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第03讲 相似多边形
【基础训练】
一、单选题
1．如图，矩形ABCD∽矩形FAH ( http: / / www.21cnjy.com )G，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
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A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【分析】
设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，根据平行线分线段成比例可得JI＝，根据相似多边形的性质可得＝，然后表示出S阴影的面积和S矩形ABJH﹣S矩形HDEG的值即可求解．
【详解】
解：设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，
则BJ＝x，JC＝a，
∵JI//CD，
∴＝即JI＝，
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
即＝，
∴x+a＝，
∴S阴影＝BJ JI
＝x
＝xy．
∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG
＝xb﹣ay
＝x ﹣ay
＝xy．
∴S阴影△BIJ＝(S矩形ABJH﹣S矩形HDEG)．
所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质、三角形的面积、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
2．如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
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A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB-BE=4x-y，得出方程4x-y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB-BE=4x-y，
∴4x-y=x+y，
解得：x=y，
∴AE=y，
∴，
∴，
故选：D．
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【点睛】
本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、矩形的性质、相似多边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键，学会利用参数解决问题．
3．如图，已知矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
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A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【分析】
根据题意，截取矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形AEFB，
则，
设AE＝xcm，得到：，解得：x＝4.5，
经检验x=4.5是原方程的解
则截取的矩形面积是：6×4.5＝27（cm2）．
故选：B．
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【点睛】
本题考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
4．如图，在矩形中，点分别在上，四边形是正方形，矩形矩形，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据相似多边形的性质可得，设正方形ABEF的边长为x，EC=y，那么，求出，代入计算即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，
∴，设正方形ABEF的边长为x，EC=y，
则，
∴x2-yx-y2=0，
∴，
∵x＞0，y＞0，
∴，
∴，
∵AD=2，
∴DF=3-，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．
5．如图，取一张长为a，宽为b ( http: / / www.21cnjy.com )的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【答案】B
【分析】
根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【详解】
解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】
∵EG//AB，EF//BC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵AC≠EC
∴不成立，
∴选项A错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，，
∵AE≠EC，
∴不成立，
∴选项B错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，
∵DF≠AF
∴不成立，
∴选项C错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，，
∴，
∴选项D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．
7．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形
C．两个平行四边形 D．两个菱形
【答案】B
【分析】
根据相似图形的概念进行判断即可；
【详解】
任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误；
任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B正确；
任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C错误；
任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D错误；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．
8．复印纸的型号有、、、、等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的宽与长之比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴，则b2=2a2，
∴，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为：1，
∴宽与长之比为
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
9．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】
解：依题意，要使剩下的矩形与原来的矩形相似，
则
15（20-2y）=20(15-2x)
3（20-2y）=4(15-2x)
60-6y=60-8x
-6y=-8x
3y=4x
即．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
10．在一张比例尺为1：50 000的地图上，一块多边形地区的面积是320cm2，这个地区的实际面积是（ ）
A．8×107m2 B．8×108m2 C．8×1010m2 D．8×1011m2
【答案】A
【分析】
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求出该区域的实际面积，然后根据科学记数法的定义解答即可．
【详解】
解：设这个地区的实际面积是，由题意得，
320：＝(1：50000，
解得：＝8×，
8× ＝8× ，
故选：A．
【点睛】
此题考查的是相似多边形的性质和科学记数法，掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方和科学记数法的定义是解决此题的关键．
11．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【详解】
解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴（）2=2，
∴=．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
12．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（ ）
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A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
要求矩形的面积只要求出BC的长就可以，可以依据相似多边形的对应边的比相等，可以求出BC，进而得出面积即可．
【详解】
解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得，
设AE=x，则AD=BC=2x，
又AB=1，
∴，
可得：．
∵矩形的长不能是负数，
解得：，
∴BC=2x=2×，
