10.2 随机事件的概率、古典概型
一、整合教材知识，落实基本能力
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 A发生 B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ ，P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率为． (3)不可能事件的概率为．
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)．
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
5．基本事件的特点
(1) 任何两个基本事件是互斥的．(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
6．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
7．古典概型的概率公式P(A)＝．
三、精研高考题点，提升备考知能
考点一 随机事件的概念
随机事件的关系在高考中极少单独考查，有时作为条件出现在解答题中，难度较小．
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．已知上午7：00～7：50，从某大桥上通过100辆汽车，各时段通过汽车辆数及各时段的平均车速如表所示：
时段 7：00～7：10 7：10～7：20 7：20～7：30 7：30～7：40 7：40～7：50
通过汽车辆数 9 15 20 30 26
平均车速(km/h) 60 56 52 46 50
根据上述信息，估计一辆汽车在7：00～7：50过桥时车速至少为50 km/h的概率(将频率视为概率)是( )
A．0．29 B．0．44 C．0．7 D．0．74
5．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打中．假设此人射击1次，则中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．
考点二 互斥事件与对立事件的概率
互斥事件、对立事件的概率公式是每年高考的热点，既有单独命题，也与其它概率知识综合命题．题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等．
复杂事件的概率的2种求法
(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
2．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A． B． C． D．
3．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．15，则不用现金支付的概率为( )
A．0．3 B．0．4 C．0．6 D．0．7
4．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________．
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A．0．95 B．0．97 C．0．92 D．0．08
6．(多选题)(2021·武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是( )
A．甲不输的概率 B．乙不输的概率 C．乙获胜的概率 D．乙输的概率
考点三 古典概型
对古典概型的直接考查是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，有时也出现在解答题中，难度适中，属中档题．
计算古典概型事件的概率可分3步
(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P．
提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．
1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B． C． D．
2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A． B． C． D．
3．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )
A． B． C． D．
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A． B． C． D．
5．(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A． B． C． D．
6．(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A． B． C． D．
7．(2021·衡阳质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( )
A． B． C． D．
考点四 古典概型的交汇问题
古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．常见的命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合；(2)古典概型与圆锥曲线相结合；(3)古典概型与统计相结合．
角度1 古典概型与平面向量相结合
1．设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为( )A． B． C． D．
角度2 古典概型与圆锥曲线相结合
1．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
2．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e>的概率是________．
角度3 古典概型与统计相结合
1．(2018·西安质检)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图所示．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率．
2．某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．10.2 随机事件的概率、古典概型
一、整合教材知识，落实基本能力
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 A发生 B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ ，P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率为． (3)不可能事件的概率为．
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)．
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
5．基本事件的特点
(1) 任何两个基本事件是互斥的．(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
6．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
7．古典概型的概率公式P(A)＝．
三、精研高考题点，提升备考知能
考点一 随机事件的概念
随机事件的关系在高考中极少单独考查，有时作为条件出现在解答题中，难度较小．
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
解析：选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．
3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：选B [两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．]
4．已知上午7：00～7：50，从某大桥上通过100辆汽车，各时段通过汽车辆数及各时段的平均车速如表所示：
时段 7：00～7：10 7：10～7：20 7：20～7：30 7：30～7：40 7：40～7：50
通过汽车辆数 9 15 20 30 26
平均车速(km/h) 60 56 52 46 50
根据上述信息，估计一辆汽车在7：00～7：50过桥时车速至少为50 km/h的概率(将频率视为概率)是( )
A．0．29 B．0．44 C．0．7 D．0．74
解析：选C 由题表可知，在7：00～7：50过桥时车速至少为50 km/h的车辆数为9＋15＋20＋26＝70．由此可估计， 一辆汽车在7：00～7：50过桥时车速至少为50 km/h的概率是P＝＝0．7．
5．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打中．假设此人射击1次，则中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．
解析：0．9 0．2 [中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0．9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0．9，同理，中10环的概率约为0．2．]
考点二 互斥事件与对立事件的概率
互斥事件、对立事件的概率公式是每年高考的热点，既有单独命题，也与其它概率知识综合命题．题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等．
