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第03讲 用公式法求解一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
6．关于x的一元二次方程方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数解，则k的范围是（ ）
A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
7．求方程x2﹣x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．没有实根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
8．下列关于的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．kx2﹣x﹣k＝0
10．下列关于方程的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
11．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
12．下列关于一元二次方程的说法正确的是（ ）
A．该方程只有一个实数根
B．该方程只有一个实数根
C．该方程的实数根为，
D．该方程的实数根为，
13．下列关于一元二次方程的说法正确的是
A．该方程只有一个实数根
B．该方程只有一个实数根
C．该方程的实数根为，
D．该方程的实数根为，
14．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥ 1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m≤ 1
15．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
16．不解方程，判定方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
17．下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C．且 D．且
19．判断一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
20．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=c B．a=b C．b=c D．
21．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．4
22．关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
23．关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
24．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
25．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
26．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
27．关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
28．若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1
29．关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断
30．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
31．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
33．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
34．对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
35．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
36．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
37．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有实数根
38．亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B．0 C．7 D．9
39．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设两根分别为，，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
40．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
二、填空题
41．已知关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是___．
42．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
43．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_______．
44．若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
45．如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的值可以为________．（写出一个
三、解答题
46．解方程：．
47．（1）解不等式组：；
（2）解方程：2x2－x－1＝0．
48．（1）解方程：
（2）解方程：．
49．不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1）；
（2）．
50．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．
51．m为何值时，关于x的一元二次方程x2－x－3m=0有两个不相等的实数根？
52．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程在时的求根公式的过程．
由于，方程变形为．……………………第一步．第二步．…………第三步．……………第四步．……………第五步
（1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在时的求根公式．
（2）用配方法解方程．
53．解方程：
54．解方程：．
55．解方程．
（1）x2﹣4x+1＝0；（配方法）
（2）2x2+x﹣1＝0．（公式法）
56．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围．
57．解方程：．
58．解下列方程：
（1）；（2）．
59．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
60．解方程：
61．解一元二次方程：
（1） （2）
62．（1）计算：．
（2）解方程：
63．已知，是方程的两根且，求代数式的值．
64．已知关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值；
（2）请判定这个方程根的情况．
65．已知关于的方程．
（1）当取何值时，原方程没有实数根？
（2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求此时这两个实数根．
66．解方程：
（1）；
（2）．
67．已知关于x的方程．
（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ．
68．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
69．为实数，关于的方程有两个实数根，.
（1）求的取值范围.
（2）若，试求的值．
70．关于的方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你选择一个合适的的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．
71．已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
72．已知方程．
（1）当时，求该方程的解；
（2）若方程有实数解，求的取值范围．
73．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
74．已知关于的方程．
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值．
75．已知：关于x的方程.
（1）不解方程：判断方程根的情况；
（2）若方程有一个根为1，求m的值.
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第03讲 用公式法求解一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
【答案】C
【分析】
关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，计算出的范围，根据要求取是正整数的值．
【详解】
解：由方程，
知，
要使方程有两个不相等的实数根，
则，
即，
解得：，
要取正整数，
或，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：要求掌握，当时，方程有两个不等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．21·cn·jy·com
2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可．
【详解】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．
3．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】
根据题意可知，即
解得：．
