2.4线段的垂直平分线 同步能力达标测评 2021-2022学年湘教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
2．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
3．如图，△ABC中，∠A＝40°，边AC的垂直平分线DE交AB、AC于点D、E，且∠ACD：∠BCD＝2：1，则∠ACB的度数为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．如图，△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝38°，则∠BAE的度数为（　　）
A．13° B．14° C．15° D．16°
5．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为（　　）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．19
7．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．15
二．填空题（共10小题，满分40分）
8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线EF分别交A C、AD、AB于点E、F、G．那么，点F到△ABC的边　 　的距离相等，点F到△ABC的顶点　 　的距离相等．
9．如图，∠BAC＝100°，MN、EF分别垂直平分AB、AC，则∠MAE的大小为　 　．
10．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为　 　．
11．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　 　
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是20cm，则BC＝　 　cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为　 　．
14．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为　 　．
15．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　．
16．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于E，△ABD的周长为　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　 　，∠EFC＝　 　度．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．
19．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，
（1）求∠PAB的度数；
（2）直接写出∠APB与∠ACB的数量关系．
20．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
21．两两相交的三条公路经过A、B、C三个村庄．
（1）要建一个水电站P到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P的位置．
（2）要建一个加油站Q，使加油站Q到三条公路的距离相等，这样的加油站Q的位置有　 　处．
22．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
23．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数　 　°．
24．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N．
（1）如图①，若∠BAC＝110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC＝80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
2．解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．
又∵BC＝8，
∴AC＝10（cm）．
故选：C．
3．解：如图，∵DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD＝40°．
又∵∠ACD：∠BCD＝2：1，
∴∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°．
故选：C．
4．解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝38°，
∵∠C＝38°，∠B＝90°，
∴∠BAC＝52°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝14°，
故选：B．
5．解：∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC＝14（cm），
故选：C．
6．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2EC＝10，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC＝26，
∴AB+BC＝16，
∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝AB+BC＝16，
故选：B．
7．解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分40分）
8．解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，AD垂直平分BC．
∵点F在AD上，
∴点F到AC、AB的距离相等；
∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BC．
∴FA＝FB＝FC，即点F到A、B、C的距离相等．
故答案为 AC、AB； A、B、C．
9．解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵MN、EF分别垂直平分AB、AC，
∴BM＝AM，CE＝AE，
∴∠MAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠MAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠MAE＝∠BAC﹣（∠MAB+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
10．解：∵∠ABC＝80°，
∴∠BMN+∠BNM＝100°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NP＝NC，
∴∠MPA＝∠MAP＝∠BMN，∠NPC＝∠NCP＝∠BNM，
∴∠MPA+∠NPC＝×100°＝50°，
∴∠APC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
11．解：∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，
∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，
∵M在PA的中垂线上，
∴MA＝MP，
∴∠MAP＝∠MPA，
同理，∠NCP＝∠NPC，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，
∴∠MPA+∠NPC＝×130°＝65°，
∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
12．解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵△DBC的周长是20cm，AC＝12cm，
∴12+BC＝20，
解得BC＝8cm．
故答案为：8．
13．解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠BEA＝80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC．
∵∠BEA＝∠C+∠EAC，
∴∠C＝40°．
故答案为：40°．
14．解：∵∠ACB＝118°，
∴∠A+∠B＝62°．
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN＝62°．
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．
故答案为：56°．
15．解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．
16．解：∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝6+8＝14，
故答案为：14．
17．解：如图：已知DF垂直且平分AB AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°，∠ADF＝90°
∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°（对角相等）
因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC
故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．
故填6；40°．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵∠B＝25°，
∴∠EAB＝∠B＝25°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＝65°，
∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．
19．解：（1）∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA＝20°，
∠PBC＝∠PCB＝30°，
∵∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°．
（2）∵∠APB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝50°，
∴∠APB＝2∠ACB．
故答案为∠APB＝2∠ACB．
20．证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
21．解：（1）如图，由于“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，
分别作AB、BC、CA边的垂直平分线，相交于P，P即为所求．
（2）如图，由于“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，
分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线相交于P1，
∠IAE和∠DCA的平分线相交于P2，
∠ECB和∠FBC的平分线相交于P3，
∠HAB和∠GBH的平分线相交于P4．
故加油站Q的位置有4处．
22．解：
23．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
24．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAN＝110°﹣70°＝40°．
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAN＝100°﹣80°＝20°．
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．