8.4 抛物线
一、整合教材知识，落实基本能力
1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
已知y2＝2px，过焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，l的倾斜角为θ，如图，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝；
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(3)＋＝；
(4)S△AOB＝；
(5)|CD|＝2p，即通径，通径是过抛物线焦点弦中最短的弦．．
(6)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(7)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 抛物线的标准方程及其性质
高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式．高考试题的考查形式主要有两种：一是求抛物线的方程；二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质，题型多为选择题、填空题，难度适中．
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
3．(2015·新乡模拟)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A． B． C．1 D．
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
5．(2013·全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2 C．2 D．4
6．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
7．(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( ) A． B． C．(1，0) D．(2，0)
8．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
9．(多选题)(2021·济南模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
10．(2016·徐州)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x
11．(2016·安阳调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
12．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为( )
A． B． C． D．
13．(2015·朝阳模拟)抛物线x2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
14．(2017·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 ( )
A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝
15．(2021·全国卷Ⅱ)抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
考点二 抛物线的定义及应用
抛物线定义的考查形式多为选择题或填空题，也常出现在解答题的第 1 问，难度中等．,常见的命题角度有：（1）利用抛物线的定义解决最值、距离问题；（2）利用抛物线的定义处理焦点弦问题．
角度1 到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B． C．(1，) D．(2,2)
2．(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．＋1
角度2 到点与准线的距离之和最小问题
1．(2016·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
角度3 到定直线的距离最小问题
1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A． B．2 C． D．3
题点四：焦点弦中距离之和最小问题
1．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4 ，则|QF|＝( )A． B． C．3 D．2
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2 C．2 D．3
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
考点三 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系是每年高考的重点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于中等偏上．
1．(2020·新高考山东卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． ①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；②若＝3，求|AB|．
解答本例(2)第②问的关键是从条件“＝3”中发现变量间的关系“y1＝－3y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．
3．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．
(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．
6．(2016·唐山一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12．
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
7．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N．证明：直线AN与抛物线相切．8.4 抛物线
一、整合教材知识，落实基本能力
1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
已知y2＝2px，过焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，l的倾斜角为θ，如图，则
(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝；
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(3)＋＝；
(4)S△AOB＝；
(5)|CD|＝2p，即通径，通径是过抛物线焦点弦中最短的弦．．
(6)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(7)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 抛物线的标准方程及其性质
高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式．高考试题的考查形式主要有两种：一是求抛物线的方程；二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质，题型多为选择题、填空题，难度适中．
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x
解析：选B 因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x．
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D (待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y．
3．(2015·新乡模拟)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A． B． C．1 D．
解析：选B 由抛物线y2＝4x，有2p＝4，p＝2．故其焦点坐标为(1,0)．
双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x．不妨取其中一条x－y＝0．
由点到直线的距离公式得d＝＝．故选 B．
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
解析：选B 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即＝1，所以焦点坐标为(1,0)．
5．(2013·全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2 C．2 D．4
解析：选C 由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入抛物线方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2．
6．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析：设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12．
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6．故选C．
7．(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A． B． C．(1，0) D．(2，0)
解析：将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．其焦点坐标为．故选B．
8．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：B 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2．
∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D．
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，
∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4．
9．(多选题)(2021·济南模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则( )
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析
由题意，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，由抛物线定义，可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°，因为S△ABF＝|BF|2＝9，所以|BF|＝6，又焦点F到准线的距离为p＝|BF|sin30°＝3，则抛物线方程为y2＝6x，则B，C，D正确，A错误．故选BCD．
10．(2016·徐州)若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：∵抛物线为y2＝2px，∴准线为x＝－．
∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴＝4，解得p＝4．∴抛物线的标准方程为y2＝8x．
11．(2016·安阳调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
解析：设A(x0，y0)，B(x0，y0)，作AM，BN垂直准线于点M，N，
则AM＝AF，|BN|＝|BF|，
又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，所以∠NCB＝30°，
有|AC|＝2|AM|＝6，所以|CF|＝|AC|－|AF|＝3，
所以p＝．所以抛物线的方程为y2＝3x．
12．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为( )
A． B． C． D．
解析：B 由题意知，抛物线准线方程为x＝－．
设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为，
所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±，所以S△MFO＝××＝．
13．(2015·朝阳模拟)抛物线x2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B．
又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6．答案：6
14．(2017·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 ( )
A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝
解析：B设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，
由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p．
又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．
所以抛物线的方程为y2＝8x．
15．(2021·全国卷Ⅱ)抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，
解得：(舍去).故选：B.
