(共29张PPT)
人教版 九年级上
24.2.1 点和圆的位置
关系
新知导入
学习目标：
1.掌握点和圆的三种位置关系，并会解决相关问题；
2.能够过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形 的外心和外接圆的概念；
3.理解反证法.
7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以总分295分的成绩夺得金牌，获得中国首金.
看电子靶的示意图，如果子弹看成点，靶看成圆，那么猜想一下点与圆有几种位置关系呢？
新知导入
r
探究２：设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：
·
C
O
A
B
OC > r.
探究１：观察图中点A，点B，点C与⊙O的位置关系？
点C在圆外.
点A在圆内，
点B在圆上，
OA OB=r，
新知讲解
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为 d，则有：
点在圆内 d ＜ r ；
r
·
O
A
点在圆上 d = r；
点在圆外 d ＞ r .
新知讲解
思考：点与⊙O的位置关系和点与圆心的距离和半径大小有关吗？
d
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
r
·
O
A
思考：如果已知点到圆心的距离和圆的半径大小，能否判断点和圆的位置关系？
P
P
P
d ＜ r 点P在圆内；
d = r 点P在圆上；
d ＞ r 点P在圆外.
新知讲解
小结：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
点P在圆上 d = r；
点P在圆内 d ＜ r ；
符号 读作“等价于”，
它表示从符号的左端可以得
到右端，从右端也可以得到
左端．
r
·
O
A
P
P
P
新知讲解
点P在圆外 d ＞ r .
练习：⊙O的半径7cm，当OP=6时，点P在 ；当OP 时，点P在圆上；当OP 时，点P在圆外.
圆内
=7
>7
新知讲解
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示. 弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应环数也就越高，射击成绩越好.
新知讲解
探究3：圆是由圆心和半径决定的，那么经过一个已知点A能画出多少个圆？经过两个点A、B能画出多少个圆？
新知讲解
·
·
·
A
·
·
·
A
B
思考：圆心有什么特点？
经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径，可以作出无数个圆;经过两个点A、B作圆，圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个.
新知讲解
·
·
·
A
·
·
·
A
B
思考：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆 如果能，如何确定所作圆的圆心
新知讲解
分析：所求的圆要经过三个点A，B，C，所以圆心到这三点的距离要相等. 因此，圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，所以，圆心在这两条垂直平分线的交点上.
C
O
A
B
l1
l2
1.分别连接AB、BC；
2. 分别作出线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O ，则OA=OB=OC；
新知讲解
作法：
·
C
O
A
B
l1
l2
3.以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆．
所以点O即为所求.
新知讲解
不在同一直线上的三个点确定一个圆
新知讲解
强调：（1）不在同一直线的三个点
（2）只有一个圆
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
新知讲解
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
思考：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆的圆心如何确定？
新知讲解
三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
l1
l2
A
B
C
P
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．
l
合作探究
先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
合作探究
当用直接法证较困难，可以用反证法来证明.
合作探究
反证法证明步骤：
（1）假设命题的结论不成立，
（2）经过推理，得出矛盾，
（3）肯定原命题的结论正确.
课堂练习
1.点P是半径为3的圆上一点，点Q与圆心O的距离为5，PQ的最小值是 .
2
变式：点P是平面内一点，点P和圆上的点的最大距离为8，最小距离为2，圆半径是 .
3 或5
A
课堂练习
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于D点，以C为圆心，2.4cm为半径作⊙C，则D点与圆的位置关系是（ ）
A.点D在⊙C上 B.点D在⊙C外
C.点D在⊙C内 D.无法确定
3．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心
P（－3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是____________．
点在圆上
课堂练习
课堂练习
4.在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A、C及AB的中点D与圆有怎样的位置关系？ 说明理由.
证明：由题意知⊙B半径为3，所以点C在圆上.
在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4
根据勾股定理得，AB＝5，所以点A在圆外.
点D为AB中点，BD＝2.5，所以点D在圆内.
