《2.3等腰三角形》知识点分类能力提升 2021-2022学年湘教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.3等腰三角形》知识点分类能力提升（附答案）
一．等腰三角形的性质
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A═55°，点P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）
A．55° B．62° C．80° D．130°
2．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（　　）
A．80° B．50° C．65° D．45°
3．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）
A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°
4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B的大小为（　　）
A．32° B．36° C．37° D．74°
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．60°或30°
6．已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是　 　cm．
7．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为　 　．
8．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为　 　．
9．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的底角为　 　．
10．如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是　 　．
11．已知等腰三角形的一个内角是50°，则等腰三角形的顶角等于　 　°．
12．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为　 　．
13．已知△ABC是等腰三角形．
（1）若∠A＝100°，求∠B的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠B的度数；
（3）若∠A＝α（45°＜α＜90°），过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F，求∠BFC的度数（用含α的式子表示）．
二．等腰三角形的判定
14．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
18．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
19．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
20．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有　 　个．
三．等腰三角形的判定与性质
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为　 　．
四．等边三角形的性质
22．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　 　cm．
23．如图，P是边长为4的等边三角形ABC内一点，PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，垂足为D，E，F．若PD＝BD＝1，则PE+PF＝　 　，CE+AF＝　 　．
24．数学理解
（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．
25．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
五．等边三角形的判定
26．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连接AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
27．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
六．等边三角形的判定与性质
28．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　 　．
七．含30度角的直角三角形
29．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为　 　度．
30．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是　 　度．
31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
参考答案
一．等腰三角形的性质
1．解：∵AB＝AC，∠A═55°，
∴∠B＝∠ACB＝62.5°，
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
又∵点P是AB上的一个动点，
∴0≤∠BCP≤62.5°，
∴62.5°≤∠APC≤125°，
∴∠APC的度数可能是80°，
故选：C．
2．解：当∠C为顶角时，则∠A＝（180°﹣50°）＝65°；
当∠A为顶角时，则∠A＝180°﹣2∠C＝80°；
当∠A、∠C为底角时，则∠C＝∠A＝50°；
∴∠A的度数不可能是45°，
故选：D．
3．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解可得，x＝50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选：A．
4．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝74°，
∵AD＝BD，
∴2∠B＝∠ADC＝74°，
∴∠B＝37°，
故选：C．
5．解：如图，分两种情况：
①在左图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝∠ABC＝＝60°；
②在右图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴∠DAB＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝＝30°．
故选：D．
6．解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长＝7+7+3＝17cm，
故答案为：17．
7．解：△ABC，AB＝AC．
有两种情况：
（1）顶角∠A＝40°，
（2）当底角是40°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为：40°或100°．
8．解：如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD＝BD．设AB＝x，BC＝y，
①当AC+AD＝15，BD+BC＝12时，则x+x＝15，x+y＝12，
解得x＝10，y＝7．
②当AC+AD＝12，BC+BD＝15时，则x+x＝12，x+y＝15，
解得x＝8，y＝11，
综上所述，这个三角形的底边BC的长为7或11．
故答案为：7或11．
9．解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵该等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值为1：4，
∴∠A：∠B＝1：4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+4∠A+4∠A＝180°，
即9∠A＝180°，
∴∠A＝20°，∠B＝80°，
故答案为：80°．
10．解：当2是腰时，2，2，3能组成三角形，
周长＝3+2+2＝7（cm）；
当3是腰时，3，3，2能够组成三角形，
周长＝3+3+2＝8（cm），
综上所述，周长为7cm或8cm，
故答案为：7cm或8cm．
11．解：如图所示，△ABC中，设AB＝AC．
分两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
综上所述，这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50或80．
12．解：△ABC是等腰三角形，且∠BAC为顶角，CD是腰AB的高．
（1）当等腰三角形是锐角三角形时，如图①；
∵∠ACD＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACD＝40°；
（2）当等腰三角形是钝角三角形时；
一、如图②﹣1；
当∠BCD＝50°时，∠B＝40°；
∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝100°；
二、如图②﹣2；
当∠ACD＝50°时，∠CAD＝40°；
∴∠BAC＝180°﹣∠CAD＝140°；
故这个等腰三角形顶角的度数为：100°或140°或40°．
故答案为：100°或140°或40°．
13．解：（1）∵∠A＝100°是钝角，
∴∠B＝（180°﹣100°）＝40°．
故∠B的度数为40°；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝55°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
故∠B＝55°或40°或70°；
（3）∵∠A＝α（45°＜α＜90°），
①当∠A为顶角时，如图：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝（180°﹣α），
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+（180°﹣α）＝135°﹣α；
②当∠A为底角，∠B为底角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
所以当∠A为底角时，最小值假设取45度，另一个底角也是45度，此时三角形ABC是直角三角形，
但是∠A 大于45°，所以两个底角的和一定大于90度，所以三角形ABC不可能是钝角三角形，
所以此种情况不存在．
当∠A为底角，∠B为底角时，∠C为顶角且为锐角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
③当∠A为底角，∠B为顶角时，如图：
∵∠BFC+∠FBE＝90°，
∠A+∠ABD＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴∠BFC＝∠A＝α．
∵∠A 大于45°，所以等腰三角形ABC一定是锐角三角形，
∴此种情况不符合题意；
当A为底角，三角形是锐角三角形时，
如图，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
根据四边形内角和定理，得
∴∠BFC＝180﹣a．
故∠BFC的度数为：135°﹣α；90°+；180°﹣α．
二．等腰三角形的判定
14．解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
15．解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故选：B．
16．解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：C．
17．解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
18．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
19．解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
20．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
三．等腰三角形的判定与性质
21．解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠AEG，
∴AG＝EG，
同理可得，EF＝CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设EG＝3k＝AG，则EF＝4k＝CF，FG＝5k，
∵AC＝10，
∴3k+5k+4k＝10，
∴k＝，
∴EF＝4k＝．
故答案为：．
四．等边三角形的性质
22．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
故填3．
23．解：过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴CG＝BC＝2，
∴AG＝2，
连接PA、PB、PC，
∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，
∴S△ABC＝S△APB+S△PBC+S△APC，
+，
AB＝AB（PE+1+PF），
∴PE+PF＝2﹣1，
延长DP交AB于H，
∵PF⊥AB，PD⊥BC，
∴∠BFP＝∠BDP＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠HFP＝60°，
∴∠BHD＝30°，
∵BD＝1，
∴BH＝2，DH＝，
∵PD＝1，
∴PH＝﹣1，
Rt△PFH中，PF＝，
∴FH＝＝，
∴BF＝BH﹣FH＝2﹣＝，
∴AF＝4﹣BF＝，
∵PE+PF＝2﹣1，
∴PE＝2﹣1﹣＝，
Rt△PDC中，PC＝＝＝，
∴CE＝＝＝＝，
∴CE+AF＝＝5
故答案为：2﹣1，5
24．解：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BDC＝80°，
∴∠DBC＝50°，
∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，
又∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°；
（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，
由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴BD＝BE，
∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，
∴∠BDE＝70°，
∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．
25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
五．等边三角形的判定
26．解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
27．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：A．
六．等边三角形的判定与性质
28．解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，
∴B′O＝AB，CO＝AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．
故答案为：400．
七．含30度角的直角三角形
29．解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
30．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝75°，
∴∠ADE＝15°，
故答案为：15．
31．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．