∴S矩形ABCD=BC×AB=×1=．
故选：C．
【点睛】
此题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边的比相等．
13．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
B．相似三角形的对应高的比等于对应周长的比
C．两个等腰三角形是相似图形
D．所有的正八边形都相似
【答案】C
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对 ( http: / / www.21cnjy.com )A进行判断；根据相似三角形的性质可对B进行判断；利用反例可对C进行判断；根据对应边的比相等，对应角相等的两个多边形相似，可对D进行判断．
【详解】
A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、相似三角形的对应高的比等于对应周长的比，所以B选项的说法正确，不符合题意；
C、由于等腰三角形的顶角和底角都不确定，无法判定两者相似，所以C选项的说法不正确，符合题意；
D、所有的正八边形都相似，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似图形的判定以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似图形的判定是解题的关键．
14．下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形
【答案】D
【分析】
根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】
A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
15．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【分析】
根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】
A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定 ( http: / / www.21cnjy.com )对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
16．下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．有一组角相等的两个等腰三角形
C．有一组对应角相等的两个菱形 D．两边对应成比例且有一组角相等的三角形
【答案】C
【分析】
利用相似图形的判定与性质进而分别分得出即可．
【详解】
A、两个矩形对应边的比值不一定相等，故此 ( http: / / www.21cnjy.com )选项错误；
B、有一组角相等的两个等腰三角形，有可能是两三角形的底角与顶角对应相等，故此选项错误；
C、有一组对应角相等的两个菱形，相似，故此选项正确；
D、两边对应成比例且两边的夹角相等的三角形相似，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了相似图形，熟练应用相似图形的判定方法是解题关键．
17．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】
解：A、形状相同，但大小不同 ( http: / / www.21cnjy.com )，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似形的定义，是基础题．
18．如图，在矩形、三角形、正五边形、 ( http: / / www.21cnjy.com )菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
【答案】C
【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】
矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的 ( http: / / www.21cnjy.com )度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．
综上，外框与原图一定相似的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
19．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一 ( http: / / www.21cnjy.com )定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D．【来源：21cnj*y.co*m】
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．
20． 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为，又根据，可得出，据此进行求解即可．
【详解】
∵各种开本的矩形都相似，
∴矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴，
∴AD BF=AB AB，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
21．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【详解】
解：根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可以先求出m=，m=不合题意，舍去，
所以==
故选：C
【点睛】
本题考查相似多边形的性质．
22．下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
【答案】C
【分析】
根据等边三角形的性质和相似三角形的判定方法 ( http: / / www.21cnjy.com )对A判断；
根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法对B判断；
利用举反例对C判断；
根据相似图形的定义对D判断．21cnjy.com
【详解】
解：A、所有的等边三角形都相似，所以A选项为真命题；
B、所有的等腰直角三角形都相似，所以B选项为真命题；
C、所有的矩形不一定相似，如一个矩形的长宽之比为，另一个矩形的长宽之比为，所以C选项为假命题；
D、所有的正方形都相似，所以D选项为真命题．
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是注意举反例去验证.
23．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
【答案】B
【分析】
先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】
解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．
24．下列命题中，是真命题的有（ ）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；
（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
分别利用相似的定义、比例的性质即可判断．
【详解】
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比，是真命题；
（2）两个矩形不一定相似，因为对应边的比值不一定相等，不是真命题；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边成比例，不是真命题；
（4）若线段a与b的比是3:5，但a不一定是3，b不一定是5，不是真命题；
综上，只有（1）是真命题，共1个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，正确把握相似的定义以及比例的性质是解题关键．
25．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2：1 B．3：1 C．：1 D．4：1
【答案】C
【分析】
根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】
根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴，
设AD=x，AB=y，则AE=x．则，即：x2=y2．
∴．
∴x：y=：1．
即原矩形长与宽的比为：1．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
26．如图，两个菱形，两个等边三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案．
【详解】
由题意得，
A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似，
B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；
C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形
D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；
故选C．
【点睛】
本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例．两个条件缺一不可.
