8.4 抛物线
一、整合教材知识,落实基本能力
1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y=0 x=0
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
焦半径(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+
已知y2=2px,过焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,l的倾斜角为θ,如图,则
(1)|AB|=x1+x2+p=;
(2)x1x2=,y1y2=-p2;
(3)+=;
(4)S△AOB=;
(5)|CD|=2p,即通径,通径是过抛物线焦点弦中最短的弦..
(6)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(7)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长度等于2p,通径是过焦点最短的弦.
二、精研高考题点,提升备考知能
考点一 抛物线的标准方程及其性质
高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式.高考试题的考查形式主要有两种:一是求抛物线的方程;二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质,题型多为选择题、填空题,难度适中.
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x
2.顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y
3.(2015·新乡模拟)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
5.(2013·全国卷Ⅰ)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
6.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
7.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0)
8.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.(多选题)(2021·济南模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则( )
A.|BF|=3 B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2=6x
10.(2016·徐州)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x
11.(2016·安阳调研)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.
12.若抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为( )
A. B. C. D.
13.(2015·朝阳模拟)抛物线x2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
14.(2017·河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线的方程为 ( )
A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=
15.(2021·全国卷Ⅱ)抛物线的焦点到直线的距离为,则( )
A.1 B.2 C. D.4
考点二 抛物线的定义及应用
抛物线定义的考查形式多为选择题或填空题,也常出现在解答题的第 1 问,难度中等.,常见的命题角度有:(1)利用抛物线的定义解决最值、距离问题;(2)利用抛物线的定义处理焦点弦问题.
角度1 到焦点与定点距离之和最小问题
1.(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2)
2.(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.+1
角度2 到点与准线的距离之和最小问题
1.(2016·邢台摸底)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是________.
角度3 到定直线的距离最小问题
1.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A. B.2 C. D.3
题点四:焦点弦中距离之和最小问题
1.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4 ,则|QF|=( )A. B. C.3 D.2
3.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
4.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2 C.2 D.3
5.(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
考点三 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系是每年高考的重点,题型既有选择题、填空题,也有解答题,属于中等偏上.
1.(2020·新高考山东卷)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=________.
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. ①若|AF|+|BF|=4,求l的方程;②若=3,求|AB|.
解答本例(2)第②问的关键是从条件“=3”中发现变量间的关系“y1=-3y2”,从而为方程组的消元提供明确的方向.
3.(2017·全国卷Ⅰ)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
4.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
6.(2016·唐山一模)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.
7.(2018·洛阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.
(1)若AB∥l,且△ABD的面积为1,求抛物线的方程;
(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N.证明:直线AN与抛物线相切.8.4 抛物线
一、整合教材知识,落实基本能力
1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y=0 x=0
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
焦半径(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+
已知y2=2px,过焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,l的倾斜角为θ,如图,则
(1)|AB|=x1+x2+p=;
(2)x1x2=,y1y2=-p2;
(3)+=;
(4)S△AOB=;
(5)|CD|=2p,即通径,通径是过抛物线焦点弦中最短的弦..
(6)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(7)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长度等于2p,通径是过焦点最短的弦.
二、精研高考题点,提升备考知能
考点一 抛物线的标准方程及其性质
高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式.高考试题的考查形式主要有两种:一是求抛物线的方程;二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质,题型多为选择题、填空题,难度适中.
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x
解析:选B 因为抛物线的准线方程为x=-2,所以=2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.
2.顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y
解析:选D (待定系数法)设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.
3.(2015·新乡模拟)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
解析:选B 由抛物线y2=4x,有2p=4,p=2.故其焦点坐标为(1,0).
双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x.不妨取其中一条x-y=0.
由点到直线的距离公式得d==.故选 B.
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
解析:选B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).
5.(2013·全国卷Ⅰ)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
解析:选C 由题意知抛物线的焦点F(,0),如图,由抛物线定义知|PF|=|PM|,又|PF|=4,所以xP=3,代入抛物线方程求得yP=2,所以S△POF=·|OF|·yP=2.
