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第03讲 用公式法求解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【分析】
解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】
解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．
2．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】
直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可．
【详解】
解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
代入得：，
解得：，
∵核对时发现所抄的比原方程的值小1，
故原方程中，
原方程为，
∴
∴原方程的根的情况是不存在实数根，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出的值，再代入求值即可得．
【详解】
解：由题意得：方程根的判别式，
整理得：，即，
则，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
4．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（ ）21教育网
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
【答案】C
【分析】
分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确定的值．
【详解】
解：①当6为底边时，则，
∴，
∴，
∴方程为，
解得：，
∵，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，，
∵，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：或25．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形三边关系以及一元二次方程的根与根的判别式．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×（-1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
先求出，再利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
方程有两个相等的实数根，
此方程根的判别式，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据新定义求出是解题关键．
7．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
【答案】A
【分析】
由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】
由根的情况，依据根的判别式得出m的范围，结合m为正整数得出m的值.
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等实数根，
∴△＝52﹣4×1×m＞0，
解得：m＜，
∵m为正整数，
∴m＝1，2，3，4，5，6，
∴符合条件的m有6个，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了根的判别式，准确计算是解题的关键．
9．对于实数 a，b，定义运算 ( http: / / www.21cnjy.com )“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（ ）21cnjy.com
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】
本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为：
，
提公因式可得：
，
化简得：
，
，
，
根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根．
故选D．
【点睛】
本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．
10．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一元二次函数根的判别式△=b2-4ac=，利用配方法判断△与0的大小关系即可以得出答案．
【详解】
由题意可知一元二次函数根的判别式
△=b2-4ac
=
=m2+4＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式及一元二次方程根的判别式的综合运用．
11．当时，关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
【详解】
解：∵在一元二次方程中a=1，b=4，c=-k，
∴，
∵当时，，
∴方程有两个不等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
12．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】
本题首先由图像经过第一、三、四象限，可知：k＞0，k﹣1＜0，再通过根的判别式来判断根的情况．
【详解】
解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k，
＝（2k+1）2，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与一元二次方程根的判别式，属于中档题．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，得一元二次方程的根的判别式大于零，建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝＞0，
∴＞0，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系，并能灵活选择计算是解题的关键．
14．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【答案】A
【分析】
由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令△＞0，即可求出m的取值范围，要注意，m2﹣1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】
解：当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1=0为一元二次方程时，m2﹣1≠0，即m≠±1．
∵关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1=0有实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8≥0，解得m≤1；
∴m＜1，
当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0为一元一次方程时，m2﹣1＝0且2（m﹣1）≠0，
则m＝﹣1，
综上，m＜1时方程有实数根．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握△≥0等价于一元二次方程有两个实数根，△＜0等价于一元二次方程没有实数根，是解题的关键．
15．定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程有两个相等的根得=n2-4mp=0，再由“合理”方程得4m-2n+p=0，再对两式进行恒等变换和代入即可．
【详解】
解：
∵“合理”方程有两个相等的实数根
∴ 4m-2n+p=0 ①
=n2-4mp=0 ②
则有 p=2n-4m代入②得：
n2-4m (2n-4m) =0
16m2-8mn=- n2
16m2-8mn+n2=-n2+n2
∴(4m-n)2=0
∴4m=n，代入①得
n-2n+p=0
∴n=p
∴ 4m=n=p
故选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，灵活对等式进行恒等变换是关键．整体代入是常用的方法．
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴＞0，
∴＞0，
∴＞0，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键．
17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此求出k的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴（-2）2-4×k×（-1）＞0，且k≠0
∴且．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了利用一元二次方程根 ( http: / / www.21cnjy.com )的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．
18．如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
【答案】A
【分析】
先由分式方程的解为正数，求解的范围，再由一元二次方程有两个不相等的实数根，求解的范围，结合为整数，从而可得答案．
【详解】
解：，
去分母得：
因为方程有正数解，所以
＞
＜
又
综上：＜且
关于的方程有两个不相等的实数根，
＞ 且
＞且
综上：＜＜且且
又因为为整数，
故选：
【点睛】
本题考查的是分式方程的解及解分式方程，一元二次方程的定义及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
19．下列说法正确的有（ ）
①等边三角形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．
②九边形的内角和等于；
③的整数部分是x，小数部分是y，则
④一元二次方程有两个不相等的实数根．
⑤对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是假命题．
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．④⑤①
【答案】B
【分析】
根据等边三角形、菱形、正方形、圆的性质对 ( http: / / www.21cnjy.com )①进行判断；根据多边的内角和公式对②进行判断；利用无理数的估值对③进行判断；利用根的判别式对④进行判断；根据互逆命题的真假判断方法对⑤进行判断．
【详解】
解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形，所以①错误；
九边形的内角和为180°×（9 2）＝1260°，所以②正确；
由在3与4之间，所以的整数部分是x＝3，小数部分是y＝，则，所以③正确；
一元二次方程，因为△＝，所以一元二次方程有两个相等的实数根，所以④错误；
命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此逆命题为是假命题，所以⑤正确．
所以正确的有②③⑤，
故选：B
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，多边形的内角和定理，数的估值，根的判别式以及命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
