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第03讲 反比例函数的应用
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（ ）21cnjy.com
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A．－10 B．－9 C．－6 D．－4
2．如图，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，延长BO交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC交x轴于点D，若，则△ABC面积为（ ）
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A． B． C． D．
3．如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（ ）
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A． B． C． D．
4．已知双曲线与直线交于，，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线 上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（ ）
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A．2 B． C．1 D．
6．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
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A．①② B．②③ C．②④ D．③④
7．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
8．如图，反比例函数交边长为10的等边OAB的两边于C、D两点，OC＝3BD，则k的值（ ）
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A． B． C．－ D．
9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则的值为（ ）
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A． B． C．或0 D．或4
10．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在图象上，下列说法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．当x1=x2< 2时，y1< y2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2 D．当y1=y2 > 1时，x1 > x22·1·c·n·j·y
11．如图，直线与双曲线交于点A．将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k的值是（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
12．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点的横坐标为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过（a，m+2），（b，m），则代数式的值是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．﹣ C．2 D．﹣3
14．如图，平面直角坐标系中，△ABC的边AC=BC=，AB=4 ，且AB⊥x轴于点A，反比例函数的图像经过点C，交AB于点D，当BD=BC时，则k的值等于（ ）21教育名师原创作品
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A．2 B．3 C．6 D．9
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
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A． B．4 C．6 D．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（ ）
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A． B．2 C．1 D．
17．如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为．将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上．若线段扫过的面积为9，则点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形面积为8，则k值为（ ）
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A． B． C． D．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ）
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A． B． C． D．
20．已知反比例函数经过点和点，则a的值为（ ）
A．2 B．5 C．10 D．
21．如图，△ABO的顶点A在函数（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MOBP的面积为5，则k的值为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．18
22．一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
23．在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（ ）
A．或 B．或
C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
25．如图，y＝x与y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于B，若OA＝3BC，S四边形OABC＝（ ）
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A．6 B． C．4 D．8
26．已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是（ ）
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A． B．是等腰直角三角形
C． D．当时，
27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数的图像经过中点E，与交于点F，将矩形沿直线翻折，点B恰好与点O重合，若矩形面积为，则点B坐标是（ ）
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A． B． C． D．
28．如图，的边在x轴上，顶点C在第一象限，顶点D在y轴的正半轴上．将四边形沿y轴翻折后，点B落在点处，点C落在函数图像上的点处，与相交于点E．若的面积为1，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
29．一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
30．如图，点在函数的图象上，轴于点，过线段的三等分点，分别作轴的平行线交于点，．若，则的值为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．18
第II卷（非选择题）
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二、填空题
31．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．
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32．如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___．
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33．如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为____．
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34．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为________．
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35．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为_____________．
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三、解答题
36．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC．21*cnjy*com
（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；
（2）若AB＝BC，求点A的坐标；
（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．
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37．如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝（k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．
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38．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，y与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？
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39．如图，正比例函数y＝kx的图像与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式．
（2）若CD＝6，求△ACD的面积．
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40．反比例函数的图象的一支位于第一象限．
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（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围；
（2）如图，若直线与该函数图像交于、两点，求此反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，的面积为8，动点在轴上运动，当线段与之差最大时，求点坐标．
41．如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且．21教育网
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标．
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42．小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．
（1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______；
①列表：如下表．
… …
… …
②描点：点已描出，如图所示．
③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象．
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（2）探究性质：观察函数图象，写出函数图象的两条性质：①______________；②______________；
（3）回答问题：
①该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______________；
②直接写出不等式的解集为___________
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴分别交于C、两点，且满足．www-2-1-cnjy-com
（1）求一次函数与反比例函数的表达式：
（2）设M是x轴上一点，当时，则点M的横坐标为 ．
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44．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，4），B（8，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
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45．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示：
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（1）分别写出水温上升和下降阶段与（）之间的函数表达式；