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键．
4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，解出c即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】C
【分析】
计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．
【详解】
∵a＝１，b=-3，c=4
而
∴一元二次方程没有实数根
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．
6．关于x的一元二次方程方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数解，则k的范围是（ ）
A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，可得关于k的一元一次不等式，解不等式即可得结果．21*cnjy*com
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k＞0，
解得k＜1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的情况与判别式的关系，根据根的情况确定参数的取值范围，题目简单．
7．求方程x2﹣x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．没有实根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
8．下列关于的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
一元二次方程根的判别式：，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根，据此逐项分析解题．21·世纪*教育网
【详解】
A．，方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B．可化为，，方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C． ，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意；
D．，方程没有实数根，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况，涉及根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．kx2﹣x﹣k＝0
【答案】C
【分析】
分别计算出各项中方程根的判别式的值，找出小于0的选项即可．
【详解】
A、∵，，，
∴，
此方程有两个相等的实数根，
B、∵，，，
∴，
此方程有两个不相等的实数根，
C、∵，，，
∴，
此方程没有实数根，
D、∵，，，
∴，
此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，即，解题的关键是熟练掌握：当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，可得该方程有两个相等的实数根；当时，原方程无实数根．
10．下列关于方程的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式来判断：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【详解】
∵a=1，b=-4，c=-7，且
∴方程有两个不相等的实数根
∴选项A正确
故选：A
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，题目简单．
11．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
【答案】D
【分析】
根据根的判别式和已知得出△≥0且k≠0，求出解集即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k ≥0，k≠0，
解得：k≤4且k≠0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题的关键．
12．下列关于一元二次方程的说法正确的是（ ）
A．该方程只有一个实数根
B．该方程只有一个实数根
C．该方程的实数根为，
D．该方程的实数根为，
【答案】D
【分析】
用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可．
【详解】
解：，
，
故原方程有两个不相等的实数根，
解得，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程．www.21-cn-jy.com
13．下列关于一元二次方程的说法正确的是
A．该方程只有一个实数根
B．该方程只有一个实数根
C．该方程的实数根为，
D．该方程的实数根为，
【答案】D
【分析】
用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可．
【详解】
解：，
△，
故原方程有两个不相等的实数根，
解得，．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程．21教育名师原创作品
14．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥ 1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m≤ 1
【答案】D
【分析】
由题可知，是关于x的一元二次方程，使用判别式即可．
【详解】
由题知，一元二次方程：有实数根；
由判别式≥0，可得≥0，∴ ≤1；
故选D．
【点睛】
本题考查一元二方程根的存在情况，重点在熟练使用判别式的来确定根的情况．
15．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】
解：A、△=（-2）2-4×1×（ ( http: / / www.21cnjy.com )-1）=8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、△=12-4×1×（-1）=5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△=12-4×1×1=-3＜0 ( http: / / www.21cnjy.com )，则方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D、△=（-2）2-4×1×1=0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+b ( http: / / www.21cnjy.com )x+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．不解方程，判定方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】
先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断根的情况．
【详解】
解：方程化为一般形式为：x2+2x+2=0
∵△=22-4×1×2=-4＜0
∴方程无实数根，
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
17．下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．
【详解】
A．，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．
B．，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意．
C．，所以该一元二次方程有一个实数根，故C不符合题意．
D．，所以该一元二次方程无实数根，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况是解答本题的关键．2·1·c·n·j·y
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m 1≠0且△＝（2m 1）2 4（m 1）2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得m 1≠0且△＝（2m 1）2 4（m 1）2＞0，
解得且m≠1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程a ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2 4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
19．判断一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
直接利用根的判别式判断即可．
【详解】
解：在中，
，
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式．熟记公式是解题关键．
20．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=c B．a=b C．b=c D．
【答案】A
【分析】
因为方程有两个相等的实数根， ( http: / / www.21cnjy.com )所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=b2 4ac=0，
又a+b+c=0，即b= a c，
代入b2 4ac=0得( a c)2 4ac=0，
即(a+c)2 4ac=a2+2ac+c2 4ac=a2 2ac+c2=(a c)2=0，
∴a=c
故选：A
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系．
21．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】
根据根的判别式即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：△=4-4a=0，
∴a=1，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【分析】