6.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
解析:设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x+=12.
又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,所以9+=12,解得p=6.故选C.
7.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A. B. C.(1,0) D.(2,0)
解析:将x=2与抛物线方程y2=2px联立,可得y=±2,不妨设D(2,2),E(2,-2),由OD⊥OE,可得·=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.其焦点坐标为.故选B.
8.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:B 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.
∵|AB|=4,|DE|=2,抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D.
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,∴∴+8=+5,
∴p=4(负值舍去).∴C的焦点到准线的距离为4.
9.(多选题)(2021·济南模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则( )
A.|BF|=3 B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2=6x
答案 BCD
解析
由题意,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,由抛物线定义,可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,所以∠FBD=30°,因为S△ABF=|BF|2=9,所以|BF|=6,又焦点F到准线的距离为p=|BF|sin30°=3,则抛物线方程为y2=6x,则B,C,D正确,A错误.故选BCD.
10.(2016·徐州)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x
解析:∵抛物线为y2=2px,∴准线为x=-.
∵点P(2,y0)到其准线的距离为4,∴=4,解得p=4.∴抛物线的标准方程为y2=8x.
11.(2016·安阳调研)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.
解析:设A(x0,y0),B(x0,y0),作AM,BN垂直准线于点M,N,
则AM=AF,|BN|=|BF|,
又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|,所以∠NCB=30°,
有|AC|=2|AM|=6,所以|CF|=|AC|-|AF|=3,
所以p=.所以抛物线的方程为y2=3x.
12.若抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为( )
A. B. C. D.
解析:B 由题意知,抛物线准线方程为x=-.
设M(a,b),由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为,
所以a=1,代入抛物线方程y2=2x,解得b=±,所以S△MFO=××=.
13.(2015·朝阳模拟)抛物线x2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
解析:在等边三角形ABF中,AB边上的高为p,=p,所以B.
又因为点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.答案:6
14.(2017·河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线的方程为 ( )
A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=
解析:B设M(x,y),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,
由抛物线定义知x+=2p,所以x=p,所以y=±p.
又△MFO的面积为4,所以××p=4,解得p=4(p=-4舍去).
所以抛物线的方程为y2=8x.
15.(2021·全国卷Ⅱ)抛物线的焦点到直线的距离为,则( )
A.1 B.2 C. D.4
【答案】B
【详解】抛物线的焦点坐标为,其到直线的距离:,
解得:(舍去).故选:B.
考点二 抛物线的定义及应用
抛物线定义的考查形式多为选择题或填空题,也常出现在解答题的第 1 问,难度中等.,常见的命题角度有:(1)利用抛物线的定义解决最值、距离问题;(2)利用抛物线的定义处理焦点弦问题.
角度1 到焦点与定点距离之和最小问题
1.(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A.(0,0) B. C.(1,) D.(2,2)
解析:选D 过M点作左准线的垂线,垂足是N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).
2.(2017·广东汕头调研)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.+1
解析:A 由抛物线方程y2=4x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0),所以N与F重合.
过圆(x-3)2+(y-1)2=1的圆心M作抛物线准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3.
角度2 到点与准线的距离之和最小问题
1.(2016·邢台摸底)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是________.
解析:依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.
答案:5
角度3 到定直线的距离最小问题
1.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. B.2 C. D.3
解析:选B 由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.
题点四:焦点弦中距离之和最小问题
1.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
答案:2
2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4 ,则|QF|=( )
A. B. C.3 D.2
解析:C∵=4 ,∴||=4||,∴=.
如图,过Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,
∴==,∴|QQ′|=3.根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3.
3.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
解析:如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.又|BP|=|AO|=2,∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.]
4.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A. B.2 C.2 D.3
解析:选C 法一:由题意,得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).
由得x=或x=3.
