一元二次不等式
一、自我诊断知己知彼
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2]
C．[－1,1] D．[1,2]
2. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
3．函数的定义域是________________.
4．已知不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为______________.
5．不等式的解集为__________.
二、温故知新夯实基础
1．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x12．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根()，一根()，无根()．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：，，.
3．简单的分式不等式的解法
4. 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，
即恒成立 ，恒成立 .
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
恒成立 ；
恒成立 ．
三、典例剖析举一反三
（一）典例剖析
考点一 一元二次不等式的解法
例1关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，
则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
（二）举一反三
已知x＝1是不等式的解，则的取值范围是________．
2、已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|13、二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
考点二 解含参数的一元二次不等式
（一）典例剖析
例1解关于x的不等式(a∈R)：.
（二）举一反三
1、若，则不等式的解集为 ( )．
A. B.
C. D.
解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
考点三 分式不等式的解法
（一）典例剖析
例1 (1)；(2)；(3).
（二）举一反三
1已知集合，，则集合等于 ( )．
A．M∩N B．M∪N
C． R(M∩N) D． R(M∪N)
考点四 不等式的恒成立问题
（一）典例剖析
例1设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，恒成立，求m的取值范围．
（二）举一反三
1、若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的值的集合是 ( )．
2、若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 ( )．
A．1 B．－1 C．－3 D．3
3、在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为 ( )．
A．－1四、分层训练能力进阶
【基础】
1、若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0A．100台B．120台C．150台 D．180台
2、关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根满足(x1－1)(x2－1)<0，则a的取值范围是________．
3、设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为
A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1]
C.[－3，－1]∪(0，＋∞) D.[－3，＋∞)
【巩固】
1、若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
2、已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y<0时，有－0.
3、已知集合P＝{x|>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的( )
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【拔高】
已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，
且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为________．
2、已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A. B.C. D.
3、已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．一元二次不等式
一、自我诊断知己知彼
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2]
C．[－1,1] D．[1,2]
【答案】 A
【解析】 A＝{x|x2－2x－3≥0}＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≤－1或x≥3}，又B＝{x|－2≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．
2. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．函数的定义域是________________.
【答案】
【解析】∵，故.
4．已知不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【解析】由题意知，开口向上的一元二次不等式大于0对一切实数x恒成立，则判别式Δ<0，也即，故的取值范围为.
5．不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】 将分式不等式化为一元二次不等式，得（且），故解集为．
二、温故知新夯实基础
1．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x12．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根()，一根()，无根()．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：，，.
3．简单的分式不等式的解法
4. 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，
即恒成立 ，恒成立 .
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
恒成立 ；
恒成立 ．
三、典例剖析举一反三
（一）典例剖析
考点一 一元二次不等式的解法
例1关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，
则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】 C
【解析】 关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.
（二）举一反三
已知x＝1是不等式的解，则的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
【解析】由已知k2－6k＋8≥0 (k－2)(k－4)≥0 k≤2或k≥4.
又，∴k<0或02、已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1【答案】
【解析】把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得解得.
3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
【答案】{x|x<－2或x>3}
【解析】将点(0，－6)，(1，－6)，(2，－4)代入y＝ax2＋bx＋c得：
不等式化为x2－x－6>0，即(x－3)(x＋2)>0.
故不等式的解集为{x|x<－2或x>3}．
考点二 解含参数的一元二次不等式
（一）典例剖析
例1解关于x的不等式(a∈R)：.
【答案】略
【解析】若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，则原不等式等价于(x－1)>0，解得x<，或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，解(x－1)<0得，解集为 ；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得1综上所述：当a<0，解集为；当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当01时，解集为.
【易错点】首要考虑二次项系数能否为0，再考虑正负，同时要做到不重不漏.
【方法点拨】讨论的取值范围，不同的取值范围得到不同的不等式的解集.
（二）举一反三
1、若，则不等式的解集为 ( )．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵01，∴t<.∴(x－t)<0 t解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
【答案】(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a(2)当a＝－1时，原不等式解集为空集；
(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－1【解析】方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a(2)当a＝－1时，原不等式解集为空集；
(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－1考点三 分式不等式的解法
（一）典例剖析
例1 (1)；(2)；(3).
【答案】(1){x|－2【解析】(1)<0 (x－3)(x＋2)<0 －2(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.
∴原不等式的解集为.
(3)由<0得>0，此不等式等价于(x－1)>0，
解得x<－或x>1，∴原不等式的解集为.
【易错点】分式不等式转化为整式不等式出现了问题，特别是正负号问题.
【方法点拨】核心在把分式不等式化为整式不等式.
（二）举一反三
1已知集合，，则集合等于 ( )．
A．M∩N B．M∪N
C． R(M∩N) D． R(M∪N)
【答案】D
【解析】 <0 (x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－3(如图)，易知答案D．
考点四 不等式的恒成立问题
（一）典例剖析
例1设函数.
(1)若对于一切实数，恒成立，求的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)－4【解析】(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0.
若m≠0， －4(2)要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)是增函数∴g(x)max＝g(3) 7m－6<0，
∴0当m<0时，g(x)是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，
∴m<0.综上所述：m<.
法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，
∴只需m<即可．
【易错点】最值易取错，或者是没考虑自变量的范围.
【方法点拨】做这类题的两种方法，分离常数和分类讨论.根据情况，哪种较简便用哪种.
（二）举一反三
1、若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的值的集合是 ( )．
A．{a|0【答案】D
【解析】若a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|02、若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 ( )．
A．1 B．－1 C．－3 D．3
【答案】C
【解析】由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.故选C.
3、在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为 ( )．
A．－1【答案】C
【解析】 (x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立．
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，
∴(2a－3)(2a＋1)<0，即－四、分层训练能力进阶
【基础】
1、若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0A．100台B．120台C．150台 D．180台
【答案】C
【解析】 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，∴x2＋50x－30 000≥0，得x≥150.故选C.
2、关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根满足(x1－1)(x2－1)<0，则a的取值范围是________．
【答案】－2【解析】(x1－1)(x2－1)<0 一根大于1，一根小于1.令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，
则f(1)<0 －23、设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为
A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1]
C.[－3，－1]∪(0，＋∞) D.[－3，＋∞)
【答案】C
【解析】∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，可得，.又x2＋4x＋4≤1可得，
又时，.故选C.
【巩固】
1、若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
【答案】2
【解析】根据三个二次的关系，将代入可得．将代入不等式可得.
2、已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y<0时，有－0.
【答案】{x|－2【解析】因为当y<0时，有－由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1>0 －x2＋x＋1>0 x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－23、已知集合P＝{x|>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的( )
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】化简得P＝{x<－1，或x>1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在包含关系，
所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．
【拔高】
已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，
且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为________．
【答案】(2,3)∪(－3，－2)
【解析】由导函数图象知当x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；
当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故不等式f(x2－6)>1等价于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－2解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．
2、已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】(1－aix)2<1，即ax2－2aix<0，
即aix(aix－2)<0，由于ai>0，这个不等式可以化为x<0，即0则应最小，即ai应最大，也即是03、已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
【解析】 (1)不等式化为：(x－1)p＋x2－2x＋1>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2，所以－2≤p≤2，可得
∴x>3或x<－1.故x的取值范围是.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
所以p>(1－x)max.而2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1，
于是p>－1.故p的取值范围是.