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等比数列的概念及通项公式教学设计
课题 等比数列的概念及通项公式 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 等比数列是另一个常见的简单数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，给出等比中项的概念，进而研究图象，最后是通项公式的应用。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 等比数列的概念 2逻辑推理： 等比数列通项公式的推导 3数学运算： 等比数列通项公式的运用 4数学建模： 等比数列的函数特征 5直观想象： 等比数列与指数函数的关系 6数据分析： 学习等比数列的概念 ，同时探究等比数列通项公式的推导方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力
重点 等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式
难点 等比数列通项公式的推导和运用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。 1 看一看 纸的厚度的变化 提示： 折1次 折2次 折3次 折4次 … 折30次 厚度 2 4 8 16 … 2 想一想 你能折到30次吗？ 当折到30次时（纸的厚度为0.01毫米），估算纸的厚度。 提示： 30次后，纸厚度为 （米） 这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。 情景引入 大家动手操作，看能折多少次？ 目前，查到的，用工业上用的压轧机，最多就是13次。大家也可以自己去查阅资料。 通过让学生动手做小实验，激发兴趣 这种折纸的方式涉及到我们学过的哪些数学知识？ 指数 科学是需要想象的
讲授新课 等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 等比数列的概念 请看下面几个问题中的数列. 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： ； ① ； ② . ③ 2.《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 . ④ 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是 2，4，8，16，32，64，… ⑤ 4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 我们可以通过除法运算研究以上数列的取值规律. 如果用表示数列①，那么有 ，，…， . 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项比都等于9. 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律. 思考 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然） 即 注： (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3)任意一项 (4)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即 或 . 特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为非零常数列，非零常数列是特殊的等比数列． 例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，1+r . 等比中项 与等差数列类似，如果在a和b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时 . 注： (1) G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项． ，即等比中项有两个，且互为相反数． (2) 当时，G不一定是a与b的等比中项．例如 ，但0,0,5不是等比数列． 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列的公比为q，根据等比数列的定义，可得 . 所以 , , …… 由此可得 . 又，这就是说，当n=1时上式也成立. 因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为 等比数列与指数函数的关系 类似于等差数列与一次函数的关系， 由 可知， 当q>0 且 时，等比数列 的第n项 是指数函数 当x=n时的函数值， 即 （如图4.3-1所示）. 反之，任给指数函数 则 构成一个等比数列 ，其首项为 ，公比为a. 等比数列的单调性 由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下： （1）当 时，等比数列为递增数列； （2）当 时，等比数列为递减数列； （3）当ｑ＝１时，数列为常数列； （4）当ｑ＜０时，数列为摆动数列. 下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题. 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 分析：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q 的方程（组），进行求解. 解法1： 由 ，得 ②的两边分别除以①的两边，得 解得
把 代入①，得 此时 把 代入①，得 此时 因此，的第5项是24或-24. 解法2： 因为 是与的等比中项，所以 所以 因此，的第5项是24或-24 . 例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示 . 解：由题意，得 ②的两边分别除以①的两边，得 所以 注： 这个式子也称为等比数列通项公式的推广 例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列. 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解. 解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为 于是得 解方程组，得 或 所以这个数列是20，40，80，96，112 或180，120，80，16，-48 . 课堂练习： 1（教材P31T5改编）已知数列是等比数列，下列说法错误的是（） a3 , a5，a7成等比数列 a1 , a3，a9成等比数列 an , an+1，an+2成等比数列 n>3时，an-3 , an ，an+3成等比数列 答案：B 提示：在等比数列中，若m+n=2p，则 ， 即成等比数列，所以ACD正确，B错误. 拓展（等比数列的运算性质） 在等比数列中，若m+n=p+q（），则， 特别地，当 m+n=2k（ ）时， 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 2 （等比数列的通项公式） （1）在等比数列中， ，则项数n为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （2）已知等比数列为递增数列，且， ,则数列的通项公式_____. 解： (1)因为 , 所以，即 ， 解得n＝5. (2)由 由， 又数列递增，所以q=2. 所以数列的通项公式 . 答案： (1)C (2) 3（等比中项） （1）方程的两根的等比中项是 B. 1和4 C. 2和4 D. 2和 （2）若b是a，c的等比中项，则方程 的根的个数为____. 解： （1）答案：A 提示：由韦达定理可得方程的两根之积为4， 而 ，故方程的两根的等比中项是 . （2）答案：0 提示： 因为 b是a，c的等比中项，所以 所以，方程的判别式 ，故其根的个数为0. 4 （等比数列的判定与证明） 在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列. 证明： （法一 定义法） 因为 ，所以 . 又 因为 所以 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. （法二 等比中项法） 因为 ，所以 . 又 因为 所以 . 所以 即 成等比数列， 所以，数列是等比数列. 注：证明数列是等比数列常用的方法 定义法： 或 为等比数列 等比中项法： 古巴比伦人用60进制记数，这里转化为十进制 等比中项 1前提：三个数a，G，b 成等比数列. 2结论：G叫做a与b的等比中项. 3满足的关系式： 类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性. 公比且的等比数列的图象有什么特点？ 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 通过与等差数列进行类比，引导学生通过观察、分析、归纳出等比数列的定义。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 类比等差数列，得到等比中项的概念。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养 例题巩固
课堂小结 1等比数列的概念及通项公式 2等比中项 3等比数列与指数函数的关系 4 等比数列的单调性 递增数列递减数列常数列ｑ＝１摆动数列ｑ＜０
5等比数列的运算性质
板书 1等比数列的概念及通项公式 2等比中项 3等比数列与指数函数的关系 4 等比数列的单调性 5等比数列的运算性质 6 例题、课堂练习
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
4.3.1等比数列的概念及通项公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
新知导入
1 看一看 纸的厚度的变化
2 想一想 你能折到30次吗？
当折到30次时（纸的厚度为0.01毫米），估算纸的厚度。
提示：
折1次 折2次 折3次 折4次 … 折30次
厚度 2 4 8 16 …
提示：
30次后，纸厚度为 （米）
这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。
如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。
新知讲解
等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
思考
新知讲解
请看下面几个问题中的数列.
