4.3.2等比数列的前n项和公式 同步练习（解析版）

第四章 数列
4．3．2等比数列的前n项和公式
1.（2020·黑龙江伊春二中高一期末）已知数列{an}是等差数列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】因为a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化简得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1.故选B.
2.（2020·江苏南京师大附中高一期末）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A．1 B．0 C．1或0 D．－1
【答案】A
【解析】∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又{Sn}是等差数列，
∴an为定值，即数列{an}为常数列，
∴q＝＝1(n≥2且n∈N*)．
3.（2021·浙江诸暨中学高一期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于(　　)
A．24 B．12 C．18 D．22
【答案】B
【解析】设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
4.（2021·天津市新华中学高一月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
【答案】C
【解析】方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝.
方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
即2x·3－1＝x－，解得x＝.
5.（2020·华东师大附属周浦中学高二月考）设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)
A．－2 B．－1 C. D.
【答案】B
【解析】由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.
6.（2021·吉林蛟河一中高一月考）一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)
A．300米 B．299米
C．199米 D．166米
【答案】A
【解析】小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
7．（2021·湖南衡阳市八中高一期中）已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于 (　　)
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
【答案】C
【解析】由3an＋1＋an＝0，得＝－，
故数列{an}是公比q＝－的等比数列．
又a2＝－，可得a1＝4.
所以S10＝＝3(1－3－10)．
8.（2021·郑州市第二中学高一月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于(　　)
A．2 B. C. D．3
【答案】B
【解析】由题意知q≠1，否则＝＝2≠3.
∴＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.
∴＝＝＝＝.
9.【多选】（2021·山东省实验中学高二期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【解析】①, 与题设矛盾.
②符合题意.
③与题设矛盾.
④ 与题设矛盾.
得，则的最大值为.
B，C，错误.
故选：AD.
10.（2020·江西南昌二中高一期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
【答案】3
【解析】S6＝4S3 ＝ q3＝3.
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
11.（2020·江苏淮阴中学高一期末）如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，且是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
答案　2n－1
【答案】63
【解析】an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
12.（2021·广西南宁三中高一月考）等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【答案】2
【解析】根据题意得
∴∴q＝＝＝2.
13.（2021·吉林长春十一高高一月考）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解析】(1)证明　当n＝1时，S1－2S1＝1－4，故S1＝3，
得S1－1＋2＝4.
n≥2时原式转化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4，
即Sn＝2Sn－1－n＋4，
所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，
所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，
于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n＝.
14已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)当n＝k∈N时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n.
当n＝1时，上式也成立，综上，an＝－n.
(2)因为＝，
所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，　①
所以2Tn＝2＋2＋＋…＋＋，　②
②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
故Tn＝4－.
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