（2）嘉淇同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？
46．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x+6 与反比例函数的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B ，与y 轴交于点D ．21世纪教育网版权所有
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（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点M，交直线AB于点N，且点M在点A下方，连接BM．若 ，求n的值．
47．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为2．
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（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出关于的不等式的解集．
48．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A（）．B（）两点．
（1）求的值；
（2）连结OA，点P是函数上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．
（3）连结OB，求△AOB的面积．
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49．阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
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50．如图，等边△ABC的顶点A、B分别在双曲线y＝（k＜0）的两个分支上，且AB经过原点O，BD⊥x轴于点D，S△BOD＝2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若OD＝2，则点C的坐标为_______．
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51．如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
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52．如图，已知一次函数y1=kx－1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=的图象交于点C、D，CA=AB=BD，连接OC，OD，原点O在线段CD的垂直平分线上．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求k与m的值；
（2）如果函数y3=nx的图象经过点C，请直接写出当y153．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限交于点C．点P为直线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与双曲线交于点E，，连接，且轴．
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（1）求k的值；
（2）求的面积．
54．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．【版权所有：21教育】
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（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
55．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，将△OAB向右平移，得到△O'A'B'，O'B'交双曲线于点C （3a，a）．
（1）求k，a的值；
（2）求出△OAB向右平移到的距离；
（3）连接OB，BC，OC，求△OBC的面积．
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56．如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求的值及点的坐标；
（2）在平面内有点，使以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标．【出处：21教育名师】
57．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）判断是否在一次函数的图象上并说明原因．
58．如图，直线与双曲线相交于、两点，与y轴相交于点C．
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（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积．
59．已知反比例函数与正比例函数相交于．
（1）求值．
（2）画出反比例函数的图像．
（3）当时，直接写出的范围？
（4）根据图像，解不等式．
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60．如图，点，点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴，轴．
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（1）求反比例函数表达式；
（2）点P是直线下方反比例函数图象上一点，连结，若和面积相等，求点P的坐标．
61．电子体重科读数直观又 ( http: / / www.21cnjy.com )便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
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（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
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第03讲 反比例函数的应用
【提升训练】
一、单选题
1．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（ ）
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A．－10 B．－9 C．－6 D．－4
【答案】B
【分析】
先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t， t），则 A（ t，t），利用勾股定理表示出OA＝，OC＝，接着利用三角形面积公式得到××（t+t）＝15，解出t得到A（ ，2），进而可求出k的值．
【详解】
解：∵直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
设B（t， t），则 A（ t，t），
∴OA＝，
∴OC＝，
∵S△ABC＝15，
∴××（t+t）＝15，解得t＝，
∴A（ ，2），
把A（ ，2）代入y＝，得k＝ ×2＝ 9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质．2-1-c-n-j-y
2．如图，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，延长BO交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC交x轴于点D，若，则△ABC面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据B、C的对称性，只要求得△AOB的面积，即可求得△ABC的面积．
【详解】
解：如图：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，BG⊥x轴于G，
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∴AE∥CF，
∴△AED∽△CFD，
∴＝，
∵，
∴＝＝，
设AE＝a，则CF＝3a，
∴A（﹣，a），C（，﹣3a），
根据对称性可得点B（﹣，3a）．
∵S△AOB＝S△BOG＋S梯形ABGE﹣S△AOE＝S梯形ABGE，
∴S△AOB＝（a＋3a）（﹣＋）＝，
∴S△ABC＝2S△AOB＝，
故选：D．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
3．如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，连接AN，根据题意得出AC∥y轴，可知S△AOC=S△ABC，即可得出S矩形AMNC=S平行四边形ABCD，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出 ABCD的面积为k1k2．
【详解】
解：作轴于，轴于，连接，
则四边形AMNC是矩形，
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∵的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，
∴轴，
∴，
∴，
由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为，
∵，，
∴的面积为，
故选：D.
【点睛】
本题考查了解析式的性质，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握平行四边形的性质、反比例函数系数k=xy是解题的关键．
4．已知双曲线与直线交于，，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可．
【详解】
由题意得方程的两根分别为，，
∴+=，=，
∵
∴，
∴，
∴k、异号，
∵，
∴=，
∵，
∴＞0，
∵，
∴＞0，
∴，
∴，．
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点问题，一元二次方程根与系数关系定理，不等式思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线 上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（ ）
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A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
根据题意设出A点和D点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标，设OC长度为m，根据CE＝2BE，得出E点的坐标，再通过证△DEC∽△DFO，得出比例关系，进而求出FO的长度，利用面积公式求面积刚好能消掉未知数得出面积的具体数值．
【详解】
解：根据题意，设，，
设OC＝m，则，，
∴，，
∵CE＝2BE，
∴，
∴，
由题知BC∥FO，
∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数和矩形的知识，利用点的坐标表示出所求三角形面积是解题的关键．
6．在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
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A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】
根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】
解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数的图象问题； ( http: / / www.21cnjy.com )用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
7．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．
【详解】
解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，
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∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，
∴，，
∵CE⊥x轴，
∴，，
∵在矩形OABC中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点A坐标为，则点B坐标为，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点A坐标为，
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系．21世纪教育网版权所有
8．如图，反比例函数交边长为10的等边OAB的两边于C、D两点，OC＝3BD，则k的值（ ）
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A． B． C．－ D．
【答案】A
【分析】
过点C作CE⊥x轴于点E ( http: / / www.21cnjy.com )，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．
【详解】
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
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设BD=a，则OC=3a．
∵△AOB为边长为10的等边三角形，
∴∠COE=∠DBF=60°，OB=10．
在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，
