江苏省扬州中学 2021—2022学年第一学期 10月考
高一数学
（试题满分：150分考试时间：120分钟） 2021.10
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，计 40分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个
选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.
1.如图请用集合U、 A、B、C表示图中阴影部分所表示的集合（ ）
A． CU A B C B． CU A C B
C． CU B C A D． CU A B C
2．命题“ x 1, ， x2 1”的否定是（ ）
A． x 1, ， x2 1 B． x 1, ， x2 1
C． x ,1 ， x2 1 D． x 1, ， x2 1
3．若集合M x x 1 ， N x Z 0 x 4 ，则 (CRM ) N （ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1,4 D． 0,1
4．设 a，b，c R， a b 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． a2 b2
1 1 1 1
B． C．
a b a c
2 bc2 D． a b a
5．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（ ）
A．如果a b a b， c 0，那么
c c
B．如果 a b，那么 a2 b2
C．如果 a b， c d，那么 a d b c
D．如果a b， c d，那么 a d b c
6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次
关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本
持金几何？” 1其意思为：今有人持金出五关，第 1关收税金为持金的 2 ，第 2关收税金为剩
1 1 1
余金的 ，第 3关收税金为剩余金的 ，第 4关收税金为剩余金的 ，第 5关收税金为剩余
3 4 5
1
金的 ，5关所收税金之和恰好重 1斤，则此人总共持金（ ）
6
6 11
A．2斤 B 7． 5斤 C． 斤 D． 斤5 10
7．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个
原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.
今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体
1
U . U kcq2
1 1 1 1
系的能量中有静电相互作用能 其计算式子为 ，
R R x1 x R x
2 1 R x2
其中， kc为静电常量， x1、 x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知
R x x x x x x R 1 1 2 R x R 1 1 1 2 ， 1 ， R x2 R 1 2
，且 1 x 1 1 x x2，
R R R
则U 的近似值为（ ）
kcq2A x1x kcq
2x x 2 2
． 2 B． 1 2 C 2kcq x x 2kcq x x． 1 2 D． 1 2
R3 R3 R3 R3
1 1 m
8．已知 a>0，b>0，且 ab 1，不等式 4恒成立，则正实数m的取值范围是
2a 2b a b
（ ）．
A． 2, B． 4, C． 6, D． 8,
二、多项选择题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个
选项中，有多项是正确的，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．请
在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.
9．已知 CRA B ，则下面选项中不成立的是（ ）
A． A B A B． A B B C． A B B D． A B R
10.已知实数 a,b,则下列不等式一定成立的有（ ）
a b
A． ab B． a 1
b a
2 C． 2 D． 2 2
a b 2(a b ) (a b)
2
2 a
11．某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测
试的 200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、
乙、丙三位同学的排名情况如图所示：
给出下面四个结论：
①甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前；
②丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前．
③甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前；
④乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前；
则所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．③
12．若不等式 x 4 xy m（3x y）对所有正数 x，y均成立，则实数 m可为（ ）
2
1 4
A． B． C．2 D．4
2 3
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，计 20分．只要求写出最后结果，并将正确
结果填写到答题卡相应位置．
13．已知3 1,a ,a 2 则实数 a的值为__________.
14“. a 0”是“ab 0”的________________.（选择“充分不必要条件”、“必要不充分条件”，
“既不充分也不必要条件”，“充要条件”中的一个填写）
15．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十
二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪
年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、
丙戌…癸巳，…，共得到 60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支
纪年法”中的己亥年，那么 2026年是“干支纪年法”中的________年.
16．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能
够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”. 如图所示图形，点D、F 在圆O上，点C在直
径 AB上，且OF AB，CD AB，CE OD于点 E，设 AC a，
2 2
BC b a b 0 2ab ab a b a b，该图形完成 的无字
a b 2 2
2ab
证明. 图中线段________的长度表示 a，b的调和平均数 ，线段
a b
2 2
_________的长度表示 a a b，b的平方平均数 .
2
四、解答题：本大题共 6小题，计 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）
设集合 ， .若 ,求 的值.
18．（本小题满分 12分）
为迎接校园文化艺术节的到来，学生会拟设计一份宣传手册，要求纸
张的形状为矩形，面积为625cm2，如图所示：其中上边，下边和左边
各留宽为 2cm的空白，右边留宽为 7cm的空白，中间阴影部分为文字
宣传区域；设矩形画册的长为 a cm，宽为b cm，文字宣传区域面积
为 S cm2 .
