2.5全等三角形 同步优生辅导训练 2021-2022学年湘教版八年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2.5全等三角形 同步优生辅导训练 2021-2022学年湘教版八年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 434.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-09 18:54:39 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.5全等三角形》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
2．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
3．小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
5．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求∠A；
（3）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（4）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝3cm，则BE＝ cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A1B1C，连接BB1，设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F
（1）求证：△CBD≌△CA1F；
（2）试用含α的代数式表示∠B1BD；
（3）当α等于多少度时，△BB1D是等腰三角形．
8．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
9．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）．
10．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的关系（数量关系和位置关系）？并证明你的结论．
11．如图AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°．求∠3的度数．
12．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．试猜想CE、BF的关系，并说明理由．
13．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
14．已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB＝BC．求证：△ABF≌△CBD．
15．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝ ，∠DBC＝ ；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
16．如图（1），△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．
若将△DEC绕点C旋转至图（2），（3）所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？利用图（3）说明理由．
17．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长；
（2）若点P、Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值．
19．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
20．（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝
60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案
1．解：∵∠ACB＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，
∴当AP＝CB＝5时，Rt△PQA≌Rt△BAC；
当AP＝CA＝10时，Rt△PQA≌Rt△ABC；
即AP为5或10时，△ABC和△PQA全等．
故答案为5或10．
2．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
3．解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
4．（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
5．（1）证明：如图，∵D是AB的中点，
∴AD＝BD．
∵在△ACD与△BCD中，，
∴△ACD≌△BCD（SSS）；
（2）解：如图，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，即∠A＝45°；
（3）证明：如图1，∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG；
（4）解：BE＝CM．理由如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．
6．（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵DB＝AB＝3cm，
∴BE＝2×3cm＝6cm；
（3）解：BE与AD垂直．理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠1＝∠2，
而∠3＝∠4，
∴∠EBD＝∠ECD＝90°，
∴BE⊥AD．
7．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，
∴∠A1＝∠A，A1C＝AC，∠ACA1＝∠BCB1＝α．
∴∠A1＝∠CBD，A1C＝BC．
在△CBD与△CA1F中，
，
∴△CBD≌△CA1F（ASA）．
（2）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
又由旋转的性质得到BC＝B1C，则∠CB1B＝∠CBB1，
∴∠CB1B＝∠CBB1＝＝90°﹣．
∴∠B1BD＝∠CBB1﹣∠CBA＝90°﹣﹣45°＝45°﹣；
（3）在△CBB1中，∵CB＝CB1
∴∠CBB1＝∠CB1B＝（180°﹣α）．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
①若B1B＝B1D，则∠B1DB＝∠B1BD，
∵∠B1DB＝45°+α，∠B1BD＝∠CBB1﹣45°＝（180°﹣α）﹣45°＝45°﹣，
∴45°+α＝45°﹣，
∴α＝0°（舍去）；
②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD，
∴BD＞B1D，即BD≠B1D；
③若BB1＝BD，则∠BDB1＝∠BB1D，即45°+α＝（180°﹣α），α＝30°
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α＝30°．
8．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
9．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ANB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AE⊥CD．
（3）结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴ AE BK＝ CD BJ，
∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为②．
10．解：结论：AE＝BD，AE⊥BD，
理由：如图，设AC交BD于N，AE交BD于O，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，
∴∠DCB＝∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴∠A＝∠B，BD＝AE
∵∠AND＝∠BNC，∠B+∠BNC＝90°
∴∠A+∠AND＝90°，
∴∠AON＝90°，
∴BD⊥AE．
11．解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠CAE．
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°．
∵∠3＝∠1+∠ABD．
∴∠3＝25°+30°＝55°．
答：∠3的度数为55°．
12．解：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE．
在△EAC和△BAF中，
∵，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
13．解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
14．证明：
∵CB⊥AD，
∴∠ABC＝∠CBD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵AE⊥DC，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBD中
∴△ABF≌△CBD．
15．（1）
①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；
故答案为：45°；45°；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
故BD⊥AC，
∵ED⊥DF，
∴∠BDE＝∠FDC，
∴∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
16．证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
解：图（2），图（3）中，BE和AD还相等，
理由是：如图（3）∵∠BCA＝∠ECD，∠ACD+∠BCA＝180°，∠ECD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
17．解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
18．解：（1）PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；
（2）∵t＝1时，PB＝2，CQ＝2，
∴PC＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，
∵BD＝AD＝4，
∴PC＝BD，
∵∠C＝∠B，CQ＝BP，
∴△QCP≌△PBD．
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B＝∠C，
∴BP＝PC，BD＝CQ，
∴2t＝6﹣2t，at＝4，
解得：t＝，a＝．
