(共27张PPT)
4.3.1等比数列的性质及应用
（第2课时）
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
等比数列 等差数列
定义
公比（公差） q不可以是0 d可以是0
等比（差）中项 等比中项 等差中项 2A=a+b
通项公式
性质 若m+n=p+q
温故知新
新知导入
问题：
等比中项与等差中项的区别？
提示：
（1）只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项
（2）两个数 a, b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.
新知讲解
拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列，均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列 也为等比数列.
合作探究
例4 用10 000 元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
合作探究
解：
（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则是等比数列，
首项 ，
公比q=1+0.400% ，所以
所以，
12个月后的利息为（元）
合作探究
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列，则也是一个等比数列，
首项，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元.
解不等式，得
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
合作探究
例5 已知数列的首项 .
（1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；
（2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列.
分析：
根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.
合作探究
例5 已知数列的首项 .
（1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；
（2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列.
证明：
（1）由， d=2，得的通项公式为 .
设 ，
则
又
所以，是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5 已知数列的首项 .
（1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；
（2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列.
证明：
（2）由， ，得
两边取以3为底的对数，得
所以
又 24
所以，是首项为1，公差为-2的等差数列.
合作探究
思考
（1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？
（2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？
提示：
（1） 设 的首项为，公差为d，
则 .
, 则 ，
又因为，所以常数
故是首项为，公比为的等比数列.
合作探究
（2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？
思考
（2）设数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),则数列的各项分别为
提示：
对各项分别取以b为底的对数，得
即
这就形成首项是，公差是的等差数列.
合作探究
拓展
等比、等差数列的两个性质：
（1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是等比数列.
（2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列.
合作探究
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
分析：
设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各有不合格品的数量构成数列. 由题意可知，数列是等比数列，是等差数列。由于数列既非等差数列，又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
合作探究
解：
设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.
由题意，知
其中，n=1,2,…，24，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）
合作探究
n 1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
表 4.3-1
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，
所以只要设法证明当时，递减，且 即可.
由
得
所以，当时，递减，
又
所以，当时，
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100以内.
课堂练习
1（等比数列的性质）
(1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A． B． C． D．
(2)在等比数列，， ，则等于________．
解：
(1)设这n＋2个数为
且 ，，则
(2) 因为,
所以
又因为 , 所以
因为 ，所以q=2 .
所以
A
课堂练习
2 设是等比数列，且，，则
A．12 B．24 C．30 D．32
解：
是等比数列，且，
则 ，
即 q=2，
所以
D
课堂练习
3 在正项等比数列中，
则
解：
根据题意，正项等比数列中，
则
则
4 已知均为正项等比数列，分别为数列的前n项积，且则的值为____.
解：
数列均为正项等比数列，
设它们的公比分别为q，m，
分别为数列的前n项积，
因为
课堂练习
课堂练习
所以
，
解得
由
解得
所以
则
答案：
课堂练习
5 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．
设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
解：
等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以
则，
同理
故数列是首项，公比为的等比数列，
故
课堂总结
1 复习
2 拓展
3 例题
4 课堂练习
板书设计
1 温故知新
2 拓展
3 例4~6
4 课堂练习
作业布置
课本41页习题4.3
5、7（1）
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等比数列的性质及应用教学设计
课题 等比数列的性质及应用 单元 第一单元 学科 数学 年级 高二
教材分析 《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 数列是刻画离散现象的函数，作为重要的数学模型，具有承上启下的作用。数列的教学内容及过程为学生核心素养发展提供生长点，培养学生的数学思维。
教学 目标与 核心素养 1数学抽象： 等比数列的性质 2逻辑推理： 等比数列性质的推导 3数学运算： 等比数列性质的运用 4数学建模： 应用等比数列解决实际问题 5直观想象： 等比数列的性质及其与指数函数的关系 6数据分析： 等比数列的性质及推导、运用，提高学生数学判断以及参与数学活动的能力
重点 等比数列的性质、等比数列的应用
难点 等比数列的运算、等比数列的性质及应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 温故知新 等比数列等差数列定义公比（公差）q不可以是0d可以是0等比（差）中项等比中项 等差中项 2A=a+b通项公式 性质 若m+n=p+q
问题： 等比中项与等差中项的区别？ 提示： （1）只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 （2）两个数a,b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个. 复习导入 通过与等差数列进行对比，发展学生类比思维能力，加强记忆。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
讲授新课 拓展 1两个等比数列合成数列的性质 若数列，均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列也为等比数列. 例4 用10 000 元购买某个理财产品一年. 若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ 若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和 构成等比数列. 解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则是等比数列， 首项， 公比q=1+0.400% ，所以 所以， 12个月后的利息为（元） （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为1+r，于是 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元. 解不等式，得 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 例5 已知数列的首项 . （1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列； （2）若，公比为 ，证明数列为等差数列. 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明. 证明：（1）由， d=2，得的通项公式为 . 设 ，则 又 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列. （2）由， ，得 两边取以3为底的对数，得 所以 又 所以，是首项为1，公差为-2的等差数列. 思考 （1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？ （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 提示：（1） 设 的首项为，公差为d， 则 . , 则 ， 又因为，所以常数 故是首项为，公比为的等比数列. （2） 设数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),则数列的各项分别为 对各项分别取以b为底的对数，得 即 这就形成首项是，公差是的等差数列 拓展 等比、等差数列的两个性质： （1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是等比数列. （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各有不合格品的数量构成数列. 由题意可知，数列是等比数列，是等差数列。由于数列既非等差数列，又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 解： 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，. 由题意，知 其中，n=1,2,…，24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1） 表 4.3-1 n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 时，递减，且即可. 由 得 所以，当 时，递减 又 所以，当时， 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100以内. 课堂练习： 1（等比数列的性质） (1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( ) A． B． C． D． (2)在等比数列，， ，则等于________． 解： (1)设这n＋2个数为 且，，则 (2)因为, 所以 又因为 , 所以 因为 ，所以q=2 . 所以 答案: (1)A (2)256 2 设是等比数列，且，，则 A．12 B．24 C．30 D．32 解：是等比数列，且， 则，即q=2， 所以 故选：D 3 在正项等比数列中， 则 解：根据题意，正项等比数列中， 则 则 答案：10 4已知均为正项等比数列，分别为数列的前n项积，且则的值为____. 解：数列均为正项等比数列， 设它们的公比分别为q，m， 分别为数列的前n项积， 因为 所以 ， 解得 由 解得 所以 则 答案： 5 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推． 设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________. 解：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以 ，则，同理 故数列是首项，公比为的等比数列，故 答案： 为什么 ？ 运用等比数列的知识解决实际问题，发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养。 例题巩固 加深对等比、等差数列概念的理解，体会等差与等比数列的内在联系。 探究与等比、等差数列相关的性质 例题巩固 考查数列的通项公式的求法，数列的单调性的应用，提高学生转化思想以及计算能力
课堂小结 1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书 1温故知新 2拓展 3例4~6 4课堂练习
教学反思
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