27．下列图形不是形状相同的图形是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面像
D．一棵树与它倒影在水中的像
【答案】C
【分析】
利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【详解】
解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意；
B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意；
C、某人的侧身照片和正面像，不是形状相同的图形，符合题意；
D、一棵树与它倒影在水中的像，是形状相同的图形，不合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
28．如图，把菱形沿着对角线的方向移动到菱形的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形的面积的．若，菱形移动的距离是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意和观察图形可知，重叠部分与菱形相似，根据重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD的面积的，可得CA′与CA的比，从而可求CA′的长，即可求出菱形移动的距离AA′．
【详解】
解：∵菱形与重叠部分相似，且它们面积比为 3：1，
∴CA′： CA=1：，且，
∴CA′= 1，
则菱形移动的距离AA′是
故选：D
【点睛】
主要考查了平移的性质和坐标与图形的关系．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
29．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
【答案】B
【分析】
根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【详解】
解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ＝1：2．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
30．如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得， ABCD∽ OECF，且AO=OC=，故四边形OECF的面积是 ABCD面积的
【详解】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由平移的性质得， ABCD∽ OECF，且AO=OC=
故四边形OECF的面积是 ABCD面积
即图中阴影部分的面积为4cm2．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.21·世纪*教育网
二、填空题
31．如图所示，长CD与C′D′之 ( http: / / www.21cnjy.com )间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为__时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．www-2-1-cnjy-com
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【答案】1.5或9
【分析】
根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝9，
故答案为：1.5或9．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
32．如图，在矩形ABCD中，AD ( http: / / www.21cnjy.com )＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为__．21教育名师原创作品
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【答案】
【分析】
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
33．如图，一个矩形广场的长为9 ( http: / / www.21cnjy.com )0m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为__m．
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【答案】1.8
【分析】
根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答即可．
【详解】
解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）m，
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，
解得，x＝1.8，
故答案为：1.8
【点睛】
题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
34．已知矩形与以E、F、G、H为顶点的矩形相似，且，则_________．
【答案】3或12
【分析】
分矩形ABCD∽矩形EFGH，矩形ABCD∽矩形EHGF两种情况，利用相似多边形的性质列式求解即可．
【详解】
解：若矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴，
∵AB=4，BC=2，EF=6，
∴，
∴FG=3；
若矩形ABCD∽矩形EHGF，
∴，
∵AD=BC=2，CD=AB=4，EF=6，
∴，
∴FG=12，
故答案为：3或12．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是注意分类讨论，列出比例式．
35．如图，在菱形ABCD中，AB＝1， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADC＝120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1＝120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2＝120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为_____．
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【答案】
【分析】
根据题意，可以求得菱形ABCD的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积．21*cnjy*com
【详解】
解：作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如右图所示，
由已知可得，
∠ABC＝120°，BC＝1，∠CAB＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴CE＝，
∴AC＝，
∴菱形ABCD的面积是1×＝，
∵＝，图中的菱形都是相似的，
∴菱形AC2020C2021D2021的面积为：×[（）2]2020＝×（）4040＝，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．
三、解答题
36．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
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【答案】x＝12，，α＝83°．
【分析】
直接根据相似多边形的性质即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴，即，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12，，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例．正确找出对应边和对应角是解题关键．
37．如图1，将A4纸2次折叠，发现第 ( http: / / www.21cnjy.com )一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
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（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）；（2）相似，理由见解析
【分析】
（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
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解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°
∴∠BCF＝∠BDF=90°
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF
∴∠ACB=∠ECF=45°
∴BC=x
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴
故答案为：．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x，
∴对A5纸，长边：短边
∴A4纸与A5纸相似．
故答案为：相似．
【点睛】
此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
38．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