∴∠OCE=30°，
∴OE=a，CE=a，
∴点C（-a，a）．
同理，可求出点D的坐标为．
∵反比例函数的图象恰好经过点C和点D，
∴．
∴a=2或a=0（舍去），
∴点C（-3，3）．
∴k=-3×3=-9，
故选：A．
【点睛】
h本题考查了反比例函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，找出点C、D的坐标是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，则的值为（ ）
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A． B． C．或0 D．或4
【答案】C
【分析】
求出点A坐标，然后分两种情况，分别画出相应的图形，根据三角形的面积比和相似三角形进行解答即可．
【详解】
解：∵点A（3，m）在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴m4，
∴A（3，4），
分两种情况进行解答，
（1）如图1，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，
∵S△AOB＝2S△BOC，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴BC＝AC，
又∵∠ACM＝∠BCO，∠BOC＝∠AMC＝90°
∴△ACM≌△BCO （AAS），
∴OB＝AM＝3，
∴B（﹣3，0），
把A（3，4），B（﹣3，0）代入y＝kx+b得，
，
解得k，b＝2，
∴k+b2；
（2）如图2，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵S△AOB＝2S△BOC，
∴，
∵∠BOC＝∠ANB＝90°，∠OBC＝∠NBA，
∴△BOC∽△BNA，
∴，
即，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
把A（3，4），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得，
，
解得，k＝2，b＝﹣2，
∴k+b＝2﹣2＝0，
因此k+b的值为或0，
故选：C．
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【点睛】
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
．
10．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在图象上，下列说法正确的是（ ）
A．当x1=x2< 2时，y1< y ( http: / / www.21cnjy.com )2 B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2 D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2
【答案】D
【分析】
求出点P的坐标为（2，1），在图象上作出直线x=2和y=1，利用数形结合的方法，逐次求解即可．
【详解】
解：将点P的坐标代入反比例函数表达式得：m==1，
故点P的坐标为（2，1），如图：在图象上作出直线x=2和y=1，
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当x1=x2＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且直线直线x=2的左侧，
当x＜2时，此时y1、y2的大小，不确定，故A错误；
当x1=x2＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且在x=2的右侧，
从图象看，在x＞2时，y1＞y2，故B错误，不符合题意；
当y1=y2＜1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的下方，
此时x1、x2的大小，不确定，故C错误；
当y1=y2＞1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的上方，
此时x1＞x2，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，数形结合和确定直线x=2、y=1是本题解题的关键．
11．如图，直线与双曲线交于点A．将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k的值是（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先证明△AOD∽△BCE，得到AD=3BE，根据直线OA的解析式点A的坐标为（a，a），求得点B的坐标为为（3a，a），代入平移后的解析式即可求得a的值，进一步即可求得k的值．
【详解】
解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则∠ADO=∠BEC=90°，
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∵OA∥BC，
∴∠AOD=∠BCE，
∴△AOD∽△BCE，
∴AD：BE=OA：CB，
∵OA=3BC，
∴AD=3BE，
设点A的坐标为（a，a），
∵直线y=x与双曲线交于点A．
∴k=a×a=a2，
∴，
∵AD=3BE，
∴B的纵坐标为a，
∴点B为（3a，a），
直线y=x向右平移个单位后，得到y=（x-），
把B的坐标代入得，a=（3a-），
∴a=，
∴A（，），
∴k=×=，
故选：D．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题， ( http: / / www.21cnjy.com )考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形相似的判定和性质，表示出A、B两点的坐标是解题的关键．
12．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点的横坐标为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据交点坐标的横坐标，可得正比例函数的函数值，可得交点的坐标，根据交点的坐标，运用待定系数法可得反比例函数的k值．
【详解】
解：∵正比例函数y=-2x与反比例函数图象的一个交点的横坐标为-1，
∴当x=-1时，y=-2x=-2×（-1）=2，
∴交点坐标是（-1，2），
∵反比例函数图象过交点，
∴k=-1×2=-2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，先由交点的横坐标求出交点的纵坐标，再由待定系数法，求出答案．
13．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过（a，m+2），（b，m），则代数式的值是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣3
【答案】A
【分析】
根据题意得到，从而得到，进一步得到a﹣b＝﹣2ab，代入变形后的代数式即可求得．
【详解】
解：∵反比例函数y＝的图象经过两点
∴
∴，
∴＝2，
∴a﹣b＝﹣2ab，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
14．如图，平面直角坐标系中，△ABC的边AC=BC=，AB=4 ，且AB⊥x轴于点A，反比例函数的图像经过点C，交AB于点D，当BD=BC时，则k的值等于（ ）
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A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】
过C作CE⊥AB于E，由AC=BC，可得BE=AE=，在Rt△CEA中，由勾股定理,设C点横坐标为x，点C（x，2），由BC=BD=2.5，可得AD=4-BD=1.5,可求点D（x+1.5，1.5）,由点C、D在反比例函数图像上可得,解得即可．
【详解】
解:过C作CE⊥AB于E，
∵AC=BC，
∴BE=AE=，
在Rt△CEA中，由勾股定理，
设C点横坐标为x，则点C（x，2），
∵BC=BD=2.5，
∴AD=4-BD=1.5，
∴点D（x+1.5，1.5），
∵点C、D在反比例函数图像上，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
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【点睛】
本题考查反比例函数解析式，等腰三角形的性质，一元一次方程，掌握反比例函数解析式，等腰三角形的性质，一元一次方程解法是解题关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
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A． B．4 C．6 D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【详解】
解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
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∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB∥OC，OA＝BC，
∴ BE⊥y轴，
∴ OE＝BD，
∴ Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，＝5，，
∴ 四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质，正确作图，求出矩形BDOE和三角形AOE的面积是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（ ）
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A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】
根据直线与函数有交点，解方程组求解交点坐标，再使用待定系数法求出k．
【详解】
解：与相交，
∴k＞0，设A坐标为 ，B坐标为，
代入得
∴
∴（舍去）或，
故答案选：D
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
17．如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为．将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上．若线段扫过的面积为9，则点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据平移的性质、反比例函数的解析式可得点的坐标，从而可得平移的长度，再根据“线段扫过的面积为9”可求出点的坐标，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为，
将代入函数得：，即，
将沿轴向右平移个单位长度得到，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
线段扫过的图形为平行四边形，且它的面积为9，
，即，
解得，
则点的坐标为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何综合、平移的性质、平行四边形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形面积为8，则k值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点A作，设，，根据菱形的面积得到AB的长度，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点A作，
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∵A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，
∴设，，
∴，，
∵菱形面积为8，
∴，解得，
∴，
在中，，
即，解得，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出CE的长度，过点B作BF垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标．
【详解】
设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图：
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∵点C在函数的图象上，且AC⊥x轴，
∴C的坐标为，
∴EC=k，
∵BF⊥x轴，CE⊥x轴，
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴ ,
∴，
即,
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式：
当时，，
∴B点的横坐标是2，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标．
20．已知反比例函数经过点和点，则a的值为（ ）
A．2 B．5 C．10 D．
【答案】C
【分析】
根据k=xy即可得到关于a的方程，解方程即可求得．
【详解】
：∵反比例函数经过点（2，5）和点（1，a），
∴k=2×5=a，
解得：a=10．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．21教育网
21．如图，△ABO的顶点A在函数（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MOBP的面积为5，则k的值为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【分析】
