高二 10 月数学月考试卷解析
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C
9.【答案】AC
a 2
【详解】若直线过原点，则 2+ = 0，解得 = 2；若直线不过原点，则在 x轴上的截距为 ，
a
y a 2在 轴上的截距为 a 2，则 a 2，可得 a 1，综上，a的值可能是 1或 2.
a
10.ABD
11.AD
x2
由题意，椭圆C : y 2 1(a b 0) ，可得a 2,b 1，可得
2 c a
2 b2 1，
所以焦点为 F1( 1,0),F2 (1,0) ,根据椭圆的定义 PF1 PF2 2a 2 2 ，所以 A正确；
c 2
椭圆的离心率为 e ，所以 B错误；
a 2
1
其中△PF1F2面积的最大值为 2c b bc 1，所以 C错误；2
由原点 (0,0)
2
到直线 x y 2 0的距离 d 1 c，
12 12
所以以线段 F1F2 为直径的圆与直线 x y 2 0相切，所以 D正确.故选：AD
12. CD
13.（-3，4）【详解】 A2 2, 1 ，设 A3 m,n ，则 n 1 ，解得 m 3
1 m 2
n 4
m 2 n 1 2 0
2 2
14.【答案】 x 1或 x 3y 5 0
15.【答案】3
5 7
16.【答案】10
2
17.【答案】（1） 3x y 4 0；（2） 3x y 2 0或 3x y 10 0 .
【解析】（1） 直线的方程为 y 3x 1， k 3 ，倾斜角 120 ，
故所求直线的倾斜角为 60 ，即斜率为 3， 直线 l经过点 ( 3， 1)，
所求直线 l方程为 y 1 3(x 3)，即 3x y 4 0．
（2） 直线m与 l平行，可设直线m的方程为 3x y c 0，
| 3 3 1 c |
3，即 | 4 c | 6， c 2或 c 10，
( 3)2 12
所求直线m的方程为 3x y 2 0或 3x y 10 0．
18. 1 x 2 2（ ） y2 4；（2） 2 3 .
2
【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为 2.则圆的方程为 x 2 y2 4；
6 11
(2)圆心（2，0）到 l的距离为 d， d =1， AB 2 r 2 d 2 2 3 .
5
2 2
19. x（1） y2 1；（2）
2
,1 .
2
【详解】（1）因为椭圆短轴的一个端点为 P，且∠F1PF2为直角，知 b＝c，a＝ 2 c，
由焦距长为 2，所以 c＝1， a＝ 2 ，b＝1，
C x
2
∴椭圆 的标准方程为 y2 1．
2
（2）因为椭圆短轴的一个端点为 P，且∠F1PF2为钝角，即 45°＜∠OPF2＜90°，
c 2
所以 sin∠OPF2＝ ，又因为椭圆的离心率 e∈(0,1)，
a 2
2
所以椭圆 C的离心率的取值范围为 ,1 ．
2
20.【答案】解：(1)以点 O为坐标原点，直线 OM为 x轴，建立平面直角坐标系．
则由题设得： 6,0 ，直线 ON的方程为 = 3 ，设 0, 3 0 > 0 ，
3 0+3由 = 6 10，得 0 = 3，所以 3,3 ， 故直线 AQ的方程为 = + 6，10 5
= 3 = 3
由 + 6 = 0得 = 9 ，即 3,9 ，
故 = 3 6 2 + 92 = 9 2 所以有轨观光直路 AB的长为 9 2百米.
(2) 将喷泉记为圆 P，则 3,9 ，t分钟时，观光车在线段 AB上的点 C处，
则 = 2 0 ≤ ≤ 9 ，所以 3,9 ，
若喷泉不会喷洒到观光车上，则 2 > 2对 ∈ 0,9 恒成立，
即 2 = 6 2 + 2 = 2 2 12 + 36 > 4 ，
当 = 0 18时，上式成立；当 ∈ 0,9 时，2 < + 6，
因为 + 18 6 ≥ 6 2 6，当且仅当 = 3 2时取等号，即 < 3 2 3，
因为 0 < < 1，所以 < 恒成立，即喷泉的水流不会喷洒到观光车上．
答：喷泉的水流不会喷洒到观光车上．
21.【答案】解：(1)由已知可得： = 2，∵点 (1, 3 )在椭圆上
2
∴ 1 + 3 = 1 ∴ 2 = 1 ∴ C
2
， ， 椭圆 的方程为 + 22 = 1；4 4 4
= +
(2)设 1, 1 ， 2, 2 ，由 2 2 得： 1 + 4
2 2 + 8 + 4( 2 1) = 0，
+ = 1
4
= 64 2 2 16 1 + 4 2 2 1 > 0，即得 1 + 4 2 2 > 0 且 1 + =
8
2 ， =1+4 2 1 2
4 2 1
，
1+4 2
OM ON 1 1 2 = 1+ 2+ = 8 +4
2 2 1 + 2 1+4 2 1
因为直线 ， 的斜率之积等于 ， = ，
4 1 2 1 2 1 2 4
8 +4 2 2 1 + 2 1+4 2 2= 4
2
所以 = 1 4 2 1 4，1 2
即得 2 2 = 4 2
+ 1.又 O到直线 MN的距离为 = ，
1+ 2 = 1 +
2 21 + 2 4 1 2
= 1 + 2 16
2+8
2 8，
即得 定值)，
所以△ 的面积为定值．
2
22.（1） x 1 2 y
1 1
；（2） 2x 2y 1 0；（3）存在 a 4，使得 ANM BNM .