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请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54
【分析】
（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【详解】
解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
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∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
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则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
【点睛】
本题主要考查了相似形的综合题， ( http: / / www.21cnjy.com )矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
39．如图，一块长和宽分别为60厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等且与原长方形相似的长方形（长宽比原长方形长宽比相等），折成一个无盖的长方体水槽．
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（1）使它的底面积为1536平方厘米．求截去长方形的两边长．
（2）水槽的底面积达到2448平方厘米吗？为什么？
【答案】（1）长为6厘米，宽为4厘米；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）可设截去长方形的长为3x厘米，得到截去长方形的宽为2x厘米，根据底面积的求法得到方程，解之即可；
（2）根据（1）中的计算方法，令底面积为2448，解之，再判断即可．
【详解】
解：（1）设截去长方形的长为3x厘米，
∵截去的长方形与原长方形相似，
则截去长方形的宽为2x厘米，
∴底面积为，
解得：x=2或18（舍），
∴3x=6，2x=4，
∴截去长方形的长为6厘米，宽为4厘米；
（2）由题意可得：
，
解得：x=或，
∵=＜0，故不符合；
＞，故不符合，
∴底面积不能达到2448平方厘米．
【点睛】
此题考查了图形的相似和一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程求解即可．
40．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
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【答案】（1）存在，长为，宽为；（2）不存在，见解析
【分析】
（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可．
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形．
【详解】
解：（1）存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)=，
解得：x1=，x2=；
∴ “减半”矩形的长为，宽为；
（2）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，相似图形的性质，关键是要知道相似图形的面积比与周长比的关系．
41．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么21世纪教育网版权所有
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（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
【答案】见解析
【解析】
（1）相似．理由如下：
因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
于是有，
所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．
又EC＝b－x，所以AF＝EC．
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
所以在四边形ABEF与四边形CDFE中，有
∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，
，
所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．
（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．
42．如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．
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【答案】证明见解析．
【分析】
由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB．
【详解】
∵菱形菱形，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据多边形的性质得出∠DAB=∠EAG是解题关键．
43．如图，点E是菱形ABCD对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
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（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
【答案】（1）见解析；（2）GD＝．
【分析】
（1）用SAS证明△AEB≌△AGD即可得到EB＝GD；
（2）连接BD.由（1）可知，求出EB即可得到GD的长.依次求出BP、AP、EP的长即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
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∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质及菱形的性质，利用菱形对角线互相垂直平分构造的直角三角形进行计算是解题的关键.21教育网
44．小李准备进行如下的操作，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为．2·1·c·n·j·y
（1）要使这两个矩形的面积之和为，较小矩形的长宽各是多少？
（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为，你同意吗？说明理由．（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
【答案】（1）较小矩形宽4厘米，长6厘米；（2）同意，理由见解析．
【分析】
（1）根据相似多边形的性质，得较小的矩形周长为20厘米，再根据较小矩形的面积，列出方程，即可求解；
（2）根据较小矩形的面积，列出一元二次方程，从而得判别式的值小于零，进而即可得到结论．
【详解】
（1）∵两矩形相似且相似比为，
∴，，
∴C小=20，
设小矩形较短一边长x厘米，则邻边长为（10-x）厘米，
则x（10-x）=78×，解得：x1=4，x2=6（舍去），
∴较小矩形宽为4厘米，长为6厘米；
（2）同意．理由如下：
设小矩形较短一边长x厘米，则邻边长为（10-x）厘米，
则x（10-x）=91×，即：x2-10x+28=0，
∵Δ=＜0，
∴一元二次方程无解，
∴两矩形的面积不可能为91cm2．
【点睛】
本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
45．学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．
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【答案】上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．
【分析】
由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案．
【详解】
∵AB＝130，AD＝400，
∴，
∵内外两个矩形相似，
∴，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的，
∴，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40．
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例；根据相似多边形的性质得出A′B′与A′D′的比是解题关键．
46．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
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（1）若点D是BC的中点，
①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
②延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；
（2）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．
【详解】
（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，
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∵PM∥AC，∴DE∥AC，
.