根据已知条件，证明，得到，推出，又根据函数图象上点的几何意义， 知道，从而推得值．
【详解】
解：∵M、N 为 AO边的三等分点，且,
∴
在中：
∴
又∵四边形MOBP的面积为5
即
∴
又∵A在函数（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°
∴
∴
∵函数图象在第一象限
∴
∴
故选：
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的几何意义，以及相似三角形的相关判定和性质，根据图形进行数形结合是解题关键．21*cnjy*com
22．一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】
先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．
【详解】
解：∵两函数图象交于点，点
∴ ，，解得：，k2=2
∴，
画出函数图象如下图：
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由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1．
故填D．
【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
23．在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：设点的坐标为，则，
，
，
，
解得或，
经检验，或均为所列方程的根，
（1）当时，，
则的面积为；
（2）当时，，
则的面积为；
综上，的面积为或，
故选：B．
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【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数的综合、解一元二次方程，正确求出点的坐标是解题关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意易得，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得，求解x，进而可得点，则，最后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵点的横坐标为5，
∴点，，
∵，
∴设DE=x，BE=2x，则，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴点，
∴，
解得：；
故选A．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何的综合是解题的关键．
25．如图，y＝x与y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于B，若OA＝3BC，S四边形OABC＝（ ）
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A．6 B． C．4 D．8
【答案】D
【分析】
过点作轴的垂线，交直线于点，先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再设点坐标为，点坐标为，从而可得，然后根据得出，将点的坐标代入反比例函数的解析式可求出，最后根据即可得．
【详解】
解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
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则，
由直线平移的性质得：，且直线的解析式为，
四边形都是平行四边形，
，
，
，
设点坐标为，点坐标为，则，
由得：，解得，
，
将点代入得：，
解得或（舍去），
，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合、平行四边形的性质与面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
26．已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是（ ）
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A． B．是等腰直角三角形
C． D．当时，
【答案】D
【分析】
把代入，即可判断A选项，把代入，即可判断C，求出A，B点的坐标，即可判断B选项，根据函数图像，即可判断D．
【详解】
解：∵直线与双曲线在第一象限交于点，
∴，即：，故A正确，不符合题意，
把代入得：，解得：k=1，故C正确，不符合题意，
在中，令x=0，则，令y1=0，则x=-1，
∴A(-1，0)，B(0，1)，即：OA=OB，
∴是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意，
由函数图像可知：当时，，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的图像和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数的图像经过中点E，与交于点F，将矩形沿直线翻折，点B恰好与点O重合，若矩形面积为，则点B坐标是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接OF，设点B坐标为（a，b）则点E坐标为（，），可用含a，b的式子表示k，点F纵坐标与点B纵坐标相同，则可以用含a，b式子表示出点F坐标，由翻折可得FO=BF，联立两点距离公式可求a，b的值．
【详解】
解：连接OF，设点B坐标为（a，b），则ab=10①，
∵点E为OB中点，
∴点E坐标为（，），
∴k= ===，y=，
yB=yF=b，
将y=b代入y=得x=，
∴点F坐标为（，b），
由翻折可得FB=FO，
∴a-=②，
联立方程①②解得b=或b=-（舍），
∴a==2．
经检验，a=2，b=是方程组的解，
∴点B坐标为（2，）．
故选：D．
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【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题关键是通过设参数表示出B的坐标．
28．如图，的边在x轴上，顶点C在第一象限，顶点D在y轴的正半轴上．将四边形沿y轴翻折后，点B落在点处，点C落在函数图像上的点处，与相交于点E．若的面积为1，则k的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作EF⊥AB于F点，连接OC＇，可知EA与EB＇关于EF对称，得到，且AF=FB＇=OB＇=O B= ，再由EF∥DO，得△AEF∽△ADO，再得到，设AF=x，EF=y，由三角形的面积公式得到xy=1，得到C＇的坐标为（-4x，3y），从而求出k的值．
【详解】
作EF⊥AB于F点，连接OC＇，可知EA与EB＇关于EF对称，
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故
且AF=FB＇=OB＇=O B=
∴AO=3AF，
由EF∥DO
得△AEF∽△ADO
∴= ，
∴
设AF=x，EF=y，
即xy=1，
AB=CD=C＇D=4AF=4x，
OD=3EF=3y
C＇的坐标为（-4x，3y）
∴k＝-12xy=-12，
故选：A
【点睛】
本题考查了翻折问题，求反比列函数的解析式 ( http: / / www.21cnjy.com )，以及反比列函数与平行四边形结合，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用数形结合思想解决问题．
29．一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．
【详解】
∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴B(-n，0)，
∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴或，解得：n=-2或n=1或无解，
∴m=2或-1（舍去），
故选B．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
30．如图，点在函数的图象上，轴于点，过线段的三等分点，分别作轴的平行线交于点，．若，则的值为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【分析】
易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】
解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴，
∴，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴，
∴S△ANQ=1，
∵，
∴S△AOB=9，
∴k=2S△AOB=18，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．
二、填空题
31．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．
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【答案】
【分析】
先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知．
【详解】
解：∵OA=OB，ON=OM，
∴四边形AMBN是平行四边形，
∵S四边形AMBN＝1，
∴S△ABM＝，
设点A的坐标为（x，y），
∴B的坐标为（ x， y），
∴×2x×y＝，
∴xy＝，
∴k＝xy＝．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键．
32．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ___．
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【答案】9．
【分析】
过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y ( http: / / www.21cnjy.com )轴于F，则∠EBF＝90°，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到 BE＝BF，AE＝CF，从而证得四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，则AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，由 m﹣1＝5﹣m，求得m的值，求得B的坐标，即可得出结论．
【详解】
过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE＝BF，AE＝CF，
∴四边形OEBF是正方形，
设正方形OEBF的边长为m，
∵点A(1，0)，点C(0，5)，
∴OA＝1，OC＝5，
∴AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，
∴m﹣1＝5﹣m，
∴m＝3，
∴B(3，3)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝3×3＝9，
故答案为9．
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【点睛】
本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
33．如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为____．
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【答案】﹣3．
【分析】
如图连接OB、OC，作 于点E， 于点F．根据OA//BC，得到 ，根据已知条件得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图连接OB，OC，CF⊥y轴于F，过作轴于
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∵OA∥BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵，
∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，
∵S△OBE＝
∴
轴，轴，
∵△BEP∽△CFP，
∴
∴S△OCF＝，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次图数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．www-2-1-cnjy-com
34．如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为________．
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【答案】
【分析】
根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解答本题．
【详解】
解：设正方形ABCD的边长为y
∴ ，
∵反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为，
∴点E的坐标为，
∴点E的坐标为
∵A、E在反比例函数的图象上
∴
∴
∴（舍去）
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答．21cnjy.com
35．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为_____________．
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【答案】8.