（1）用 a，b表示 S；
（2）当 a，b各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？
3
19．（本小题满分 12分）
已知 p : 2 x 10, q :1 m x 1 m(m 0)，若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的
取值范围．
20．（本小题满分 12分）
p : x mx2已知 关于 的方程 1 m x m 0 没有实数根，q :对于任意的正实数 x , y，且满足
1 4
x y 1，m 恒成立.若 p qx y 假 真，求实数
m的取值范围.
21．（本小题满分 12分）
设集合 A a a x 2 y, x, y N ．
（1）证明：若m A，则m2 A：
（2）已知集合 B x 2 x t ，若 A B的子集共有8个，求 t的取值范围．
22．（本小题满分 12分）
某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：
aa a a a an 1 2 n 1 2 n (a1,a2, an 0,当且仅当a1 a2 an时取等号）.n
小明由此得到启发，在求 x3 3x, x [0, )的最小值时，小明给出的解法是：
x3 3x x3 1 1 3x 2 33 x3 1 1 3x 2 3x 3x 2 2，当且仅当 x 1时，取到最小
值 2 .
（1）请你模仿小明的解法，研究 x4 4x, x [0, )上的最小值；
（2）求出当 a 0时， x3 ax, x [0, )的最小值.
4江苏省扬州中学 2021—2022学年第一学期 10月考
高一数学
（试题满分：150分考试时间：120分钟）2021.10
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，计 40分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个
选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.
1.如图请用集合U、 A、B、C表示图中阴影部分所表示的集合（ ）
A． CU A B C B． CU A C B
C． CU B C A D． CU A B C
【答案】C
2．命题“ x 1, ， x2 1”的否定是（ ）
A． x 1, ， x2 1B． x 1, ， x2 1
C． x ,1 ， x2 1 D． x 1, ， x2 1
【答案】B
3．若集合M x x 1 ， N x Z 0 x 4 ，则 (CRM ) N （ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1,4 D． 0,1
【答案】D
4．设 a，b，c R， a b 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． a2 2
1 1 1 1
b B． C． 2 2 D． a b a c bc a b a
【答案】B
5．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（ ）
A．如果a b a b， c 0，那么
c c
B．如果a b，那么 a2 b2
C．如果a b， c d，那么a d b c
D．如果a b， c d，那么 a d b c
【答案】D
6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次
关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本
1
持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第 1关收税金为持金的 2 ，第 2关收税金为剩
1 1 1
余金的 ，第 3关收税金为剩余金的 ，第 4关收税金为剩余金的 ，第 5关收税金为剩余
3 4 5
1
金的 ，5关所收税金之和恰好重 1斤，则此人总共持金（ ）
6
A 2 B 7
6 11
． 斤 ． 5斤 C． 斤 D． 斤5 10
【答案】C
7．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个
原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.
今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体
2 1 1 1 1
系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为U kcq ，
R R x1 x2 R x
1 R x2
其中， kc为静电常量， x1、 x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知
R x x R 1 x 1 x2 R x R 1 x 1 R x R 1 x 2 1 x 1 21 2 ， 1 ， 2 ，且 1 x x ，
R R R
则U 的近似值为（ ）
2
A kcq x1x2 B kcq
2x1x2 C 2kcq
2x1x2 D 2kcq
2x x
． 1 2
R3
．
R3
． ．
R3 R3
【答案】D
1 1 m
8．已知 a>0，b>0，且 ab 1，不等式 4恒成立，则正实数m的取值范围是
2a 2b a b
（ ）．
A． 2, B． 4, C． 6, D． 8,
【答案】D
二、多项选择题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个
选项中，有多项是正确的，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．请
在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.
9．已知 CRA B ，则下面选项中不成立的是（ ）
A． A B A B． A B B C． A B B D． A B R
【答案】ACD
10.已知实数 a,b,则下列不等式一定成立的有（ ）
a b ab 1 b aA． B． a 2C． 2 D．
a b 2(a
2 b2 ) (a b)2
2 a
【答案】CD
11．某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测
试的 200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、
乙、丙三位同学的排名情况如图所示：
给出下面四个结论：
①甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前；
②丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前．
③甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前；
④乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前；
则所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．③
【答案】AB
12．若不等式 x 4 xy m（3x y）对所有正数 x，y均成立，则实数 m可为（ ）
1 4
A． B． C．2 D．4
2 3
【答案】BCD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，计 20分．只要求写出最后结果，并将正确
结果填写到答题卡相应位置．
13．已知3 1,a ,a 2 则实数 a的值为__________.
【答案】5
14“. a 0”是“ab 0”的________________.（选择“充分不必要条件”、“必要不充分条件”，
“既不充分也不必要条件”，“充要条件”中的一个填写）
【答案】必要不充分条件
15．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十
二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪
年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、
丙戌…癸巳，…，共得到 60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支
纪年法”中的己亥年，那么 2026年是“干支纪年法”中的 年.