复杂事件的概率的2种求法
(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
答案 C
解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．
2．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A． B． C． D．
解析：A事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为＋＝．
3．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．15，则不用现金支付的概率为( )
A．0．3 B．0．4 C．0．6 D．0．7
解析：B [由题意知不用现金支付的概率为1－0．45－0．15＝0．4．]
4．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________．
答案
解析 甲、乙两球都落入盒子的概率P＝×＝；
事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都不落入盒子”，P()＝×＝，所以P(A)＝1－＝．
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A．0．95 B．0．97 C．0．92 D．0．08
答案 C
解析 记“抽检的产品是甲级品”为事件A，是“乙级品”为事件B，是“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0．92．
6．(多选题)(2021·武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是( )
A．甲不输的概率 B．乙不输的概率
C．乙获胜的概率 D．乙输的概率
答案 ABD
解析 因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以甲不输的概率＋＝，故A正确；所以乙不输的概率1－＝，故B正确；所以乙获胜的概率1－－＝，故C错误；所以乙输的概率即为甲获胜的概率是，故D正确，故选ABD．
考点三 古典概型
对古典概型的直接考查是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，有时也出现在解答题中，难度适中，属中档题．
计算古典概型事件的概率可分3步
(1)计算基本事件总个数n；
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；
(3)代入公式求出概率P．
提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．
1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B． C． D．
解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有4种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，故所求概率P＝＝．
2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A． B． C． D．
解析：选D 法一：记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝．
法二：画出树状图如图：
可知所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝．
3．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )
A． B． C． D．
解析：选B 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)，共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝＝，故选B．
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A． B． C． D．
解析：D 用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．
乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．
根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝．
5．(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有C＝10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝．故选A．
6．(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝．
7．(2021·衡阳质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( )
A． B． C． D．
答案 B
解析 一次随机取出2个球，基本事件总数为C＝15，至少有1个红球包含的基本事件个数为CC＋C＝9，
∴至少有1个红球的概率P＝＝．
考点四 古典概型的交汇问题
古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．常见的命题角度有：(1)古典概型与平面向量相结合；(2)古典概型与圆锥曲线相结合；(3)古典概型与统计相结合．
角度1 古典概型与平面向量相结合
1．设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为( )
A． B． C． D．
解析：选A 有序数对(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P(A)＝＝．
角度2 古典概型与圆锥曲线相结合
1．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ ，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝．
答案：
2．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e>的概率是________．
解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝ > < a>2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6,4种情况；
当b＝2时，有a＝5,6,2种情况，故共有6种情况，则概率是＝．同理当a的概率也为．
综上可知，离心率e>的概率为．
答案：
角度3 古典概型与统计相结合
1．(2018·西安质检)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图所示．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率．
解：(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)．
所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×＝750(人)．
(2)设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M，
记体育成绩在[60,70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80,90)的数据为B1，B2，B3，
则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．
而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，因此事件M的概率P(M)＝．
2．某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．
解 (1)由(0．0020＋0．0095＋0．0110＋0．0125＋x＋0．0050＋0．0025)×20＝1得x＝0．0075，
所以直方图中x的值是0．0075．
(2)月平均用电量的众数是＝230．
因为(0．0020＋0．0095＋0．0110)×20＝0．45<0．5，
且(0．0020＋0．0095＋0．0110＋0．0125)×20＝0．7>0．5，
所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0．0020＋0．0095＋0．0110)×20＋0．0125×(a－220)＝0．5，解得a＝224，
所以月平均用电量的中位数是224．
(3)月平均用电量为[240，260)的用户有0．0075×20×100＝15(户)，
月平均用电量为[260，280)的用户有0．005×20×100＝10(户)，
月平均用电量在[280，300]的用户有0．0025×20×100＝5(户)．
抽样方法为分层抽样，在[240，260)，[260，280)，[280，300]中的用户比为3∶2∶1，
所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户．
设参加节目的2户来自不同组为事件A，将来自[240，260)的用户记为a1，a2，a3，来自[260，280)的用户记为b1，b2，来自[280，300]的用户记为c1，在6户中随机抽取2户有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝．