考点二 抛物线的定义及应用
抛物线定义的考查形式多为选择题或填空题，也常出现在解答题的第 1 问，难度中等．,常见的命题角度有：（1）利用抛物线的定义解决最值、距离问题；（2）利用抛物线的定义处理焦点弦问题．
角度1 到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B． C．(1，) D．(2,2)
解析：选D 过M点作左准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
2．(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．＋1
解析：A 由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．
过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3．
角度2 到点与准线的距离之和最小问题
1．(2016·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5．
答案：5
角度3 到定直线的距离最小问题
1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A． B．2 C． D．3
解析：选B 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2．
题点四：焦点弦中距离之和最小问题
1．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2．
答案：2
2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4 ，则|QF|＝( )
A． B． C．3 D．2
解析：C∵＝4 ，∴||＝4||，∴＝．
如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，
∴＝＝，∴|QQ′|＝3．根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3．
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
解析：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2．∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．]
4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2 C．2 D．3
解析：选C 法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3．
由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4．
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2．
法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝＝4．
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2．
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：选A 法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，
则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋．
同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16．
法二：如图所示，设直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，
则|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，过点F向AA1引垂线FG，得＝＝cos θ，
则|AF|＝，同理|BF|＝，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝，即|AB|＝，
因为l1与l2垂直，故直线DE的倾斜角为θ＋或θ－，
则|DE|＝，则|AB|＋|DE|＝＋＝＝＝，
则易知|AB|＋|DE|的最小值为16．
考点三 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系是每年高考的重点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于中等偏上．
1．(2020·新高考山东卷)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案
解析 由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为y＝(x－1)．
由得3x2－10x＋3＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝．
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；②若＝3，求|AB|．
[解] 设直线l：y＝x＋t，A，B．
①由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝．
由 ，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－．
从而由－＝，得t＝－．所以l的方程为y＝x－．
②由＝3得y1＝－3y2．由 ，得y2－2y＋2t＝0．
所以y1＋y2＝2．从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程得x1＝3，x2＝．故|AB|＝．
解答本例(2)第②问的关键是从条件“＝3”中发现变量间的关系“y1＝－3y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．
3．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
看到曲线的切线?想到导数的几何意义；看到AM⊥BM?想到直角三角形的性质或·＝0．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
(2)法一：由y＝，得y′＝．设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1,2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝4．
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为x－y＋7＝0．
法二：由y＝，得y′＝，设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，由得x2－4x－4m＝0．由Δ＝16(m＋1)＞0，得m＞－1．
则x1＋x2＝4，x1x2＝－4m．∵AM⊥BM，∴·＝0，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，又y＝x＋m，
∴(x1－2)(x2－2)＋(x1＋m－1)(x2＋m－1)＝0，
即2x1x2＋(m－3)(x1＋x2)＋4＋(m－1)2＝0，∴－8m＋4(m－3)＋4＋(m－1)2＝0，
整理得m2－6m－7＝0，解得m＝7或m＝－1，又m＞－1，∴m＝7，
∴直线AB的方程为x－y＋7＝0．
4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．
(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P．
又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝．因此H．
所以N为OH的中点，即＝2．
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．
[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，
∴抛物线方程为y2＝8x．
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M．
由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，
∴m>－2．y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2．
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，
∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24．
6．(2016·唐山一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12．
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
解：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0．(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4．
因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
解得p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x．
(2)(1)中(*)可化为y2－4my＋8＝0，即y1＋y2＝4m，y1y2＝8，设AB的中点为M，
则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝|y1－y2|＝，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±，
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0．
7．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N．证明：直线AN与抛物线相切．
解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p．∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y．
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋，
由得x2－2kpx－p2＝0．∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2．
其中A，B． ∴M，N．
∴kAN＝＝＝＝＝．
又x2＝2py，∴y′＝．
∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝．
∴直线AN与抛物线相切．