【答案】丙午
16．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能
够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”. 如图所示图形，点D
F 在圆O上，点C在直径 AB上，且OF AB，CD AB，CE OD
于点 E，设 AC a， BC b a b 0 ，该图形完成
2ab 2 2
ab a b a b 的无字证明.图中线段________的
a b 2 2
2ab 2 2
长度表示 a，b的调和平均数 ，线段_________ a b的长度表示 a，b的平方平均数 .
a b 2
【答案】DE CF
四、解答题：本大题共 6小题，计 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）
设集合 ， .若 ,求 的值
解: ,
当 即 时，满足题意，所以 ，
当 即 时， ，由 得 或 ，
所以 ，或
综上 ，或 ，或
18．（本小题满分 10分）
为迎接校园文化艺术节的到来，学生会拟设计一份宣传手册，要求纸
张的形状为矩形，面积为625cm2，如图所示：其中上边，下边和左边
各留宽为 2cm的空白，右边留宽为 7cm的空白，中间阴影部分为文字
宣传区域；设矩形画册的长为 a cm，宽为b cm，文字宣传区域面积
为 S cm2 .
（1）用 a，b表示 S；
（2）当 a，b各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？
解：（1）由题设可得 S a 4 b 9 661 9a 4b （ cm2），
其中 a 4,b 9且ab 625 .
（2）由（1）可得 S ab 9a 4b 36 661 9a 4b ，
由基本不等式可得9a 4b 2 9a 4b 2 6 25 300 ，
50 75
当且仅当 a b 3 ， 时等号成立，2
75
故当 a
50
，b 时， Smax 661 300 3613 （ cm
2）
2
19．（本小题满分 10分）
已知 p : 2 x 10, q :1 m x 1 m(m 0)，若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的
取值范围．
解∵“ p是 q的必要不充分条件”的等价命题是： p是 q的充分不必要条件．
设 p : A {x | 2 x 10},q :B {x |1 m x 1 m,m 0}．
p是q的充分不必要条件，所以 A B．
m 0,
1 m 2,（两个等号不能同时取到）， m 9．
1 m 10.
20．（本小题满分 10分）
已知 p :关于 x 2的方程mx 1 m x m 0 没有实数根，q :对于任意的正实数 x , y，且满足
1 4
x y 1，m x y恒成立.若
p假q真，求实数m的取值范围.
解：假设 p、q均为真命题，则
m 0
p :1.当m 0时，x 0方程有解，不合题意，舍.2.当m 0 时， ,解得
1 m
2 4m2 0
m 1 1 1或m .所以 p为真时，m 1或m
3 3
q 1 4 4 x y 4x y: x y 5 9
2
,当且仅当 2y x ，即
y 2x 时，等号成立，
x y y x 3
∴m 9 ,
1
p q 1 m 1又 假 真,∴ 3 ,故 1 m .
m 9
3
21．（本小题满分 12分）
设集合 A a a x 2 y, x, y N ．
（1）证明：若m A，则m2 A：
（2）已知集合 B x 2 x t ，若 A B的子集共有8个，求 t的取值范围．
解：（1）设m x 2y， x， y N，
则m2 x2 2y2 2 2xy，因为 x， y N，所以 x2 2y2 N， 2xy N
所以m2 A
（2）因为 A B的子集共有8个元素，所以 A B恰有3个元素．因为 B x 2 x t ，
所以这三个元素分别为1 2，2 2，3，，又集合A中比3大的元素的最小值为 2 2，
所以 t的取值范围为 3,2 2 ．
22．（本小题满分 12分）
a a a
某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广： n aa 1 2 n1 2 an (a1,a2, an 0).小明由n
此得到启发，在求 x3 3x, x [0, )的最小值时，小明给出的解法是：
x3 3x x3 1 1 3x 2 33 x3 1 1 3x 2 3x 3x 2 2，当且仅当 x 1时，取到最小
值 2 .
（1）请你模仿小明的解法，研究 x4 4x, x [0, )上的最小值；
（2）求出当 a 0时， x3 ax, x [0, )的最小值.
解：（1）由 x 0，知 x4 4x x4 1 1 1 4x 3 44 x4 1 1 1 4x 3 4x 4x 3 3，
当且仅当 x 1时，取到最小值 3；
（2）由 a 0, x 0，知
x3 ax x3 a a a a ax 2a 3a 3 x3 a a a a ax 2a 3a ax ax 2a 3a 3 ；
3 3 3 3 9 3 3 3 3 9 9
a a a 3a 2a 3a
当且仅当 x3 时，取到最小值 ．
3 3 9 9