由M在x轴的上方,得M(3,2),由MN⊥l,得|MN|=|MF|=3+1=4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,
因此△MNF是边长为4的等边三角形,
所以点M到直线NF的距离为4×=2.
法二:依题意,得直线FM的倾斜角为60°,则|MN|=|MF|==4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形,
所以点M到直线NF的距离为4×=2.
5.(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析:选A 法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,
则l1:y=k(x-1),l2:y=-(x-1),由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2==2+,
由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=2++2=4+.
同理得|DE|=4+4k2,∴|AB|+|DE|=4++4+4k2=8+4≥8+8=16,
当且仅当=k2,即k=±1时取等号,故|AB|+|DE|的最小值为16.
法二:如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,
则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得==cos θ,
则|AF|=,同理|BF|=,
则|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,
因为l1与l2垂直,故直线DE的倾斜角为θ+或θ-,
则|DE|=,则|AB|+|DE|=+===,
则易知|AB|+|DE|的最小值为16.
考点三 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系是每年高考的重点,题型既有选择题、填空题,也有解答题,属于中等偏上.
1.(2020·新高考山东卷)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=________.
答案
解析 由题意得,抛物线焦点为F(1,0),设直线AB的方程为y=(x-1).
由得3x2-10x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+2=.
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
①若|AF|+|BF|=4,求l的方程;②若=3,求|AB|.
[解] 设直线l:y=x+t,A,B.
①由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.
由 ,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.
从而由-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.
②由=3得y1=-3y2.由 ,得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.
解答本例(2)第②问的关键是从条件“=3”中发现变量间的关系“y1=-3y2”,从而为方程组的消元提供明确的方向.
3.(2017·全国卷Ⅰ)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
看到曲线的切线?想到导数的几何意义;看到AM⊥BM?想到直角三角形的性质或·=0.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k===1.
(2)法一:由y=,得y′=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=,得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为x-y+7=0.
法二:由y=,得y′=,设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,由得x2-4x-4m=0.由Δ=16(m+1)>0,得m>-1.
则x1+x2=4,x1x2=-4m.∵AM⊥BM,∴·=0,
即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,又y=x+m,
∴(x1-2)(x2-2)+(x1+m-1)(x2+m-1)=0,
即2x1x2+(m-3)(x1+x2)+4+(m-1)2=0,∴-8m+4(m-3)+4+(m-1)2=0,
整理得m2-6m-7=0,解得m=7或m=-1,又m>-1,∴m=7,
∴直线AB的方程为x-y+7=0.
4.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
[解] (1)如图,由已知得M(0,t),P.
又N为M关于点P的对称点,故N,故直线ON的方程为y=x,
将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0, 解得x1=0,x2=.因此H.
所以N为OH的中点,即=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,
即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点.
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,
∴抛物线方程为y2=8x.
(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m>0,
∴m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m2.
由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,∴m=8或m=0(舍),
∴直线l2:x=y+8,M(8,0).
故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|=3=24.
6.(2016·唐山一模)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.
解:(1)设l:x=my-2,代入y2=2px中,得y2-2pmy+4p=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,则x1x2==4.
因为·=12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,
解得p=2,故抛物线的方程为y2=4x.
(2)(1)中(*)可化为y2-4my+8=0,即y1+y2=4m,y1y2=8,设AB的中点为M,
则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①
又|AB|=|y1-y2|=,②
由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,m=±,
所以直线l的方程为x+y+2=0或x-y+2=0.
7.(2018·洛阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.
(1)若AB∥l,且△ABD的面积为1,求抛物线的方程;
(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N.证明:直线AN与抛物线相切.
解:(1)∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.∴S△ABD=p2,∴p=1,故抛物线C的方程为x2=2y.
(2)设直线AB的方程为y=kx+,
由得x2-2kpx-p2=0.∴x1+x2=2kp,x1x2=-p2.
其中A,B. ∴M,N.
∴kAN=====.
又x2=2py,∴y′=.
∴抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=.
∴直线AN与抛物线相切.