1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：
； ①
； ②
. ③
2.《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
. ④
新知讲解
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是
2，4，8，16，32，64，… ⑤
4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
新知讲解
探究
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
提示：通过除法运算研究以上数列的取值规律.
如果用表示数列①，那么有
，，…， .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项比都等于9.
其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.
新知讲解
等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（显然）
即
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
思考
新知讲解
注：
(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3) 任意一项
(4)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即或 .
特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为非零常数列，非零常数列是特殊的等比数列．
新知讲解
数列①~⑥的公比依次是 9，100，5，，2，1+r .
； ①
； ②
. ③
. ④
2，4，8，16，32，64，… ⑤
⑥
下面数列的公比是？
新知讲解
等比中项
如果在 a 和 b 中间插入一个数G，使 a，G，b 成等比数列，那么G叫做 a 与 b 的等比中项. 此时 .
注：
(1) G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项
，即等比中项有两个，且互为相反数．
(2) 当时，G不一定是a与b的等比中项．例如 ，但0,0,5不是等比数列．
合作探究
探究
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 q，根据等比数列的定义，可得
.
所以
,
,
……
由此可得
.
又，这就是说，当n=1时上式也成立.
新知讲解
首项为，公比为q 的等比数列的通项公式为
合作探究
等比数列与指数函数的关系
由 可知，
当q>0 且
时，
等比数列 的第 n 项
是指数函数 当x=n时的函数值，
即 （如图4.3-1所示）.
反之，任给指数函数
则
构成一个等比数列
其首项为
公比为a.
合作探究
等比数列的单调性
由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：
（1）当 时，等比数列为递增数列；
（2）当 时，等比数列为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列为摆动数列.
合作探究
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
分析：
等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q 的方程（组），进行求解.
解法1：
由 ，得
②的两边分别除以①的两边，得
解得
把
代入①，得
此时
把
代入①，得
此时
因此，的第5项是24或-24.
合作探究
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法2：
因为 是与的等比中项，所以
所以
因此，的第5项是24或-24 .
合作探究
例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示 .
解：
由题意，得
②的两边分别除以①的两边，得
所以
注：
这个式子也称为等比数列通项公式的推广
合作探究
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
分析：
先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解.
解：
设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为
于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112 或180，120，80，16，-48 .
课堂练习
1（教材P31T5改编）已知数列是等比数列，下列说法错误的是（ ）
a3 , a5，a7 成等比数列
a1 , a3，a9 成等比数列
an , an+1，an+2 成等比数列
n>3时，an-3 , an ，an+3 成等比数列
提示：
在等比数列中，若m+n=2p，则 ，
即 成等比数列，所以ACD正确，B错误.
答案：B
B
合作探究
拓展（等比数列的运算性质）
在等比数列中，若m+n=p+q（），则 ，
① 特别地，当 m+n=2k（）时，
② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即
课堂练习
2 （等比数列的通项公式）
（1）在等比数列中， ，则项数n为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（2）已知等比数列为递增数列，且， ,则数列的通项公式 _____.
解：
(1) 因为 ,
所以 ， 即 ，
解得 n＝5.
(2)由
由 ，
又数列递增，所以q=2.
所以数列的通项公式
C
课堂练习
3（等比中项）
（1）方程的两根的等比中项是 ( )
A. B. 1和4 C. 2和4 D. 2和
（2）若b是a，c的等比中项，则方程 的根的个数为____.
提示：
(1) 由韦达定理可得方程的两根之积为4，
而 ，故方程的两根的等比中项是 .
A
(2) 因为 b 是 a，c 的等比中项，所以
所以，方程的判别式 ，
故其根的个数为0.
0
课堂练习
4 （等比数列的判定与证明）
在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列.
证明：
（法一 定义法）
因为 ，所以 .
又 因为
所以
所以数列是首项为，公比为2的等比数列.
课堂练习
4 （等比数列的判定与证明）
在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列.
证明：
（法二 等比中项法）
因为 ，所以 .
又 因为
所以
所以
即 成等比数列，
所以，数列是等比数列.
注：证明数列是等比数列常用的方法
合作探究
定义法：
或
为等比数列
等比中项法：
课堂总结
1 等比数列的概念及通项公式
2 等比中项
3 等比数列与指数函数的关系
4 等比数列的单调性
递增数列
递减数列
常数列 ｑ＝１
摆动数列 ｑ＜０
5 等比数列的运算性质
板书设计
1 等比数列的概念及通项公式
2 等比中项
3 等比数列与指数函数的关系
4 等比数列的单调性
5 等比数列的运算性质
6 例题、课堂练习
作业布置
课本40页习题4.3
1、2
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