线性规划
一、自我诊断 知己知彼
1．已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.若，则一定不属于的区间是( )
A．(－π，π) B.
C．(0，π) D．(－π，0)
3．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
5．若x，y满足，且y≥ 1，则3x+y的最大值为
A． 7 B．1
C．5 D．7
二、温故知新 夯实基础
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)；
(2)作商法 (a∈R，b>0).
2．不等式的性质
单向性：(1)传递性：a>b，b>c a>c.
(2)同向相加性：a>b，c>d a＋c>b＋d.
(3)乘法单调性：a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 ac
a>b>0，c>d>0 ac>bd； a>b>0(n∈N*) an>bn；
a>b>0(n∈N*，n≥2) >.
双向性：a>b bb a＋c>b＋c.
3．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
4. 线性规划相关概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题
三、典例剖析举一反三
考点一不等式的性质
（一）典例剖析
例1已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．
(1)若a>b，则acbc2，则a>b；
(3)若aab>b2；(4)若a>b，>，则a>0，b<0.
例2设，且,.求的取值范围．
（二）举一反三
1、已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 ( )．
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
2、若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
3、若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则 ( )．
A．aC．b4、已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围．
考点二 求目标函数的最值
（一）典例剖析
例1若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
例2变量x、y满足，(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围.
（二）举一反三
1.若实数满足约束条件，则的最大值是
A． B． 1
C． 10 D． 12
2、若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是
A. B. C. D.
3、实数x、y满足
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.
考点三线性规划的简单应用
（一）典例剖析
例1 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
（二）举一反三
1.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
四、分层训练能力进阶
【基础】
1.若，满足约束条件，
则的最大值为
A． B．
C．5 D．6
2、若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.
3、某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
【巩固】
1、已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝ ( )．
A．2 B．9 C．3D．0
2、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【拔高】
1、设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋y＝0对称，求不等式组表示的平面区域的面积．
2、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
3、实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域线性规划
一、自我诊断 知己知彼
1已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 由a>0不能推出a>b且>，故甲不是乙的充分条件．若a>b且>，即a>b且>0，则ab<0，
所以a>0，b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．
2.若，则一定不属于的区间是( )
A．(－π，π) B.
C．(0，π) D．(－π，0)
【答案】C
【解析】因为，所以，所以－π＜α－β＜0，
结合选项可知选项C一定不可能，故选C.
3．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值.
由，得，所以.
5．若x，y满足，且y≥ 1，则3x+y的最大值为
A． 7 B．1
C．5 D．7
【答案】C
【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C．
二、温故知新 夯实基础
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)；
(2)作商法 (a∈R，b>0).
2．不等式的性质
单向性：(1)传递性：a>b，b>c a>c.
(2)同向相加性：a>b，c>d a＋c>b＋d.
(3)乘法单调性：a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 aca>b>0，c>d>0 ac>bd； a>b>0(n∈N*) an>bn；
a>b>0(n∈N*，n≥2) >.
双向性：a>b bb a＋c>b＋c.
3．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
4. 线性规划相关概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题
三、典例剖析举一反三
考点一不等式的性质
（一）典例剖析
例1已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．
(1)若a>b，则acbc2，则a>b；
(3)若aab>b2；(4)若a>b，>，则a>0，b<0.
【答案】（1）假；（2）真；（3）真；（4）真
【解析】(1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题．
(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，故该命题为真命题
(3) a2>ab；又 ab>b2，∴a2>ab>b2，故该命题为真命题．
(4)由已知条件知a>b a－b>0，又> －>0 >0，
∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题．
【易错点】易忽视为0的情况.
【方法点拨】合理利用不等式的性质.
例2设，且,.求的取值范围．
【答案】
【解析】设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以解得所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.
又因为，所以.
即.
【易错点】易把范围扩大.
【方法点拨】合理利用不等式的性质.
（二）举一反三
1、已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 ( )．
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
【答案】C
【解析】由a＋b>0知a>－b，∴－a又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.答案为C.