【分析】
过点A作AE⊥x交x轴于E，过点B作BF⊥x交x轴于F，根据AB=BC，可以得到EF=FC，再根据三角形面积公式即可求解.
【详解】
解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F
∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC
∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）
设A点坐标为（，），则B点坐标为（，）
∵OC=OE+EF+FC
∴OC=OE+EF+FC=3a
∴
解得
故答案为：8.
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【点睛】
本题主要考查了中位线定理，反比例函数的性质和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练运用相关知识进行求解.【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
36．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；
（2）若AB＝BC，求点A的坐标；
（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．
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【答案】（1）；（2）点A（ 2，）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解
【分析】
（1）点P（ 1，0）则点A（ 1，1），点B（ 1，4），点C（ ，4），S△ABC＝BC×AB，即可求解；
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），AB＝BC，即：-()＝ t，即可求解；
（3）由S△OAC＝S梯形AMNC＝（ t）（＋）＝，即可得到结论．
【详解】
解：（1）点P（ 1，0），则点A（ 1，1），点B（ 1，4），点C（ ，4），
∴S△ABC＝BC×AB＝×（ ＋1）×（4 1）＝；
（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），
∵AB＝BC，
∴-()＝ t，解得：t＝±2（舍去2），
∴点A（ 2，）；
（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，
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则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），
∴S△OAC＝S梯形AMNC＝（ t）（＋）＝，
∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解．
37．如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝（k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．
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【答案】(1) ，；(2) .
【分析】
(1)根据题意可以知道，根据A点的坐标为（m，3），可知，，即，求出m值，再把A点坐标代入反比例函数解析式中求出k即可；
(2)设直线AB的解析式为，根据(1)得到的m值，由勾股定理算出OA的长，从而得到B点坐标，然后根据一次函数经过A、B两点，求出解析式即可
【详解】
解：(1)∵直线l⊥y轴，垂足为M
∴AM⊥OM
∴
∵A点的坐标为（m，3）
∴，
∴
解得
∴A点的坐标为（4，3）
∵A点在反比例函数上
∴
解得；
(2) 设直线AB的解析式为
由(1)得A点的坐标为（4，3）
即，
∴
∵B在x正半轴上，且OB=OA
∴OB=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴直线AB的解析式为.
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合的相关应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
38．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，y与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）依据人的生理数据显示，当时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？【版权所有：21教育】
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【答案】（1）（2）2.0125小时
【分析】
1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
（2）根据题意得出y=80时x的值进而得出答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，
则150=1.5k，
解得：k=100，
故y=100x，
当1.5≤x时，设函数关系式为：
则a=150×1.5=225，
解得：a=225，
故
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：
（2）当y=80时，80=100x，解得x=0.8，
当y=80时，，解得x=2.8125，
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间=2.8125-0.8=2.0125（小时）
【点睛】
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题．
39．如图，正比例函数y＝kx的图像与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式．
（2）若CD＝6，求△ACD的面积．
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【答案】（1）a=2，y=2x；（2）6
【分析】
（1）把点坐标代入反比例函数中即可得，再用待定系数法可求正比例函数的表达式；
（2）设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，则，可解得，故可得的高为2，最后利用求面积．
【详解】
解：（1）把点坐标代入反比例函数中，得，
．
点坐标为，
再把代入正比例函数的表达式中，得，
，
则正比例函数表达式为．
（2）设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为．
，
即，解得：，（不合题意，舍去）．
即，
则点到的距离为，
故．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，三角形面积计算，利用CD=6建立等量关系是解题关键．
40．反比例函数的图象的一支位于第一象限．
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（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围；
（2）如图，若直线与该函数图像交于、两点，求此反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，的面积为8，动点在轴上运动，当线段与之差最大时，求点坐标．
【答案】（1）第三象限，；（2）；（3）点坐标为
【分析】
（1）根据反比例函数的对称性及图象 ( http: / / www.21cnjy.com )特点可得解答；
（2）把A点坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可得到解答；
（3）由△AOB 的面积为8可以得到B点坐标，从而得到直线AB的解析式，再根据P、A、B三点共线时 PA与PB的差最大可以得到P点坐标．
【详解】
解：（1）由题意得：反比例函数图象的另一支在第三象限．
由题意，
∴．
（2）∵在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：．
（3）如图，过点，分别作轴，轴，
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设，
∵，都在反比例函数图像上，
∴，
∴，
∴，（舍），
∴，
又∵，
∴直线的解析式为：，
当，，三点共线时，与之差最大．
在中，令，得，
此时点坐标为．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，熟练掌握反比例函数的性质及解析式的求法、一次函数解析式的求法、直线所围面积的求法是解题关键．
41．如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标．
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【答案】（1）；（2）（0，14）或（0，-2）
【分析】
（1）根据矩形的性质和勾股定理得出，再结合得出CF的长，设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），再根据E，F两点在反比例函数的图象上列出方程，解出a的值即可得出反比例函数的解析式；
（2）设P点坐标为（0，y），根据得出，从而确定点P的坐标；
【详解】
解：（1）矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E为AD的中点，
∴AD=BC=8，CD=AB=3，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE=4，
∴
∵，
∴CF=6，
设E点坐标为（-4，a），则F点坐标为（-6，a-3），
∵E，F两点在反比例函数的图象上；
∴-4a=-6（a-3），解得a=9，
∴E（-4，9），
∴k=-4×9=-36，．
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵a=9，∴C（0，6），
∵，
∴，
∵点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∴PC=|6-y|
∴
∴y=14或-2；
∴点P的坐标为（0，14）或（0，-2）
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