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且，
∴；
②延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，
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∵DQ=AD，BD=DC，
四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，，
∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
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∴，
又∵PM∥AC，∴DE∥AC，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．www.21-cn-jy.com
47．如图，已知AB∥DF，∠EAB＝∠BCF．
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（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求证：OB2＝OE OF．
【答案】（1）平行四边形．见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由DE//BC，∠ABC=∠EAB，可证得∠ABC=∠BCF，即可证得AB∥CD，则得四边形ABCD为平行四边形；
（2）由AE∥BC，可得，由AB∥CF，可得，等量代换得出＝，即OB2=OE OF．
【详解】
（1）平行四边形．
∵AB∥DF，
∴∠EAB＝∠D，
又∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠D＝∠BCF，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明∵AE∥BC，
∴，
∵AB∥CF，
∴，
∴＝，
∴OB2＝OE OF．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定，平行线的性质与判定，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．
48．如图，已知△ABC，
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（1）按如下步骤尺规作图（保留作图痕迹）：
①作AD平分∠BAC，交BC于D；
②作AD的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E、F；
（2）连接DE、DF．若BD＝12，AF＝8，CD＝6，求BE的长．
【答案】（1）如图，AD和EF为所作；见解析；（2）BE＝16．
【分析】
（1）①根据尺规作角平分线的方法作图即可；②根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）先证明四边形AEDF为菱形，得AE＝AF＝8，DE∥AC，再根据平行线分线段成比例定理即可求得结果.
【详解】
解：（1）如图，AD和EF为所作；
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（2）∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，AD⊥EF，
∵AD平分∠EAF，
∴AD平分EF，
即AD和EF互相垂直平分，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝8，DE∥AC，
∴，即，
∴BE＝16．
【点睛】
本题考查了基本的尺规作图、菱形的判定和平行线分线段成比例定理等知识，正确作图是前提，熟知菱形的判定和平行线分线段成比例定理是解题的关键.
49．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且.
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(1)若，，，求的长；
(2)若，且周长为，求的周长.
【答案】（1）的长为；（2）的周长为.
【解析】
【分析】
（1）设AD为x，建立关于的方程，从而通过解方程组来得到的长.
（2）通过比例的性质，可得，而的周长由组成，即可求解.
【详解】
解：（1)设，则.
∵，∴，
解得.
∴的长为.
(2)∵，
∴.
∴
.
∴的周长为.
【点睛】
此题考查比例的性质，解题关键在于设未知数x.
50．已知线段x，y.
(1)当时，求的值；(2)当时，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到x=9y，即可解答；
（2）由比例的性质对比例式进行变形从而得到3y+2xy-x=0，然后分解得（3y-x）（y+x）=0，即可解答．
【详解】
解：(1)由，得，
即，
解得，∴.
(2)由，得，
即，
解得或（不合题意，舍去），
∴.
【点睛】
本题重点考查比例线段，解答本题的关键在于了解比例的性质并且对比例式进行变形.
51．如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长.
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【答案】的长为1或4或.
【解析】
【分析】
根据题意设未知数，分和两种情况进行讨论，求解即可.
【详解】
解：设，
则.
应分两种情况进行讨论：
⑴当，
即时，解得或；
⑵当，即时，解得.
综上所述，的长为1或4或.
【点睛】
此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.
52．如图，已知在平行四边形中，点E在边上，射线交于点G，交的延长线于点F，，，求的长.
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【答案】.
【分析】
要求DF的长，根据平行四边形的性质，知CD=AB=6，只需求得CF的长，再根据AB∥CD，，得，然后得到CF=2，即可求解．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
【点睛】
此题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相应的性质定理，并正确的应用.
53．如图，在中，D，E为边，上的点，且.求证：.
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【答案】见解析.
【分析】
由，得到，过点E作交于点F，得，然后得到.
