第17讲 线性规划讲义-2022届高考一轮复习理科数学( 全国通用版)(Word含答案解析)

文档属性

名称 第17讲 线性规划讲义-2022届高考一轮复习理科数学( 全国通用版)(Word含答案解析)
格式 zip
文件大小 381.3KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2021-10-10 09:51:55

文档简介

线性规划
一、自我诊断 知己知彼
1.已知条件甲:a>0,条件乙:a>b且>,则甲是乙的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若,则一定不属于的区间是(  )
A.(-π,π) B.
C.(0,π) D.(-π,0)
3.若a>b,则
A.ln(a b)>0 B.3a<3b
C.a3 b3>0 D.│a│>│b│
4.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为
A.2 B.3
C.5 D.6
5.若x,y满足,且y≥ 1,则3x+y的最大值为
A. 7 B.1
C.5 D.7
二、温故知新 夯实基础
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a,b∈R);
(2)作商法 (a∈R,b>0).
2.不等式的性质
单向性:(1)传递性:a>b,b>c a>c.
(2)同向相加性:a>b,c>d a+c>b+d.
(3)乘法单调性:a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 aca>b>0,c>d>0 ac>bd; a>b>0(n∈N*) an>bn;
a>b>0(n∈N*,n≥2) >.
双向性:a>b bb a+c>b+c.
3.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
4. 线性规划相关概念
名称 意义
约束条件 由变量x,y组成的一次不等式
线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数 关于x,y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题
三、典例剖析举一反三
考点一不等式的性质
(一)典例剖析
例1已知a,b,c为实数,判断以下各命题的真假.
(1)若a>b,则acbc2,则a>b;
(3)若aab>b2;(4)若a>b,>,则a>0,b<0.
例2设,且,.求的取值范围.
(二)举一反三
1、已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 (  ).
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
2、若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为________.
3、若x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则 (  ).
A.aC.b4、已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围.
考点二 求目标函数的最值
(一)典例剖析
例1若x,y满足约束条件 ,则z=3x+2y的最大值为_________.
例2变量x、y满足,(1)设z=,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
(二)举一反三
1.若实数满足约束条件,则的最大值是
A. B. 1
C. 10 D. 12
2、若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是
A. B. C. D.
3、实数x、y满足
(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
考点三线性规划的简单应用
(一)典例剖析
例1 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
(二)举一反三
1.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
四、分层训练能力进阶
【基础】
1.若,满足约束条件,
则的最大值为
A. B.
C.5 D.6
2、若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.
3、某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为________元.
【巩固】
1、已知x,y满足且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k= (  ).
A.2 B.9 C.3D.0
2、设,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【拔高】
1、设直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+y=0对称,求不等式组表示的平面区域的面积.
2、李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
3、实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域线性规划
一、自我诊断 知己知彼
1已知条件甲:a>0,条件乙:a>b且>,则甲是乙的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 由a>0不能推出a>b且>,故甲不是乙的充分条件.若a>b且>,即a>b且>0,则ab<0,
所以a>0,b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要不充分条件.
2.若,则一定不属于的区间是(  )
A.(-π,π) B.
C.(0,π) D.(-π,0)
【答案】C
【解析】因为,所以,所以-π<α-β<0,
结合选项可知选项C一定不可能,故选C.
3.若a>b,则
A.ln(a b)>0 B.3a<3b
C.a3 b3>0 D.│a│>│b│
【答案】C
【解析】取,满足,,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C.
4.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为
A.2 B.3
C.5 D.6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距,故目标函数在点处取得最大值.
由,得,所以.
5.若x,y满足,且y≥ 1,则3x+y的最大值为
A. 7 B.1
C.5 D.7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C.
二、温故知新 夯实基础
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a,b∈R);
(2)作商法 (a∈R,b>0).
2.不等式的性质
单向性:(1)传递性:a>b,b>c a>c.
(2)同向相加性:a>b,c>d a+c>b+d.
(3)乘法单调性:a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 aca>b>0,c>d>0 ac>bd; a>b>0(n∈N*) an>bn;
a>b>0(n∈N*,n≥2) >.
双向性:a>b bb a+c>b+c.
3.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.
4. 线性规划相关概念
名称 意义
约束条件 由变量x,y组成的一次不等式
线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数 关于x,y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题
三、典例剖析举一反三
考点一不等式的性质
(一)典例剖析
例1已知a,b,c为实数,判断以下各命题的真假.
(1)若a>b,则acbc2,则a>b;
(3)若aab>b2;(4)若a>b,>,则a>0,b<0.
【答案】(1)假;(2)真;(3)真;(4)真
【解析】(1)c是正、负或为零未知,因而缺少判断ac与bc的大小依据,故该命题为假命题.
(2)由ac2>bc2知c≠0,∴c2>0,∴a>b,故该命题为真命题
(3) a2>ab;又 ab>b2,∴a2>ab>b2,故该命题为真命题.
(4)由已知条件知a>b a-b>0,又> ->0 >0,
∵a-b>0,∴b-a<0,∴ab<0.又a>b,∴a>0,b<0,故该命题为真命题.
【易错点】易忽视为0的情况.
【方法点拨】合理利用不等式的性质.
例2设,且,.求的取值范围.
【答案】
【解析】设f(-2)=4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
所以解得所以f(-2)=3(a-b)+(a+b).
因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.
又因为,所以.
即.
【易错点】易把范围扩大.
【方法点拨】合理利用不等式的性质.
(二)举一反三
1、已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 (  ).
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
【答案】C
【解析】由a+b>0知a>-b,∴-a又b<0,∴-b>0,∴a>-b>b>-a.答案为C.
2、若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为________.
【答案】4
【解析】∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又1≤a≤5,
∴-1≤a-b≤6.答案为[-1,6].
3、若x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则 (  ).
A.aC.b【答案】C
【解析】∵令t=ln x,则-1∴a-b=t-2t=-t>0,∴a>b.
c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),
又∵-1∴c-a>0,∴c>a.∴c>a>b.答案为C.
4、已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围.
【答案】[-1,20]
【解析】f(3)=9a-c=f(2)-f(1).
∵-1≤f(2)≤5,∴-≤f(2)≤.
∵-4≤f(1)≤-1,∴×(-1)≤-f(1)≤×(-4).
∴-+≤f(2)-f(1)≤+,即-1≤f(3)≤20.
即f(3)的取值范围是[-1,20].
考点二 求目标函数的最值
(一)典例剖析
例1若x,y满足约束条件 ,则z=3x+2y的最大值为_________.
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为,所以,易知截距越大,则越大,
平移直线,当经过A点时截距最大,此时z最大,
由,得,,所以.答案为:7.
【易错点】对最值点判断易出错.
【方法点拨】(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得.
(2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数.
例2变量x、y满足,(1)设z=,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;
(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.
【答案】(1);(2)2≤z≤29;(3)16≤z≤64.
【解析】由约束条件,作出(x,y)的可行域如图所示.
由,解得A.由,解得C(1,1).
由,解得B(5,2).
(1)∵z==.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin=kOB=.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.∴2≤z≤29.
(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,
dmin=1-(-3)=4,dmax=8.∴16≤z≤64.
【易错点】本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形结合的应用意识,不知道从其几何意义入手解题.
【方法点拨】(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义.
(二)举一反三
1.若实数满足约束条件,则的最大值是
A. B. 1
C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为,所以.
平移直线可知,当该直线经过点A时,z取得最大值.
联立两直线方程可得,解得.即点A坐标为,
所以.故选C.
2、若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
所以求得点A,B,C的坐标分别为(1,1),(0,4),.由直线y=kx+恒过点C,且平面区域被此直线分为面积相等的两部分,观察图象可知,当直线y=kx+与直线3x+y=4的交点D的横坐标为点A的横坐标的一半时,可满足要求.因此xD=,代入直线3x+y=4,可得yD=,故点D的坐标为,代入直线y=kx+,即=k×+,解得k=,故选A.
3、实数x、y满足
(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
【答案】(1)[2,+∞);(2)(1,5]
【解析】 由作出可行域如图中阴影部分所示.
(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的
斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).而由,得B(1,2),则kOB==2.
∴zmax不存在,zmin=2,∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.
因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.
由,得A(0,1), ∴|OA|2=()2=1,|OB|2=()2=5.
∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].
考点三线性规划的简单应用
(一)典例剖析
例1 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
【答案】D
【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足

