2.4线段的垂直平分线 同步能力提升训练 2021-2022学年湘教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（　　）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
2．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（　　）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（　　）
A．9 B．10 C．13 D．14
4．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）
A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点 D．AB的垂直平分线上
5．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
6．已知如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（　　）
A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm
7．下列命题中正确的命题有（　　）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（　　）
A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
9．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为（　　）
A．AB＞AC＝CE B．AB＝AC＞CE C．AB＞AC＞CE D．AB＝AC＝CE
二．填空题
10．如图，在△ABC中，MP，NQ分别垂直平分边AB，AC，交BC于点P，Q，如果BC＝20，那么△APQ的周长为　 　．
11．如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝　 　°．
12．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　 　．
13．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长是8，AC比BC长2，则AC长为　 　．
15．如图，在△ABC中，已知AC＝16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于30，则BC的长是　 　．
16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为　 　．
17．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　 　．
18．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
三．解答题
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
22．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
23．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．
26．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
27．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
28．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
29．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
30．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．
31．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
32．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝25cm，DA＝15cm，CB＝10cm．动点
E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上？
（2）在（1）的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由．
33．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
参考答案
1．解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知，在三角形中，三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分，
故选：A．
2．解：∵PA＝PB，
∴P点在在边AB的垂直平分线上，
故选：B．
3．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
4．解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，
∴DC＝DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
5．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
6．解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，
∴AB＝60﹣38＝22cm，
∴BC＝38﹣22＝16cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和16cm．
故选：D．
7．解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；
②错误；这是对线段垂直平分线的误解；
③有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图
⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；
故选：A．
8．解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．
故选：D．
9．解：AB＝AC＝CE，
理由：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE．
故选：D．
10．解：∵MP和NQ分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，QA＝QC，
∴△APQ的周长＝PA+PQ+QA＝PB+PQ+QC＝BC＝20，
故答案为：20．
11．解：∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，
∴BD＝AD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠B+∠C+BAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠CAD＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
故答案为：90．
12．解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
13．解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
故答案为：120°．
14．解：∵AB的垂直平分线交AC于点E
∴EB＝EA
∵△BCE的周长是8
∴BC+AC＝8
∵AC比BC长2，
∴AC＝5．
故填5．
15．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB．
△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC，
即 BC+16＝30，
∴BC＝14．
故答案为：14．
16．解：连接AD，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AB+BD＝BC＝BD+CD，
∴AB＝CD，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠C＝∠ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
故答案为：75°．
17．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
18．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
19．证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
20．证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
21．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
22．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
23．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
24．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠B＝25°，
∴∠EAB＝∠B＝25°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝65°，
∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．
25．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm．
26．解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
27．证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，OE＝OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
28．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
29．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
30．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．
31．解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；
（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN+∠ONM＝150°，
∴∠BME+∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA+∠ANC＝300°，
∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，
∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；
（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，
由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC
设MN＝x，
∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，
解得，x＝5，即MN＝5．
32．解：（1）设AE＝acm，则BE＝（25﹣a）cm，
∵点E在线段CD的垂直平分线上，
∴DE＝CE，
由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即152+a2＝102+（25﹣a）2，
解得：a＝10，
即AE＝10（cm），
∴x＝＝5，
即当x＝5时，点E在线段CD的垂直平分线上；
（2）DE与CE的位置关系是DE⊥CE，
理由是：∵△ADE≌△BEC，
∴∠ADE＝∠CEB，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠CEB）＝90°，
∴DE⊥CE．
33．证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC平分∠ACF，
∴∠FCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FCB，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）
∴BE＝CF．
34．解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．