42．小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．
（1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______；
①列表：如下表．
… …
… …
②描点：点已描出，如图所示．
③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象．
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（2）探究性质：观察函数图象，写出函数图象的两条性质：①______________；②______________；
（3）回答问题：
①该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______________；
②直接写出不等式的解集为___________
【答案】（1），图见解析；（2）①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小；②该函数的图象关于点成中心对称；（3）①向右平移个单位，向上平移个单位；②或
【分析】
（1）根据分母不为零即可，根据画函数图象的步骤画图象；
（2）根据图象结合函数的增减性和对称性来解答即可；
（3）①结合图象以及平移的性质即可判断，②结合画出的函数≥-3图象即可得出结论．
【详解】
解：（1）自变量的取值范围是，即；
③函数图像如下图所示，
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（2）①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小；
②该函数的图象关于点成中心对称
（3）①将的图象往右平移个单位，向上平移个单位得到的图像；
②结合函数图象，不等式≥-3的解集为：或
【点睛】
此题考查了反比例函数的图象和性质问题，涉及的知识有：自变量的取值范围、画图象、增减性，熟练掌握数形结合的思想是解本题的关键．
43．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴分别交于C、两点，且满足．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式：
（2）设M是x轴上一点，当时，则点M的横坐标为 ．
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【答案】（1），；（2）或
【分析】
（1）将点代入求出一次函数解析式，过点A作轴，则，利用三角形中位线的判定与性质求出A的坐标，即可求解；
（2）分情况讨论：①当M在x轴负半轴时，②当M在x轴正半轴时，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】
解：将点代入，解得，
∴一次函数解析式为，
∴，
过点A作轴，则，
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∵，
∴CO为△ADE的中位线，
∴，，
∴，
∴，即反比例函数解析式为；
（2）由（1）可得，
∴，
∴，
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①当M在x轴负半轴时，
∵，，
∴，
∴，
∴点；
②当M在x轴正半轴时，与关于原点对称，
∴，
综上所述，M的横坐标为或．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
44．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（2，4），B（8，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
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【答案】（1），；（2）15
【分析】
（1）根据反比例函数的图象过点A（2，4），利用待定系数法求出m，进而得出B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）过点A作AD⊥x轴于D ( http: / / www.21cnjy.com )，过点B作BE⊥x轴于E，设直线y1=kx+b与x轴交于C，求出C点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC，列式计算即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数（）过点A（2，4），
∴ ，
∴为所求的反比例函数解析式 ，
∵反比例函数过点B（8，n），
∴n＝1，
∴ B（8，1），
∵直线y1＝kx＋b（k≠0） 过点A（2，4）和B（8，1），
∴ ，
解得，
∴为所求的一次函数解析式．
（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，设直线y1=kx+b与x轴交于C，
∵A（2，4），B（8，1），
∴AD＝4，BE＝1，
∵直线与x轴交与点C，
∴ ，
∴x＝10 ，
∴C（10，0），
∴OC＝10，
∴， ，
∴．
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【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解 ( http: / / www.21cnjy.com )析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△AOC﹣S△BOC是解题的关键．
45．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示：
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（1）分别写出水温上升和下降阶段与（）之间的函数表达式；
（2）嘉淇同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（1）根据（2）中的函数解析式，当时分别求出x的值，相减即可；
【详解】
解：（1）观察图象，可知：当时，水温，
当时，设关于的函数关系式为：，
，得
即当时，关于的函数关系式为；
当时，设，，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
与的函数关系式为：
关于的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
，，
嘉淇同学想喝高于的水，她最多需要等待；
【点睛】
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．【来源：21cnj*y.co*m】
46．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x+6 与反比例函数的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B ，与y 轴交于点D ．
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（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点M，交直线AB于点N，且点M在点A下方，连接BM．若 ，求n的值．
【答案】（1）m=8，y=；（2）n=7．
【分析】
（1）把点A(1，m)坐标代入直线y=2x+6即可求出m=8，把A(1，8)代入反比例函数y=即可求出k，问题得解；
（2）先分别求出点B、D坐标，进而求出△BOD面积，根据题意用含n的式子表示出点M、N坐标，根据0＜n＜8，，得到关于n的方程，解方程，舍去不合题意的解即可．
【详解】
解：（1）根据题意把A（1，m）代入y=2x+6 中得m=2+6=8，
所以A(1，8)，
把A(1，8)代入反比例函数y=中，得k=8．
所以反比例函数的表达式y=；
（2）把y=0代入y=2x+6，得2x+6=0，
解得x=-3，
∴点B坐标为（-3，0），
把x=0代入y=2x+6得y=6，
∴点D坐标为（0，6），
∴S△BOD=×3×6=9
由题意得过点P（0，n）平行于x轴的直线交反比例函y=于点M（，n），
交直线y=2x+6于点N（，n），
∵0＜n＜8，，
∴
整理得n2-6n-7=0
解得n=7，n=-1，
经检验n=7，n=-1都是原分式方程的解，其中n=-1不合题意，舍去，
∴n=7．
【点睛】
本题为一次函数与反比例函数综合题，理解函数图象上点的意义、根据题意构造方程是解题的关键．
47．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为2．
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（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）10；（2）；（3）或．
【分析】
（1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可得；
（2）如图（见解析），先求出点的坐标，再根据的面积等于的面积与的面积之和即可得；
（3）根据点的坐标，利用函数图象法即可得．
【详解】
解：（1）对于一次函数，
当时，，即，
将点代入得：；
（2）如图，设直线与轴的交点为点，过点作轴于点，过点作轴于点，
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由（1）可知，反比例函数的解析式为，
联立，解得或，
则，
对于一次函数，
当时，，即，
，
，
则的面积为，
，
；
（3）不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，
结合函数图象得：不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法、函数图象法是解题关键．
48．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A（）．B（）两点．
（1）求的值；
（2）连结OA，点P是函数上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．
（3）连结OB，求△AOB的面积．
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【答案】（1）a ＝ 2；b ＝ －1；k＝2；（2）点P的坐标（2，1），（－1，－2），（－2，－1）；（3）21*cnjy*com
【分析】
（1）将点A（1，a），B（）代入y=x+1，求出a，b的值，得到A，B点坐标，再把A点坐标代入，求出k的值；
