沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题03：函数的基本性质（含答案）（Word含答案解析）

学习目标
1.函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大值或最小值。
2.理解函数的概念，能使用函数的记号表示，
3.会求函数值，
4.会求简单函数的定义域和值域。
5.理解函数运算意义，会求两个函数的和与积。
6.掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，
7.会求一些简单函数的最大值和最小值。
知识梳理
重点1
函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1⑵若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
重点2
函数的奇偶性
⑴偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，.
重点3
对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
重点4
判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
例题分析
例1．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
例2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
所以，即，
易知函数在上单调递减，所以，
即，解得或.
故选A.
跟踪练习
1．已知函数，，且，则下列结论中，一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．
D．
2．已知函数，且，，，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，且f(5)=7，则f(－5)的值是
A．－5 B．－7 C．5 D．7
4．设是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有实数之和为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为实数集，对，有成立，且，则
A．10 B．5 C．0 D．-5
6．函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知函数是奇函数．
（I）求m的值；
（II）若对任意，恒有，求实数a的取值范围．
8．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
9．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
10．已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．试卷第1页，总3页
试卷第1页，总12页
参考答案
1．D
【详解】
解：对于A，，，，因为，所以，
而函数在区间上是减函数，
故，与题设矛盾，所以A不正确；
对于B，，，，可设，，，
此时为最大值，与题设矛盾，故B不正确；
对于C，取，，同样为最大值，
与题设矛盾，故C不正确；
对于D，因为，且，说明可能如下情况成立
、位于函数的减区间，此时，可得，所以成立
、不在函数的减区间，则必有，所以，
化简整理，得成立．
综上所述，可得只有D正确
故选：．
2．D
【详解】
因为，所以定义域为且关于原点对称，
又因为，所以为偶函数；
当时，因为、均单调递增，所以在上也单调递增，
又因为，，，
所以，所以，所以，
故选：D.
3．A
【详解】
解：因为，令，则，即为奇函数，
又，所以，所以，所以，所以
故选：A
4．A
【详解】
因为函数是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，
所以当时，是也是单调函数，且函数的图象关于纵轴对称，
因此由或，
当时，可得，显然不是该方程的根，
该方程根的判别式为，所以该方程有两个不相等的实根，设为，
则有，
当时，可得，该方程根的判别式为，故该方程没有实数根，
综上所述：满足的所有实数之和为，
故选：A
5．D
【详解】
对，有，
所以，
所以函数的周期为，
所以，
对于
令可得，所以，
即，
故选：D.
6．A
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以．
故选：A
7．（I）；（II）．
【详解】
（I）因为函数的定义域为R，且是奇函数，所以，所以，
所以m的值为；
（II）由（I）得，所以函数是在R上的增函数，
所以不等式等价于，即，所以，
又，所以，所以，所以原不等式等价于恒成立，
令，则，所以，
令，所以在上单调递减，所以，
又，，所以，
所以实数a的取值范围为．
8．（1）；（2）
【详解】
（1）由题设知：，又均单调递减，
∴在上单调递减，故当时，，
∴大棚一天中保温时段的最低温度.
（2）由题意，且，
∴当时，由（1）知递减，故只要即可，则，
当时，，
当且仅当时等号成立，故只要即可，则，
若有，此时成立.
∴综上，在上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于，
大棚一天中保温时段通风量的最小值为
9．（1）；（2）分钟.
【详解】
（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
10．（1）；（2）.
【详解】
由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
（1）当，即时，在上单调递减，
，不合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，在的最大值为，
，解得：；
综上所述：.
（2）若对任意实数，总存在，使得，
则对恒成立，
①当时，在上单调递增，
，
当时，单调递增，
，；
②当，即时，在上单调递减，
，
当时，单调递减，
，；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，又，，
令，则在上单调递增，
，解得：；
④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.