4.2.2等差数列的前n项和公式 同步练习（解析版）

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第四章 数列
4．2．2等差数列的前n项和公式
1.（2021·吉林长春市实验中学高一期中）已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前9项和等于(　　)
A．27 B. C．45 D．－9
【答案】A
【解析】由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
2.（2020·辽宁高一期末） 在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于(　　)
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
【答案】D
【解析】由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.
3．（2021·山东师范大学附中高一月考）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　)
A．36 B．35 C．34 D．33
【答案】C
【解析】方法一　a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
方法二　易知{an}为等差数列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，
∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.
4.（2020黑龙江建三江分局第一中学高一期末）等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【解析】由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.
5.（2020漠河高级中学高一月考）已知等差数列{an}中，a1 009＝4，S2 018＝2 018，则S2 019等于(　　)
A．－2 019 B．2 019
C．－4 038 D．4 038
【答案】C
【解析】因为{an}是等差数列，
所以S2 018＝1 009(a1＋a2 018)＝1 009(a1 009＋a1 010)＝2 018，
则a1 009＋a1 010＝2.又a1 009＝4，所以a1 010＝－2，
则S2 019＝＝2 019a1 010＝－4 038.
6.（2021·山东滕州市第一中学新校高一期中）一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是(　　)
A.3 B.－3 C.－2 D.－1
【答案】B
【解析】
由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.
7.（2020广东深圳中学高一期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】am＝2，am＋1＝3，故d＝1，
因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，
故a1＝－，
因为am＋am＋1＝5，
故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d
＝－(m－1)＋2m－1＝5，
即m＝5.
8.（2021·山东省实验中学高二月考）含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
9.【多选题】（2020·山东高二期末）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．中最大的是
【答案】BCD
【解析】A选项：因为，则将.代入，，化简求得，即，数列是递减数列，不正确；
B选项：因为，正确；
C选项：因为，则将.
代入，，
化简求得，正确；
D选项：由可知.则在中存在自然数，使得.
则就是 中的最大值.
,解得.
故中最大的是，正确，故选BCD
10.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.
【答案】10
【解析】　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.
11.（2021·吉林长春市实验中学高一期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
【答案】
【解析】方法一　＝＝，
∴a1＝2d，
＝＝＝.
方法二　由＝，
得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，
公差为(S6－S3)－S3＝S3，
从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3 S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3 S12＝10S3，
∴＝.
12.（2021·河南郑州一中高一期中）若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________.
【答案】4026
【解析】由条件可知数列单调递减，
故知a2 013＞0，a2 014＜0，
故S4 026＝＝2 013(a2 013＋a2 014)＞0，
S4 027＝＝4 027×a2 014＜0，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 026.
13.（2021·晋江市子江中学高一期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200·，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝ .
【答案】100
【解析】　因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，
所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.
12．（2020·广西田阳高中高一月考）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3∴∴∴an＝4n－3，n∈N*.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－ (c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，∴c＝－.
13.（2021·宣威市民族中学高一月考）数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；
当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
∴Sn＝
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