2、若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
【答案】4
【解析】∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.答案为[－1,6].
3、若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则 ( )．
A．aC．b【答案】C
【解析】∵令t＝ln x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.答案为C.
4、已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围．
【答案】[－1,20]
【解析】f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．
∵－1≤f(2)≤5，∴－≤f(2)≤.
∵－4≤f(1)≤－1，∴×(－1)≤－f(1)≤×(－4)．
∴－＋≤f(2)－f(1)≤＋，即－1≤f(3)≤20.
即f(3)的取值范围是[－1,20]．
考点二 求目标函数的最值
（一）典例剖析
例1若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，所以.答案为：7.
【易错点】对最值点判断易出错.
【方法点拨】(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数.
例2变量x、y满足，(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围.
【答案】（1）；（2）2≤z≤29；（3）16≤z≤64.
【解析】由约束条件，作出(x，y)的可行域如图所示.
由，解得A.由，解得C(1,1).
由，解得B(5,2).
(1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝8.∴16≤z≤64.
【易错点】本题错误率较高.出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.
【方法点拨】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法.
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.
（二）举一反三
1.若实数满足约束条件，则的最大值是
A． B． 1
C． 10 D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.
联立两直线方程可得，解得.即点A坐标为，
所以.故选C.
2、若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
所以求得点A，B，C的坐标分别为(1,1)，(0,4)，.由直线y＝kx＋恒过点C，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，观察图象可知，当直线y＝kx＋与直线3x＋y＝4的交点D的横坐标为点A的横坐标的一半时，可满足要求．因此xD＝，代入直线3x＋y＝4，可得yD＝，故点D的坐标为，代入直线y＝kx＋，即＝k×＋，解得k＝，故选A.
3、实数x、y满足
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.
【答案】（1）[2，＋∞)；（2）(1,5]
【解析】 由作出可行域如图中阴影部分所示.
(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的
斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).而由，得B(1,2)，则kOB＝＝2.
∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞).
(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.
因此x2＋y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.
由，得A(0,1)， ∴|OA|2＝()2＝1，|OB|2＝()2＝5.
∴z的最大值为5，没有最小值.故z的取值范围是(1,5].
考点三线性规划的简单应用
（一）典例剖析
例1 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【答案】D
【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即
让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移．
由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
【易错点】列不等式，以及求最优解
【方法点拨】求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数.
（二）举一反三
1.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【答案】该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.
【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
即可行域，如图：作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.
联立解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)，
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元).
即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.
四、分层训练能力进阶
【基础】
1.若，满足约束条件，
则的最大值为
A． B．
C．5 D．6
【答案】C
【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：
目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，
当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，
则此时目标函数取得最大值，
由可得，
目标函数的最大值为：5
故选：C．
2、若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.
【答案】1
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
3、某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
【答案】2300
【解析】设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元.答案为2300.
【巩固】
1、已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝ ( )．
A．2 B．9 C．3D．0
【答案】D
【解析】由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，
所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.故选D.
2、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式，可知 推不出，
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
【拔高】
1、设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋y＝0对称，求不等式组表示的平面区域的面积．
【答案】.
【解析】∵M，N关于直线x＋y＝0对称，∴直线y＝kx＋1垂直于直线x＋y＝0，
∴k＝1，∴圆心在x＋y＝0上，∴－－＝0，即m＝－1，
∴原不等式组为作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO.易得△ABO为等腰直角三角形，且OA＝1，故阴影部分的面积为.
2、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130 ；②15.
【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
3、实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域
【答案】(1); (2); (3) (8,17).
【解析】 方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组
由解得A(－3,1)；由解得B(－2,0)；
由解得C(－1,0).
∴在如图所示的坐标平面aOb内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).
(1)△ABC的面积为S△ABC＝×|BC|×h＝h(h为A到Oa轴的距离)＝×1＝.
(2)的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率.
kAD＝＝，kCD＝＝1.由图可知，kAD＜＜kCD.
∴＜＜1，即∈.
(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，由图可知，在A点与C点分别取最大值和最小值。∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17).