（2）设点P的坐标为（x，），根据OP=OA列出方程x2+（）2=12+22，解方程即可；
（3）求出直线与y轴的交点C，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝x＋1经过点A（1，a），B（）
∴，
∴A（1，2），B（－2，－1）
∵函数的图象经过点A（1，2），
∴；
（2）由（1）知，，
如图，
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设点P的坐标为（x，），
∵OP=OA，
∴x2+（）2=12+22，
化简整理，得x4-5x2+4=0，
解得x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2，
经检验，x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2都是原方程的根，
∵点P与点A不重合，
∴x=-1或x=2或x=-2
∴点P的坐标（2，1），（－1，－2），（－2，－1）．
（3）设y＝x＋1与y轴交于点C，
∴C（0，1）
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×｜OC｜×|xA|＋×｜OC｜×|xB|
＝×1×1＋×1×2
＝
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出k的值是解题的关键．
49．阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．2·1·c·n·j·y
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
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【答案】（1）①12；②或；（2）
【分析】
（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；21·cn·jy·com
（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点A、B的“相关矩形”如图所示，
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∴点A、B的“相关矩形”周长=
故答案为：12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且
∴点C的坐标为或
设直线AC的解析式为，
将，代入解得，
∴
将，代入解得，
∴
∴符合题意得直线AC的解析式为或．
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（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数的图象经过（3，-2）时，k=-6，
当函数的图象经过（6，-4）时，k=-24，
∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：
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【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．
50．如图，等边△ABC的顶点A、B分别在双曲线y＝（k＜0）的两个分支上，且AB经过原点O，BD⊥x轴于点D，S△BOD＝2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若OD＝2，则点C的坐标为_______．
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【答案】（1）y＝﹣；（2）（2，2）．
【分析】
（1）利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，求出k得到反比例函数解析式；
（2）连接OC，过C点CE⊥x轴于E，如图，利用三角形面积公式计算出BD＝2，则可判断△ODB为等腰直角三角形，所以∠BOD＝45°，OB＝2，利用反比例函数的性质和等边三角形的性质得到OC⊥AB，∠OBC＝60°，OC＝2，则∠COE＝45°，然后计算出OE和CE得到C点坐标．
【详解】
解：（1）∵BD⊥x轴，S△BOD＝2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）连接OC，过C点CE⊥x轴于E，如图，
∵S△BOD＝2，
∴BD×2＝2，解得BD＝2，
∴△ODB为等腰直角三角形，
∴∠BOD＝45°，OB＝OD＝2，
∵AB经过原点O，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OBC＝60°，
∴OC＝OB＝2，∠COE＝45°
在Rt△OCE中，OE＝CE＝OC＝×2＝2，
∴C点坐标为（2，2）．
故答案为（2，2）．
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【点睛】
此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质．
51．如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
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【答案】（1）3；（2）
【分析】
（1）将代入，故其中交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数的图象向下平移4个单位得到，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）将代入，
交点的坐标为，
将代入，
解得：；
（2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，
由，
解得：或，
，，
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强．
52．如图，已知一次函数y1=kx－1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=的图象交于点C、D，CA=AB=BD，连接OC，OD，原点O在线段CD的垂直平分线上．
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（1）求k与m的值；
（2）如果函数y3=nx的图象经过点C，请直接写出当y1【答案】（1）k=1，m=2；（2）-2＜x＜-1
【分析】
（1）作OM⊥CD于M，根据线段垂直平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质得出CM=DM，进而得出AM=BM，从而得出OB=OA=1，则A（1，0），通过证得三角形相似求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k、m的值；
（2）求得D的坐标，根据正比例函数和反比例函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的中心对称性求得函数y3=nx的图象与反比例函数的图象的另一个交点，然后根据图象即可求得当y1＜y2＜y3时x的取值范围．
【详解】
解：（1）作OM⊥CD于M，
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∵点O在线段CD的垂直平分线上，
∴CM=DM，
∵CA=BD，
∴AM=BM，
∴OB=OA，
∵一次函数y1=kx-1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴B（0，-1），
∴OA=OB=1，
∴A（1，0），
代入y=kx-1得，0=k-1，
∴k=1，
∴一次函数为y1=x-1，
∵OA=OB=1，
∴△AOB=×1×1=，
∵AB=AC，
∴S△AOC=S△AOB=，
作CH⊥x轴于H，
∴CH∥y轴，
∴△CAH∽△BAO，
∴，
∴S△CAH=S△AOB=，
∴S△COH=|m|=1，
∵m＞0，
∴m=2；
（2）∵△CAH∽△BAO，
∴，
∴AH=OA=1，CH=OB=1，
∴C（2，1），
作DG⊥x轴于G，
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∵AB=BD，
∴DG=2OB=2，OG=OA=1，
∴D（-1，-2），
∵函数y3=nx的图象经过点C，
∴函数y3=nx的图象与反比例函数图象的另一个交点为（-2，-1），
由图象可知，当y1＜y2＜y3时x的取值范围是-2＜x＜-1．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点问题，考查了线段垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，待定系数法求合适的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
53．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限交于点C．点P为直线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与双曲线交于点E，，连接，且轴．
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（1）求k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）．（2）1
【分析】
（1）根据一次函数解析式求出点B坐标，设，根据轴，，可求出m的值，即可求出点E坐标，代入即可求出k的值；
（2）根据（1）中数据可求得点P的坐标，然后根据一次函数和反比例函数解析式求出交点坐标C，根据三角形面积公式即可计算的面积．
【详解】
解：（1）令，则，
，
设，
轴，，
．
轴，
，
，
．
，
；
（2）由（1）中可得点P坐标为，
联立，得，，
，
，PE边上的高为1，
．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数图像综合问题，根据图像及解析式求出图中各点的坐标是解题关键．
54．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．
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（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）b=2，k=6；（2）6
【分析】