让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移.
由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
【易错点】列不等式,以及求最优解
【方法点拨】求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数.
(二)举一反三
1.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
【答案】该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得
目标函数为z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,
即可行域,如图:作直线l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.
联立解得x=100,y=200.∴点M的坐标为(100,200),
∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).
即该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
四、分层训练能力进阶
【基础】
1.若,满足约束条件,
则的最大值为
A. B.
C.5 D.6
【答案】C
【解析】变量,满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示:
目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线,
当直线经过可行域的点时,纵截距取得最小值,
则此时目标函数取得最大值,
由可得,
目标函数的最大值为:5
故选:C.
2、若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.
【答案】1
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数即:,
其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,
联立直线方程:,可得点A的坐标为:,
据此可知目标函数的最大值为:.
3、某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为________元.
【答案】2300
【解析】设需租赁甲种设备x台,乙种设备y台,
则目标函数为z=200x+300y.
作出其可行域,易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最小值2300元.答案为2300.
【巩固】
1、已知x,y满足且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k= (  ).
A.2 B.9 C.3D.0
【答案】D
【解析】由题意知,当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+k=0的交点(3,-3-k)时,z最小,
所以-6=2×3+4×(-3-k),解得k=0.故选D.
2、设,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式,可知 推不出,
由能推出,
故“”是“”的必要不充分条件,
【拔高】
1、设直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+y=0对称,求不等式组表示的平面区域的面积.
【答案】.
【解析】∵M,N关于直线x+y=0对称,∴直线y=kx+1垂直于直线x+y=0,
∴k=1,∴圆心在x+y=0上,∴--=0,即m=-1,
∴原不等式组为作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分),即△ABO.易得△ABO为等腰直角三角形,且OA=1,故阴影部分的面积为.
2、李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
【答案】①130 ;②15.
【解析】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
3、实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域
【答案】(1); (2); (3) (8,17).
【解析】 方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组
由解得A(-3,1);由解得B(-2,0);
由解得C(-1,0).
∴在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).
(1)△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=h(h为A到Oa轴的距离)=×1=.
(2)的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.
kAD==,kCD==1.由图可知,kAD<<kCD.
∴<<1,即∈.
(3)∵(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,由图可知,在A点与C点分别取最大值和最小值。∴(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).
同课章节目录