【详解】
证明：∵，
∴.
如图，过点E作交于点F，得四边形是平行四边形，
∴.
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∵，
∴，
∴.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟记平行线分线段成比例的性质.
54．如图，，，，.求的长.
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【答案】.
【分析】
由，得，然后利用，得到，然后即可求得AC的长度.
【详解】
解：∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
解得：或 (不合题意，舍去).
∴.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是熟记性质定理，注意数形结合思想的应用．
55．若，求m的值
【答案】m的值是或-1
【解析】
【分析】
分和两种情况分别利用等比性质求解和代入求值.
【详解】
解：当时，由比例的性质，得；
当时，，所以.
综上所述，m的值是或-1.
【点睛】
本题考查比例性质的应用，重点考查等比性质成立的条件，分两种情况讨论是学生做题时易忽略的，是解决本题的易错点.【版权所有：21教育】
56．已知：如图，Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H
（1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．
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【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线分线段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．
【详解】
证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴AB∥DN，
∴=，
而点M为AE中点，
∴AM=ME，
∴BM=MN，
∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，
∴MB=MD；
（2）∵AB∥NE，
∴==1，即AB=NE，
∵AB=BC，DC=DE，
∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，
∵AB=BC，DC=DE，
∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠ACB=∠45°，
∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，
∴CE∥BN，AC∥DM，
∴四边形MGCH为平行四边形，
而∠GMH=90°，
∴四边形MGCH为矩形．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平 ( http: / / www.21cnjy.com )行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．也考查了矩形的判定和等腰直角三角形的性质．
57．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】8
【解析】
【分析】
根据作法得到MN是线段AD的垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，则AE=DE，AF=DF，所以∠EAD=∠EDA，加上∠BAD=∠CAD，得到∠EDA=∠CAD，则可判断DE∥AC，同理DF∥AE，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上EA=ED，则可判断四边形AEDF为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE的长．
【详解】
解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF
， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
而EA=ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴BE：AE=BD：CD，即BE：4=6：3，
∴BE=8．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是 ( http: / / www.21cnjy.com )在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例．
58．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：为等腰直角三角形．（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】
(1)通过证明四边形是平行四边形，可得，，由“”可证，可得，，可证，，即可得结论；
(2)由题意可得，由平行线分线段成比例可得，即可求的长．
【详解】
(1)∵四边形，四边形都是正方形
∴，，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴为等腰直角三角形；
(2)∵，，
∴，，，
∵，
∴，且，
∴，
【点睛】
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．21*cnjy*com
59．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE OF；
（3）连接OD、BD，若∠OBC＝∠ODC，OD＝6，sin∠AOE＝，求对角线BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BD＝4.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行线分线段成比例进行解答即可；
（3）连接BD，交AC于点H，根据相似三角形的判定和性质以及三角函数解答即可．
【详解】
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵DE∥BC，
∴OB2＝OE OF；
（3）连接BD，交AC于点H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DE∥BC，
∴∠OBC＝∠E，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠E，
∵∠DOF＝∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD2＝OE OF
∵OB2＝OF OE，
∴OB＝OD，
∵平行四边形ABCD中BH＝DH，
∴OH⊥BD，
∵在Rt△BOH中，sin∠AOE＝，OB＝OD＝6
∴BH＝2，BD＝4．
【点睛】
此题考查相似三角形的综合题，关键是平行线的性质和平行四边形的判定和相似三角形的判定和性质以及三角函数解答．
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第03讲 相似多边形
【基础训练】
一、单选题
1．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连 ( http: / / www.21cnjy.com )结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）21cnjy.com
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A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
2．如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．2 C． D．
3．如图，已知矩形ABCD的边AD长为8 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
4．如图，在矩形中，点分别在上，四边形是正方形，矩形矩形，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5．如图，取一张长为a，宽为b的 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）21·世纪*教育网
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A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
6．如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
7．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形
C．两个平行四边形 D．两个菱形
8．复印纸的型号有、、、、等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的宽与长之比为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
9．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
10．在一张比例尺为1：50 000的地图上，一块多边形地区的面积是320cm2，这个地区的实际面积是（ ）
A．8×107m2 B．8×108m2 C．8×1010m2 D．8×1011m2
11．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
12．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．2
13．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
B．相似三角形的对应高的比等于对应周长的比
C．两个等腰三角形是相似图形
D．所有的正八边形都相似
14．下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形
15．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形
16．下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．有一组角相等的两个等腰三角形
C．有一组对应角相等的两个菱形 D．两边对应成比例且有一组角相等的三角形
17．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图，在矩形、三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1个 B．2个 C．3 D．4个
19．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20． 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．2
21．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
