．
2．（2018全国I）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
4．（2018全国II）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( )A． B． C． D．
5．（2018全国II理）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
6．(2017·全国卷Ⅲ文)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
7．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A． B． C． D．
8．(2019·深圳模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )A． B． C． D．
9．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据已知条件建立关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解．
[注意] 在解关于离心率问题时，注意根据椭圆离心率e∈(0,1)进行根的取舍．
角度2 求椭圆离心率的取值范围
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D．
2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A． B． C． D．
5．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
角度3 根据椭圆性质求参数的值(或范围)
1．(2021·全国Ⅰ卷)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A．13 B．12 C．9 D．6
2．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
考点四 直线与椭圆的位置关系
高考中对直线与椭圆的位置关系的考查主要有位置关系的判断、公共点问题、相交弦问题、已知位置关系求参数问题等．题型既有选择题、填空题也有解答题，难度较大，属于中高档题．
角度1 弦长问题
求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线斜率)．
1．求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截线段的长度．
反思与感悟 求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
2．已知直线与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（ ）A． B． C． D． 2
3．（2018北京卷节选）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；
角度2 中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
→→
1．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0 C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
3．椭圆（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0，弦的中点坐标是M(﹣4，1)，则椭圆的离心率是（ ）A． B． C． D．
4．已知点M(2，1)是直线l被椭圆x2＋4y2＝16所截得的线段的中点，求直线l的方程．
5． 已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上．
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程．
角度3 最值(或范围)问题
1．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A． B． C． D．
3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2 B．3 C．6 D．8
4．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
5．(2016·西安质检)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．8．2 椭圆
一、整合教材知识，落实基本能力
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±c，0) (0，±c)
焦距
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0，1)
3．直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
4．弦长公式： 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝＝，
或|AB|＝ ＝＝．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，通过直线与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的一元二次方程求得．
1．焦点三角形 如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当|PF1|＝|PF2|时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc．
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c．
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝．
3．设AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)
(1)斜率：k＝－． (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 椭圆的标准方程
高考对椭圆的标准方程的考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程得出椭圆的基本量的数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第(1)问，难度适中．
1．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C．
【答案】 C
1．(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3．
故C的方程为＋＝1．
2．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
解析 C 直线与坐标轴的交点分别为(0,1)，(－2,0)，由题意知
当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
3．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
解析 A 依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．
4．已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．
解析：据题意可设椭圆方程为＋＝1，故b＝1．设右焦点为(c,0)(c＞0)，它到已知直线的距离为＝3，解得c＝，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为＋y2＝1．
答案：＋y2＝1
5．(2017·湖南长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
解析 由条件可知b＝c＝，a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1．故选C．
6．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，直线x＋y－4＝0与y轴的交点为椭圆的一个顶点，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选C 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则已知解得所以椭圆方程为＋＝1．
7．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
解析 A 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立
得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1．
8．在△ABC中，A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
解析 A [由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3．
由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．]
9．(2021·长春联考)阿基米德(公元前287—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案 D
解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得ab＝＝12，又＝，a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1．故选D．
考点二 椭圆的定义及其应用
高考对椭圆定义的考查形式主要有两种：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用椭圆的定义结合正、余弦定理等知识解决焦点三角形问题，通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中．
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析 由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离是10－2＝8．答案 D
2．(2016·北京东城期末)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2
解析 B 因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1．根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4．
3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
解析：选C 由椭圆的方程得a＝．设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4．
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
解析 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A．
5．(2021·湖北四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析
如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，
∴4a＝8，a＝2，又离心率为，∴c＝1，b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．
6．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21 C．－或21 D．或－21
解析：当9＞4－k＞0，即4＞k＞－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝．
当9＜4－k，即k＜－5时，a＝，c2＝－k－5，∴＝，解得k＝－21，
所以k的值为或－21．选D
7．椭圆＋＝1焦点是F1，F2，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B． C． D．
解析 C 由题意得a＝3，b＝，c＝，∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6．
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8．
∴|AF1|＝，∴S△AF1F2＝××2×＝．
8．(2016·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝( )
A． B． C． D．
解析：选C 由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2．
在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－．
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝．
考点三 椭圆的几何性质
椭圆的几何性质内容非常丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但是对其离心率的考查是每年高考的热点．本考点对数形结合思想要求较高，方法灵活，难度中等偏上，题型既有选择题、填空题，也有解答题。常见的命题角度有：(1)求椭圆离心率的值(或范围)；(2)根据椭圆性质求参数的值 或范围．
角度1 求椭圆离心率的值
求椭圆的离心率，常见的有三种方法
一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
1．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A． B． C． D．
解析 ∵椭圆方程为＋＝1，∴a＝3，c＝＝＝．∴e＝＝．故选B．