根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于的方程有实数根，
∴，且，
解得，且，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【出处：21教育名师】
23．关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系可得，解得．将代入原方程，利用根的判别式验证方程是否有解，由此即可确定m的值．
【详解】
解：设方程的两根为x1和x2．
∵，
又∵，
∴．
∴．
当m=1时，原方程为．
判别式．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为．
判别式．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．21教育网
24．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程有实根，可得△＝（-2）2 4×（-1）m≥0且m≠0，解不等式，即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程有实根，
∴△＝（-2）2 4×（-1）m≥0且m≠0，
∴且，
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握（a≠0）有实数根，则△≥0，是解题的关键．
25．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤且a≠-2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
26．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【分析】
直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．
【详解】
∵直线不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．
27．关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【分析】
根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】
解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键．
28．若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1
【答案】B
【详解】
【解答】由题意，得，而，．∴代数式的值一定是正数．
29．关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法判断
【答案】A
【详解】
把代入得，解得，则一元二次方程可化为一元二次方程没有实数根．
30．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【详解】
∵，∴方程无实数根．
31．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得．
32．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【详解】
略
33．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【详解】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，，解得且．
34．对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】
根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．
【详解】
解：根据题意：
，
由：，
故：，
即：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
35．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
36．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】
解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
37．当时，关于的一元二次方程的根的情况为（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有实数根
【答案】D
【分析】
求出，即可得到，再根据根的判别式的进行判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴方程有实数根．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
38．亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．1 B．0 C．7 D．9
【答案】D
【分析】
设常数项为c，利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可．
【详解】
解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程a ( http: / / www.21cnjy.com )x2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
39．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设两根分别为，，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据方程有两个相等的实数根求出m的值，再根据根与系数的关系得出x1 x2的值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=（-4）2-4m=0，
解得m=4，
∴x1 x2=4．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
40．关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△≥0，然后解不等式组，即可得到k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实根，
∴k≠0，且△＝（ 6）2 4k×3＝ 12k＋36，
∵方程有实数解，
∴△≥0，
∴ 12k＋36≥0，
∴k≤3，
∴k的取值范围是：k≤3且k≠0．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2 4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
二、填空题
41．已知关于x的一元二次方程m2x2＋（2m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是___．
【答案】且
【分析】
根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
42．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则，是解题的关键．
43．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_______．
【答案】9
【分析】
直接利用根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：由题可知：“△=0”，即；
∴；
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情 ( http: / / www.21cnjy.com )况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△<0时，该方程无实数根．
44．若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】
解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 ( http: / / www.21cnjy.com )（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
45．如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的值可以为________．（写出一个值即可）
【答案】0
【详解】
【解答】根据题意得，解得，∴m可取0．
三、解答题
46．解方程：．
【答案】，
【分析】
将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可．
【详解】
解：原方程可化为：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
47．（1）解不等式组：；
（2）解方程：2x2－x－1＝0．
【答案】（1）≤x＜2；（2）x1=2，x2=-1
【分析】
（1）先解出不等式组中的两个不等式的解集，然后取其交集即为该不等式组的解集；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1），
解不等式①，得x≥，
解不等式②，得x＜2，
∴原不等式组的解集为≤x＜2；
（2），
∴a=2，b=-1，c=-1，
∵b2-4ac=1-4×2×（-1）=9，
∴x=，
解得：x1=2，x2=-1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程—公式法 ( http: / / www.21cnjy.com )、解一元一次不等式组，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b，c的值，然后当b2-4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式来求解．
48．（1）解方程：
（2）解方程：．
【答案】（1）x1，x2；（2）x=9
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）对于原分式方程左右同乘进行去分母，然后求解整式方程并检验即可．