22．下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
23．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）2·1·c·n·j·y
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
24．下列命题中，是真命题的有（ ）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；
（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．2：1 B．3：1 C．：1 D．4：1
26．如图，两个菱形，两个等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A． B． C． D．
27．下列图形不是形状相同的图形是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面像
D．一棵树与它倒影在水中的像
28．如图，把菱形沿着对角线的方向移动到菱形的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形的面积的．若，菱形移动的距离是（ ）
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A． B． C． D．
29．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
30．如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
二、填空题
31．如图所示，长CD与C′ ( http: / / www.21cnjy.com )D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为__时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．2-1-c-n-j-y
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32．如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为__．21教育名师原创作品
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33．如图，一个矩形广场的长为90m，宽 ( http: / / www.21cnjy.com )为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为__m．
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34．已知矩形与以E、F、G、H为顶点的矩形相似，且，则_________．
35．如图，在菱形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝1，∠ADC＝120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1＝120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2＝120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为_____．
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三、解答题
36．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
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37．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的 ( http: / / www.21cnjy.com )折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．21世纪教育网版权所有
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（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
38．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．21·cn·jy·com
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．【版权所有：21教育】
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请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
39．如图，一块长和宽分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等且与原长方形相似的长方形（长宽比原长方形长宽比相等），折成一个无盖的长方体水槽．
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（1）使它的底面积为1536平方厘米．求截去长方形的两边长．
（2）水槽的底面积达到2448平方厘米吗？为什么？
40．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
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41．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
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（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
42．如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．
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43．如图，点E是菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
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（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
44．小李准备进行如下的操作，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个长宽不等的矩形，两矩形相似且相似比为．
（1）要使这两个矩形的面积之和为，较小矩形的长宽各是多少？
（2）小李认为这两个矩形的面积和不可能为，你同意吗？说明理由．（说明：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）
45．学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．
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46．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
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（1）若点D是BC的中点，
①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
47．如图，已知AB∥DF，∠EAB＝∠BCF．
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（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求证：OB2＝OE OF．
48．如图，已知△ABC，
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（1）按如下步骤尺规作图（保留作图痕迹）：
①作AD平分∠BAC，交BC于D；
②作AD的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E、F；
（2）连接DE、DF．若BD＝12，AF＝8，CD＝6，求BE的长．
49．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且.
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(1)若，，，求的长；
(2)若，且周长为，求的周长.
50．已知线段x，y.
(1)当时，求的值；(2)当时，求的值.
51．如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长.【出处：21教育名师】
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52．如图，已知在平行四边形中，点E在边上，射线交于点G，交的延长线于点F，，，求的长.
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53．如图，在中，D，E为边，上的点，且.求证：.
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54．如图，，，，.求的长.
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55．若，求m的值
56．已知：如图，Rt△CDE中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H
（1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．
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57．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
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58．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，，其中交于点．21教育网
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（1）求证：为等腰直角三角形．（2）若，，求的长．
59．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
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（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE OF；
（3）连接OD、BD，若∠OBC＝∠ODC，OD＝6，sin∠AOE＝，求对角线BD的长．
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