2 4
【详解】
（1）由圆C与 x轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.
C x 1 a
2 2 2
y a 1 a a
2
故先将圆 的方程化成标准方程为： 2
a ，
2 2 4
a 2 1 a
2 a 2
由
a，整理可得 a
2 2a 1 0，解得 a 1，
2 2 4
2
即可得到所求圆C的方程为 x2 2x y2 y 1 0 x 1 2 y 1 1，即
；
2 4
x a 1
（2）设圆心C 2 1点坐标为 x, y ，则 ，消去参数 a得 x y a ， y 2
2
因此，圆心C的轨迹方程为 2x 2y 1 0；
2
（3）在圆C的方程中，令 y 0，得 x 1 a x a 0，即 x 1 x a 0，
Q a 1，且点M 在点 N的右侧，所以点M 1,0 、N a,0 ，
假设存在实数 a，当直线 AB与 x轴重合时，A、B、N、M 四点共线，则 ANM BNM 成立；
当直线 AB与 x轴不重合时，
设直线 AB的方程为 x my 1，设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 ，
x my 1 x m2联立 2 2 ，消去 并整理得 1 y2 2my 3 0
x y 4
，
4m2 12 m2 1 16m2 12 0 ，
2m 3
由韦达定理得 y1 y2 2 ， y1ym 1 2
2 ，m 1
ANM BNM ，所以直线 AN、 BN的斜率互为相反数，
即
k k y1 y2 y1 y2
y1 my2 1 a y2 my 1 a
AN BN
1
x1 a x2 a my1 1 a my2 1 a my1 1 a my2 1 a
6m 2 1 a m 2 a 4 m
2my1y2 1 a y1 y2 m
2 1 m2 1 0恒成立，
my1 1 a my2 1 a my1 1 a my2 1 a my1 1 a m y2 1 a
所以，a 4 0，解得a 4 .
综上所述，存在a 4，使得 ANM BNM .2021-2022 扬州中学高二上 10 月月考
数学
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合颜目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.过点 P( 3, 2 3)且倾斜角为135 的直线方程为（ ）
A．3x y 4 3 0 B． x y 3 0
C． x y 3 0 D． x y 3 0
2.已知直线 l1 : 3x ay 1 0， l2 : (a 2)x y a 0．当 l1 / /l2 时， a的值为（ ）
3
A．1 B．-3 C．-3 或 1 D．
2
3.椭圆 2 + 2 2 = 4 的焦点坐标为（ ）
A. 2, 0 ， 2, 0 . B. 0, 2 ， 0, 2 ．
C. 6, 0 ， 6, 0 . D. 0, 6 ， 0, 6 ．
4.直线 l分别交 x轴和 y轴于 A、B两点，若M (2,1)是线段 AB 的中点，则直线 l的方程为（ ）
A． 2x y 3 0 B． 2x y 5 0 C． x 2y 4 0 D． x 2y 3 0
5.若直线 + 1 = 0 与圆( )2 + 2 = 2 有公共点，则实数 a的取值范围是（ ）
A. [ 3, 1] B. [ 1,3]
C. [ 3,1] D. ( ∞, 3] ∪ [1, +∞)
6.古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262~公元前 190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（ k 0且 k 1）
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0), A(3,0)，动点 P(x, y)满足
PA
2 2 2，则动点 轨迹与圆 位置关系是（ ）
PO P (x 1) y 1
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2 2
7.椭圆 + = 1 上的点到直线 + 2 2 = 0 的最大距离是（ ）
16 4
A. 3 B. 11 C. 2 2 D. 10
8.已知圆C : (x 3)2 y21 a
2 (a 7)和C2 : (x 3)
2 y2 1，动圆M 与圆C1，圆C2均相切，
P是△MC1C2的内心，且 S PMC S PMC 3S PC C ，则 a的值为（ ）1 2 1 2
A．9 B．11 C．17 D．19
试卷第 1页，共 4页
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分,不选或有选
错的得 0 分.