【详解】
解：（1），，，
∴
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（2）左右同乘，
得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
【点睛】
本题考查公式法解一元二次方程以及解分式方程，掌握基本求解方法并注意分式方程要检验是解题关键．
49．不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1）；
（2）．
【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根
【分析】
（1）根据根的判别式即可判断；
（2）根据根的判别式即可判断；
【详解】
解：（1）由题得：
∴原方程没有实数根；
（2）由题得：
∴原方程有两个不相等的实数根．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特点．
50．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）；（2）当时，
【分析】
（1）根据一元二次方程的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围；
（2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴
∴
（2）答案不唯一
当时，
∴或
解得：
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )＝0（a≠0）根的判别式△＝b2 4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了直接开平方法解一元二次方程．
51．m为何值时，关于x的一元二次方程x2－x－3m=0有两个不相等的实数根？
【答案】
【分析】
当△>0时，有两个不相等的实数根，据此可求得m．
【详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△>0，
∴△=b2-4ac=1+12m>0，
解得：，
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
52．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程在时的求根公式的过程．
由于，方程变形为．……………………第一步．第二步．…………第三步．……………第四步．……………第五步
（1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在时的求根公式．
（2）用配方法解方程．
【答案】（1）四，；（2），，见解析．
【分析】
（1）第四步开方时出错；
（2）根据配方法，解题即可．
【详解】
解：（1）由于，方程变形为
故方程在时的求根公式为：
，
故答案为：四；
（2）
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程—公式法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
53．解方程：
【答案】，
【分析】
根据公式法即可求解．
【详解】
解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根
，
即，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，结合方程的特点选择合适的方法是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
54．解方程：．
【答案】，．
【分析】
先把方程化为一般形式，再利用公式法进行求解即可．
【详解】
解：原方程化为，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
55．解方程．
（1）x2﹣4x+1＝0；（配方法）
（2）2x2+x﹣1＝0．（公式法）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把方程化为再两边都加上 可得再利用直接开平方法解方程，从而可得答案；
（2）由可得＞ 再利用求根公式：可得答案．
【详解】
解：（1）
移项：
或
（2）
＞
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法与公式法解一元二次方程是解题的关键．
56．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围．
【答案】m≥2
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根，
∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，
∴m≥2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
57．解方程：．
【答案】；
【分析】
先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案．
【详解】
解：原方程可化为：．
∵
∴＞0，
∴，
∴；．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解一元二次方程．
58．解下列方程：
（1）；（2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）运用直接开平方法求解即可；
（2）方程化为一般形式得后运用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）2x2 8=0
移项，得2x2=8
二次项系数化为1得：x2=4
∴x1=2， x2= 2
（2）2x(x 1)=-(x 6)
方程化为一般形式得：2x2-x-6=0
∴a=2，b=-1，c=-6，
△=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49＞0
∴x==
解得，x1=2，x2=-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运用一元二次方程的解法．
59．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】且．
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．21*cnjy*com
【详解】
解：∵原方程是一元二次方程，
∴，解得；
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
∴使原方程有两个不相等的实数根，的取值范围为且．
【点睛】
本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
60．解方程：
【答案】,
【分析】
根据一元二次方程的系数的意义，利用公式法求解即可
【详解】
解：
∵，，
∴>0
∴
∴,
【点睛】
主要考查了方程的系数的意义和一元二次方程的解法，要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．
61．解一元二次方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
62．（1）计算：．
（2）解方程：
【答案】（1）4 （2），
【分析】
（1）将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】
（1）原式，
＝，
＝4；
（2），
，
，．
【点睛】
本题主要考查实数的运算，解一元二次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
63．已知，是方程的两根且，求代数式的值．
【答案】-9
【分析】
先解一元二次方程求出方程的两个根，确定m与n的值，将代数式利用乘法公式，单项式乘以多项式法则化简，代入m、n求值即可．
【详解】
解：，是方程的两根，且，
∴△=b2-4ac=4+4=8
∴x=
则，，
原式，
当，时，
原式．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，整式化简求值问题，二次根式的混合运算，掌握公式法解方程，整式乘法公式，单项式乘以多项式法则是解题关键．
64．已知关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值；
（2）请判定这个方程根的情况．
【答案】（1）；（2）该方程有两个不相等的实数根
【分析】
（1）将代入，解方程即可得出k的值；
（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】
解：（1）将代入得：，
解得；
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程解，根与系数的关系，根的判别式，熟悉相关性质是解答本题的关键．
65．已知关于的方程．
（1）当取何值时，原方程没有实数根？
（2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求此时这两个实数根．
【答案】（1）；（2），，
【分析】
（1）根据方程没有实数根，，列关于的不等式，解不等式即可．
（2）由（1）可得时，原方程没有实数根，则当时，方程有两个不相等的实数根，在范围内，任取一个非零的整数代入原方程，解一元二次方程即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）∵方程没有实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，原方程没有实数根．
（2）由（1）可知，当时，方程有两个不相等的实数根，且为非零整数，
∴选取（不唯一），此时原方程变为，
∵，
∴，
，
∴，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，同时也考察了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题关键．21cnjy.com
66．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
(1)直接使用公式法即可求解；
(2)采用配方法变形为即可求解．
【详解】
（1）∵ ，,，
∴ .