19．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
20．解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
2．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
3．小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
5．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求∠A；
（3）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（4）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝3cm，则BE＝ cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A1B1C，连接BB1，设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F
（1）求证：△CBD≌△CA1F；
（2）试用含α的代数式表示∠B1BD；
（3）当α等于多少度时，△BB1D是等腰三角形．
8．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
9．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）．
10．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，图中AE、BD有怎样的关系（数量关系和位置关系）？并证明你的结论．
11．如图AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°．求∠3的度数．
12．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．试猜想CE、BF的关系，并说明理由．
13．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
14．已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB＝BC．求证：△ABF≌△CBD．
15．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝ ，∠DBC＝ ；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
16．如图（1），△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．
若将△DEC绕点C旋转至图（2），（3）所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？利用图（3）说明理由．
17．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长；
（2）若点P、Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值．
19．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
20．（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝
60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案
1．解：∵∠ACB＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，
∴当AP＝CB＝5时，Rt△PQA≌Rt△BAC；
当AP＝CA＝10时，Rt△PQA≌Rt△ABC；
即AP为5或10时，△ABC和△PQA全等．
故答案为5或10．
2．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
3．解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
4．（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
5．（1）证明：如图，∵D是AB的中点，
∴AD＝BD．
∵在△ACD与△BCD中，，
∴△ACD≌△BCD（SSS）；
（2）解：如图，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，即∠A＝45°；
（3）证明：如图1，∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG；
（4）解：BE＝CM．理由如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．
6．（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵DB＝AB＝3cm，
∴BE＝2×3cm＝6cm；
（3）解：BE与AD垂直．理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠1＝∠2，
而∠3＝∠4，
∴∠EBD＝∠ECD＝90°，
∴BE⊥AD．
7．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC．
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，
∴∠A1＝∠A，A1C＝AC，∠ACA1＝∠BCB1＝α．
∴∠A1＝∠CBD，A1C＝BC．
在△CBD与△CA1F中，
，
∴△CBD≌△CA1F（ASA）．
（2）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
又由旋转的性质得到BC＝B1C，则∠CB1B＝∠CBB1，
∴∠CB1B＝∠CBB1＝＝90°﹣．
∴∠B1BD＝∠CBB1﹣∠CBA＝90°﹣﹣45°＝45°﹣；
（3）在△CBB1中，∵CB＝CB1
∴∠CBB1＝∠CB1B＝（180°﹣α）．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
①若B1B＝B1D，则∠B1DB＝∠B1BD，
∵∠B1DB＝45°+α，∠B1BD＝∠CBB1﹣45°＝（180°﹣α）﹣45°＝45°﹣，
∴45°+α＝45°﹣，
∴α＝0°（舍去）；
②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD，
∴BD＞B1D，即BD≠B1D；
③若BB1＝BD，则∠BDB1＝∠BB1D，即45°+α＝（180°﹣α），α＝30°
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α＝30°．
8．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
9．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ANB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AE⊥CD．
（3）结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴ AE BK＝ CD BJ，
∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为②．
10．解：结论：AE＝BD，AE⊥BD，
理由：如图，设AC交BD于N，AE交BD于O，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，
∴∠DCB＝∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴∠A＝∠B，BD＝AE
∵∠AND＝∠BNC，∠B+∠BNC＝90°
∴∠A+∠AND＝90°，
∴∠AON＝90°，
∴BD⊥AE．
11．解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠CAE．
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°．
∵∠3＝∠1+∠ABD．
∴∠3＝25°+30°＝55°．
答：∠3的度数为55°．
12．解：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE．
在△EAC和△BAF中，
∵，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
13．解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
，
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
14．证明：
∵CB⊥AD，
∴∠ABC＝∠CBD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
∵AE⊥DC，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBD中
∴△ABF≌△CBD．
15．（1）
①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；
故答案为：45°；45°；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
故BD⊥AC，
∵ED⊥DF，
∴∠BDE＝∠FDC，
∴∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
16．证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
解：图（2），图（3）中，BE和AD还相等，
理由是：如图（3）∵∠BCA＝∠ECD，∠ACD+∠BCA＝180°，∠ECD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
17．解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．
18．解：（1）PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；
（2）∵t＝1时，PB＝2，CQ＝2，
∴PC＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，
∵BD＝AD＝4，
∴PC＝BD，
∵∠C＝∠B，CQ＝BP，
∴△QCP≌△PBD．
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B＝∠C，
∴BP＝PC，BD＝CQ，
∴2t＝6﹣2t，at＝4，
解得：t＝，a＝．
19．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
20．解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
同课章节目录