9.已知直线 l：ax＋y－2+a＝0 在 x 轴和 y轴上的截距相等，则 a 的值可能是（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
10.已知圆C1 : x
2 y2 1 2 2和圆C2 : x y 4x 0的公共点为 A， B，则（ ）
A． |C1C2 | 2
1
B．直线 AB的方程是 x 4
C AC AC D | AB | 15． 1 2 ． 2
11. C : x
2
设椭圆 y 2 1(a b 0) 的左右焦点为 F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是2
（ ）
A． PF1 PF2 2 2
B 6．离心率 e
2
C．△PF1F2面积的最大值为 2
D．以线段 F1F2 为直径的圆与直线 x y 2 0相切
12.下列结论正确的是（ ）
A．过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 x＋y＝－5;
B．已知直线 kx-y-k-1＝0 和以 M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围
1
为 k 3 ;
2 2
C．已知 ab≠0，O 为坐标原点，点 P(a，b)是圆 x2＋y2＝r2外一点，直线 m 的方程是 ax＋by＝r2，
则 m 与圆相交;
D．若圆M : x 4 2 y 4 2 r 2 r 0 上恰有两点到点 N（1，0）的距离为 1，则 r的取值范
围是(4，6)．
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.已知直线 l1 : x y 0，直线 l2 : x y 2 0，点 A1 1, 2 关于 l1的对称点为 A2，点 A2关
于直线 l2的对称点为 A3，则点 A3的坐标为_____________.
14.直线 l经过点 P(1,2 3)，且分别与直线 l1 : 3x y 1 0和 l2 : 3x y 3 0相交于 A， B两
点，若 | AB | 4，则直线 l的方程为_____________.
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2 2
15. 椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点分别为 1， 2，P 为椭圆上一点，且| | =
3 | |，
2 2 1
则∠ 1 2的最大值为_____________.
16.已知 ( 1, 1)、 ( 2,
1
2)为圆 M： 2 + 2 = 4 上的两点，且 1 2 + 1 2 = ，设2 ( 0, 0)
为弦 AB 的中点，则|3 0 + 4 0 10|的最小值为 ．
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说
明,证明过程或演算步骤.
17.已知直线 l过点 P( 3, 1) 1，且其倾斜角是直线 y 3x 1的倾斜角的 ．
2
（1）求直线 l的方程；
（2）若直线m与直线 l平行，且点 P到直线m的距离是 3，求直线m的方程．
18.已知圆C经过坐标原点O和点 (4,0)，且圆心在 x轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线 l : 3x 4y 11 0 与圆C相交于 A、B 两点，求所得弦长 AB 的值.
2 2
19. x y已知椭圆 C： 2 2 1 (a＞b＞0)的两个焦点分别为 F1、F2，短轴的一个端点为 P．a b
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为 2，求椭圆 C 的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆 C 的离心率的取值范围．
20.如图， , 是某景区的两条道路(宽度忽略不计，OM 为东西方向)，Q 为景区内一景点，A
为道路 OM 上一游客休息区.已知 tan∠ = 3, = 6(百米)，Q 到直线 , 的距离分别为
3(百米)，6 10 (百米)。现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路 ON 于点 B，并在 B
5
处修建一游客休息区．
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(1)求有轨观光直路 AB 的长；
(2)已知在景点 Q的正北方 6百米的 P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9分钟。
表演时，喷泉喷洒区域以 P为圆心，r为半径变化，且 t分钟时， = 2 (百米)(0 ≤ ≤ 9,0 < <
1)。当喷泉表演开始时，一观光车 (大小忽略不计)正从休息区 B 沿(1)中的轨道 BA 以 2(百米/
分钟)的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由。
2 221. C 已知椭圆 ：2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，且椭圆 C 上的点 (1,
3 )到 1， 2
2两点的距离之和为 4．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2) 1若直线 = + 与椭圆 C 交于 M、N 两点，O 为坐标原点直线 OM、ON 的斜率之积等于 ，
4
试探求△ 的面积是否为定值，并说明理由．
22.圆C : x2 1 a x y2 ay a 0 .
（1）若圆C与 x轴相切，求圆C的方程；
（2）求圆心C的轨迹方程；
（3）已知 a 1，圆C与 x轴相交于两点M 、N（点M 在点 N的左侧）.过点M 任作一条直线与
圆O : x2 y 2 4相交于两点 A、 B .问：是否存在实数 a，使得 ANM BNM ？若存在，求出
实数 a的值，若不存在，请说明理由.
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