点和圆的位置关系
位置关系
外接圆
反证法
（1）过不在同一直线上的三个点确定一个圆
（2）外心的位置：两条（或三条）边的垂直平 分线的交点
课堂总结
点在圆外，则d＞r
点在圆内，则d＜r
点在圆上，则d=r
板书设计
24.2.1 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系：
外接圆： 外心：
反证法： 练习
作业布置
1.必做题：教材P95 练习第 1—3题
2.选做题：教材P101 第 1 题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.1 点和圆的位置关系 教学设计
课题 24.2.1 点和圆的位置关系 单元 第24章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1.掌握点和圆的三种位置关系，并会解决相关问题；2.能够过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形的外心和外接圆的概念；3.理解反证法.
重点 掌握点和圆的三种位置关系,能够过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形的外心和外接圆的概念
难点 理解反证法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以总分295分的成绩夺得金牌，获得中国首金.看电子靶的示意图，如果子弹看成点，靶看成圆，那么猜想一下点与圆有几种位置关系呢？ 创设情境，引起学生兴趣. 引起学生兴趣,调动学生积极性.
讲授新课 环节一：探究点与圆的位置关系探究１：观察图中点A，点B，点C与⊙O的位置关系？点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.探究2：设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：OA r.思考：点与⊙O的位置关系和点与圆心的距离和半径大小有关吗？设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为 d，则有：点在圆内 d < r ； 点在圆上 d =r ； 点在圆外 d > r ； 思考：如果已知点到圆心的距离和圆的半径大小，能否判断点和圆的位置关系？设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：d < r 点在圆内d = r 点在圆上d > r 点在圆外小结：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内 d < r ； 点P在圆上 d = r ； 点P在圆外 d > r ； 符号 读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．练习：⊙O的半径7cm，当OP=6时，点P在圆内；当OP=7时，点P在圆上；当OP>7时，点P在圆外.射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示. 弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应环数也就越高，射击成绩越好.环节二：探究外接圆探究3：圆是由圆心和半径决定的，那么经过一个已知点A能画出多少个圆？经过两个点A、B能画出多少个圆？思考：圆心有什么特点？经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径，可以作出无数个圆;经过两个点A、B作圆，圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个.思考：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆 如果能，如何确定所作圆的圆心 分析：所求的圆要经过三个点A，B，C，所以圆心到这三点的距离要相等. 因此，圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，所以，圆心在这两条垂直平分线的交点上.作法：1.分别连接AB、BC；2. 分别作出线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O ，则OA=OB=OC；3.以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆．所以点O即为所求.不在同一直线上的三个点确定一个圆强调：（1）不在同一直线的三个点 （2）只有一个圆经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．思考：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆的圆心如何确定？三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.环节三：反证法思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．当用直接法证较困难，可以用反证法来证明.反证法证明步骤：（1）假设命题的结论不成立，（2）经过推理，得出矛盾，（3）肯定原命题的结论正确.环节四：课堂练习1.点P是半径为3的圆上一点，点Q与圆心O的距离为5，PQ的最小值是2.变式：点P是平面内一点，点P和圆上的点的最大距离为8，最小距离为2，圆半径是3或5.2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于D点，以C为圆心，2.4cm为半径作⊙C，则D点与圆的位置关系是（ A ）A.点D在⊙C上 B.点D在⊙C外 C.点D在⊙C内 D.无法确定3．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（－3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是点在圆上.4.在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A、C及AB的中点D与圆有怎样的位置关系？ 说明理由.证明：由题意知⊙B半径为3，所以点C在圆上.在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4根据勾股定理得，AB＝5，所以点A在圆外.点D为AB中点，BD＝2.5，所以点D在圆内. 通过观察，发现点和圆的位置关系.理解外接圆的定义，通过画出不同形状的三角形，体会并总结出外心的位置及确定方法.理解反证法这种证明方法学生练习，师生互评订正. 鼓励学生通过自学探究得出结论.理解并掌握外心的位置及确定方法.培养学生运用多种方法解决问题的能力.通过各种变式练习，让学生理解和掌握垂径定理.
课堂小结 师生共同梳理本节课的知识点. 强化本节课的知识点.
板书 24.2.1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系： 外接圆： 外心：反证法： 练习 教师展示本节课的内容. 展示本节课的内容.
l1
l2
A
B
C
P
l
点和圆的位置关系
点在圆上，点在圆内，点在圆外
位置关系
（1）过不在同一直线上的三个点确定一个圆
（2）外心的位置：两条（或三条）边的垂直平 分线的交点.
外接圆
反证法
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