（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，把代入得：b=2，由，得，进而即可求解；
（2）根据三角形的面积公式，直接求解即可．
【详解】
解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，
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把代入得：，解得：b=2，
∴，
令x=0代入，得y=2，即B(0，2)，
∴OB=2，
∵，OB∥CD，
∴，
∴，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D(2，3)，
∴，解得：k=6；
（2）的面积=．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数图像点的特征，是解题关键．
55．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，将△OAB向右平移，得到△O'A'B'，O'B'交双曲线于点C （3a，a）．
（1）求k，a的值；
（2）求出△OAB向右平移到的距离；
（3）连接OB，BC，OC，求△OBC的面积．
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【答案】（1），；（2）△OAB向右平移4.5个单位长度得到；（3）
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解k的值，然后再把点C代入进行求解即可；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由（1）可得CD=2，进而可得点D为的中点，然后问题可求解；
（3）由（1）及题意易得，然后根据梯形的面积公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵点B坐标是（3，4），BA⊥x轴于点A，点B在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∵O'B'交双曲线于点C （3a，a），
∴，解得：，
∵x＞0，
∴；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：
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由（1）可得：点，
∴OD=6，CD=2，
由平移的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△OAB向右平移4.5个单位长度得到；
（3）如（2）图，
∵，由反比例函数k的几何意义可得，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查反比例函数k的几何意义及与几何的综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义及函数的性质是解题的关键．
56．如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点．
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（1）求的值及点的坐标；
（2）在平面内有点，使以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1），；（2），和
【分析】
（1）将A点的坐标代入反比例函数y=求得k的值，然后将A，C坐标代入直线解析式解答即可；
（2）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴；
∴反比例函数的表达式为，
由题意得：点的横坐标为6，
∴，
故点的坐标为．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yA-yD=yB-yC即4-yD=2-0，故yD=2．
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yD′-yA=yB-yC即yD-4=2-0，故yD′=6．
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC=BD″且AC∥BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴xD″-xB=xC-xA即xD″-6=6-3，故xD″=9．
yD″-yB=yC-yA即yD″-2=0-4，故yD″=-2．
所以D″（9，-2）．
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综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，-2）．
【点睛】
此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待 ( http: / / www.21cnjy.com )定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（2）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．
57．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）判断是否在一次函数的图象上并说明原因．
【答案】（1），；（2）在一次函数图像上．理由见解析．
【分析】
（1）将点（2，4）代入和，组成方程组，求出k、 n的值，从而得到两个函数的解析式；
（2）将x＝﹣1代入（1）中所得一次函数解析式，若y＝﹣20，则点P（﹣1，﹣20）在一次函数图象上，否则不在函数图象上．
【详解】
解：（1）∵反比例函数与一次函数交于点
∴，解得
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
（2）由（1）得：一次函数解析式为，
当时，，
即在一次函数图像上．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据交点坐标列出方程组，解方程组求出两个函数的解析式．【出处：21教育名师】
58．如图，直线与双曲线相交于、两点，与y轴相交于点C．
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（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积．
【答案】（1），；（2）8
【分析】
（1）将和分别代入 中，可求得， ，即可得到点 的坐标及反比例函数解析式，然后把和 分别代入 中，列出二元一次方程组，求解、即可得到一次函数解析式；
（2）将代入中，可得出点 的坐标，根据题意即可得到点的坐标，根据，代入数值即可得到答案．
【详解】
（1）将和分别代入 中，
得，
∴双曲线的解析式为：，
将和分别代入 中，
得，解得 ，
∴直线的解析式为：；
（2）将代入中，
得，
∴
∵点与点关于轴对称，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．
59．已知反比例函数与正比例函数相交于．
（1）求值．
（2）画出反比例函数的图像．
（3）当时，直接写出的范围？
（4）根据图像，解不等式．
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【答案】（1）；（2）见解析；（3）和；（4）和
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）画出反比例函数图象即可；
（3）根据图象即可求得；
（4）观察图象求得即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数y1=与正比例函数y2=x相交于A （2，2）．
∴k=2×2=4；
（2）描出点（1，4），（2，2），（4，1），
用平滑的曲线连接，画出反比例函数的图象如图，
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（3）由图象可知，当0＜x＜2和x＜-2时，y1＞y2．
（4）观察图象，直线y=x向下平移3个单位，与反比例函数的交点为（4，1）和（-1，-4），
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∴不等式＜x-3的解集为：-1＜x＜0和x＞4．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的交点问题，（1）把点的坐标代入函数解析式是解题关键；（2）正确画出图象是根据；（3）观察图象是解题关键；（4）观察图象得出交点坐标是关键．
60．如图，点，点是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴，轴．
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（1）求反比例函数表达式；
（2）点P是直线下方反比例函数图象上一点，连结，若和面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）
【分析】
（1）将点A代入一次函数表达式，求出m，再将A代入反比例函数表达式，求出k值即可；
（2）求出点B坐标，设P（p，），根据和面积相等，列出方程，解之即可．
【详解】
解：（1）∵A（1，m）为一次函数和反比例函数图像的交点，
∴，代入中，
得，则k=4，
∴反比例函数表达式为；
（2）∵点B，P在反比例函数图像上，
∴，设P（p，），
∴n=8，
∵和面积相等，AC⊥y轴，BD⊥x轴，
∴，
解得：p=或（舍），
∴P（，）．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一元二次方程，三角形面积，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，并根据面积列出方程．
61．电子体重科读数直观又 ( http: / / www.21cnjy.com )便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
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（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】
解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
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