2．（2018全国I）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C．
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
解析：选B 由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．
4．（2018全国II）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( )
A． B． C． D．
【解析】在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，故选D．
5．（2018全国II理）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A． B． C． D．
解析：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得, 所以，选D．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
6．(2017·全国卷Ⅲ文)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝．故选A．
7．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
解析 选B 如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝．]
8．(2019·深圳模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
解析：D [法一：(直接法)如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，|PF2|＝2c·tan 30°＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即＋＝2a，可得c＝a，∴e＝＝
法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2，|F1F2|＝，∴e＝＝＝．故选D．
9．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
解析：选C 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，∴e＝＝．
求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据已知条件建立关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解．
[注意] 在解关于离心率问题时，注意根据椭圆离心率e∈(0,1)进行根的取舍．
角度2 求椭圆离心率的取值范围
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c
2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析 [满足1·2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，
即2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e＜1，所以0＜e＜．]
3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
解析：选C 如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c． ∴a－c≤2c≤a＋c．∴e＝∈．
4．(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2． 又d＝≥，所以1≤b＜2，
所以e＝＝＝．因为1≤b＜2，所以0＜e≤．
5．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1．
答案：
角度3 根据椭圆性质求参数的值(或范围)
1．(2021·全国Ⅰ卷)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
解：由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．
2．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1．当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9．
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
考点四 直线与椭圆的位置关系
高考中对直线与椭圆的位置关系的考查主要有位置关系的判断、公共点问题、相交弦问题、已知位置关系求参数问题等．题型既有选择题、填空题也有解答题，难度较大，属于中高档题．
角度1 弦长问题
求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线斜率)．
1．求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截线段的长度．
【解】 过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0． ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8．
∴|AB|＝·＝＝．
反思与感悟 求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
2．已知直线与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（ ）
A． B． C． D． 2
解析：B由已知，椭圆方程为，联立方程组得所以．
3．（2018北京卷节选）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；
解析：（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设， ，则， ，
则，
易得当时， ，故的最大值为．
角度2 中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
→
→
1．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设两点坐标分别为，则，将两式两边分别相减得
，整理得，又，
所以，即的斜率为。选B。
2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0 C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组
两式作差可得：5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①
又弦的中点为(2，－1)，可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ②
将②代入①式可得k＝＝，故直线的方程为y＋1＝(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C．
【答案】 C
3．椭圆（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0，弦的中点坐标是M(﹣4，1)，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】B设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C．
4．已知点M(2，1)是直线l被椭圆x2＋4y2＝16所截得的线段的中点，求直线l的方程．
解 方法一 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，故有x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
∵点M(2，1)是AB的中点，故x1≠x2，
两边同除(x1－x2)得，4＋8＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－．
∴弦所在的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
方法二 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2，1)显然不可能为这条弦的中点．
故可设弦所在的直线方程为y＝k(x－2)＋1，
联立方程组，消去y得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0，
又x1＋x2＝＝4，解得k＝－，满足Δ>0．
∴直线方程为x＋2y－4＝0．
5． 已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上．
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程．
解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得
,
根据韦达定理，得
∴线段AB的中点坐标为（）．
由已知得
故椭圆的离心率为．
（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为
解得 由已知得
故所求的椭圆方程为．
角度3 最值(或范围)问题
1．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0 m2＝16 m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4距l最近，d＝＝＝，切点为P．
2．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A． B． C． D．
解析：选B 由椭圆方程知c＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，
代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±．
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，所以·＝y1y0．
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，故·的最大值为．
3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
解析 由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)，
因为＝(x0，y0)，＝(x0＋1，y0)
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝(x0＋2)2＋2，
所以当x0＝2时，·取得最大值6． 答案 C
4．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． (1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
解：(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝．
因为椭圆的离心率为，所以＝，又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝．
所以椭圆的方程为＋＝1．
(2)由(1)可知F(－1,0)，则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
联立消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1＋x2＝－，x1x2＝． 又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋＝8，
解得k＝±．
从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0．
所以|x1－x2|＝＝ ＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×＝．
而原点O到直线CD的距离为d＝＝＝，
所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝．
5．(2016·西安质检)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4．故椭圆C2的方程为＋＝1．
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝．
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝．
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1．故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝．
由＝2，得x＝，y＝．
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1．故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
[解] (1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1．
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝．
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴＋＝1，∴m＝±．
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【解】 (1)由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝＝＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1．