∴ .
∴ ，.
（2）∵
∴
∴
∴
∴ ，.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
67．已知关于x的方程．
（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ．
【答案】（1）见解析；（2）n=4，m=2，方程的根为x1=x2=1
【分析】
（1）先计算判别式得到=，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．
【详解】
（1）证明：=，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0，
；
即；
以下答案不唯一，如：当n=4，m=2时，方程为x2-2x+1=0，
解得x1=x2=1．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与=b-4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．
68．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴（第三步）
∴，（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析
【分析】
（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴，．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
69．为实数，关于的方程有两个实数根，.
（1）求的取值范围.
（2）若，试求的值．
【答案】（1） （2）-2
【分析】
（1）将已知方程化为一般式，根据可求解；
（2）由根与系数的关系得，，把已知式子展开变形，在代入求值即可；
【详解】
解：（1）将已知方程化为一般式
.
即是一元二次方程，
由，得.
即的取值范围是.
（2）由根与系数的关系，，.
，
.
.
即.
.
解得，.
由（1），只取．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的知识点，对根的判别式与根与系数的关系准确应用是解题的关键．
70．关于的方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）请你选择一个合适的的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．
【答案】（1）见解析．（2），．
【分析】
（1）求出判别式的值，然后化简，说明判别式恒大于0即可；
（2）令，原方程化为，求解即可．
【详解】
（1）
∴原方程总有两个实数根；
（2）当时，原方程化为
解得，．
（的值不唯一，满足题意解答正确即可）
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的判别式，掌握一元二次方程的性质是解题关键．
71．已知：关于x的方程x2+4x+2m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m≤2；（2）2
【分析】
（1）根据方程有实数根知△≥0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）先根据m≤2且m为正整数得m=1或m=2，再分别代入求解可得．
【详解】
解：（1）根据题意知△＝42﹣4×2m＝16﹣8m≥0，
解得m≤2；
（2）由m≤2且m为正整数得m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程的根不为整数，舍去；
当m＝2时，方程为x2+4x+4＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，
∴m的值为2．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．【版权所有：21教育】
72．已知方程．
（1）当时，求该方程的解；
（2）若方程有实数解，求的取值范围．
【答案】(1) ，．(2) ．
【分析】
（1）将k＝1代入方程，求出方程的解；
（2）若方程有实数解需分类讨论，该方程为一元一次方程，该方程为一元二次方程，为一元二次方程时要注意 .
【详解】
解：（1）把代入原方程得，解得，．
（2）当时，方程有解；
当时，，解得．
综上可得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ；当 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解法以及分类讨论思想的运用．
73．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】（1）n＞0；（2）x1＝0，x2＝﹣2．
【分析】
（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，然后解不等式即可；
（2）利用n的范围确定以n＝1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0；
（2）因为n为取值范围内的最小整数，
所以n＝1，
方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
【点睛】
此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用与方程的求解方法．
74．已知关于的方程．
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值．
【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，可得＞0，继而求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，可得和，再根据已知得到方程并解方程即可得到答案．
【详解】
（1）关于的方程
，，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴＞0，
解得：，
∵二次项系数，
∴，
∴当且时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵为方程的两个不等实数根，
∴，，
∴，
解得：，(不合题意，舍去)，
∴．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意当＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；注意若是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
75．已知：关于x的方程.
（1）不解方程：判断方程根的情况；
（2）若方程有一个根为1，求m的值.
【答案】（1）有两个不等的实数根；（2）0，-2
【分析】
（1）找出方程a、b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=1代入方程得到关于m的方程，.解之可得.
【详解】
（1） 由题意得，a=1，b=2m，c=，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）∵方程有一个根是1，
∴1+2m+，
解得m=0或m=-2.
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=1代入原方程求出m的值.www-2-1-cnjy-com
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