20．已知关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0
【答案】C
【分析】
由方程kx2﹣2x+3＝0有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0，且△＞0，即22﹣4 k 3＞0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】
解：∵x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＞0，即22﹣4 k 3＞0，解得k＜，
∴k的取值范围为：k＜且k≠0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac，解题关键是明确当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，列出不等式，注意：二次项系数不为0．
21．若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A．c=10 B．c=5 C．c=-5 D．c=4
【答案】D
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根得出△＝c 2﹣4×1×4＞0，代入判断即可．
【详解】
解：根据题意，得：△＝c 2﹣4×1×4＞0，即c 2﹣16＞0，
当c=10时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=5时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=-5时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=4时，c 2﹣16=0，方程x2-cx+4=0有两个相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式确定字母的范围．
22．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】
根据根的判别式计算即可；
【详解】
，
∴方程有两个不相等的的实数根；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
23．若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m-1）＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m-1）＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根，解题关键是根据题意列出方程．
24．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】
把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．
【详解】
解：∵（x-1）（x+5）=3x+1
∴原方程可化为x2+x-6=0，
∵a=1，b=1，c=-6，
∴△=b2-4ac=12-4×1×（-6）=25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
25．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
利用新定义得到x2＋2kx k2 ( http: / / www.21cnjy.com )1＝0，然后利用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2 4ac的关系可得△＞0，即可判断方程根的情况．
【详解】
解：由新定义得x2＋2kx k2 1＝0，
∵△＝（2k）2 4×1×（ k2 1）＝8k2＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
26．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k﹣1）x﹣2＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【答案】C
【分析】
计算一元二次方程根的判别式，并进行变形，判断符号即可求解．
【详解】
解：∵
＝（k﹣1）2﹣4×（﹣2）
＝（k﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，计算出根的判别式并进行变形判断出符号是解题关键．
27．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
【答案】C
【分析】
先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△ ( http: / / www.21cnjy.com )=b2+36a，则a＞0时，△＞0，则根据判别式的意义可对A进行判断；当a＜0时，可能△＞0或△=0或△＜0，则根据判别式的意义可对B、C、D进行判断．
【详解】
解：ax2+bx-9=0，
△=b2-4×a×（-9）=b2+36a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△=0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解．21·世纪*教育网
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
28．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＜﹣ D．k＞－且k≠0
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．
【详解】
解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．
解得k≥-且k≠0．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
29．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
由一元二次方程根的情况可以求出n的范围，并可得到一次函数中参数的范围，从而得到问题解答．
【详解】
解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，
解得：n＞2，
∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，
∴该一次函数图象在第一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算和应用、一次函数的图象与性质是解题关键．
30．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】
根据根的判别式判断 ．
【详解】
解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键．
31．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
【答案】D
【分析】
分类讨论：该方程是一元二次方程和一元一次方程．一元二次方程的二次项系数不等于零且根的判别式大于零．
【详解】
解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣，符合题意；
②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．
解得k≤5；
综上所述，k的取值范围是k≤5．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，解题时需要注意：已知方程没有指明是关于x的一元二次方程，需要分类讨论．
32．如果和是非零实数，使得和，那么的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，结合2个式子可得，分与两种情况讨论，求出的值，由，求出的值，相加即可得答案．
【详解】
解：根据题意，则，
又由，
则有，
因为x和y是非零实数，分2种情况讨论：
①当时，由得到：，
变形可得：，无解；
②当时，由得到，
变形可得：，
解可得：或，（舍）
综合可得：，则，
；
故选择：D．
【点睛】
本题考查超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程解法，掌握超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程的解法，关键是消y后分类讨论．21*cnjy*com
33．在下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
解：、△，无实数根，不符合题意；
、△，有两个不相等实数根，不符合题意；
、△，有两个相等实数根，符合题意；
、△，无实数根，不符合题意．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟记根的判别式并准确计算．
34．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】C
【分析】
先求出方程的解，再求出较大的实数根a的范围，最后即可得出答案．
【详解】
解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得 ，
∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝，
∵1＜＜2，
∴2＜＜3，
即1＜a＜．
故选：C
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
35．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
【答案】D
【分析】
根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．
【详解】
解：根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
列不等式组得，，
解得，k≥且k≠1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．
36．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
37．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
【答案】B
【分析】
先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．
【详解】
解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．
38．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用根判别式得到△＝（a+2b ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝，
∴PQ的最小值为．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的根的判别式△与根的关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根是解答本题的关键.
39．下列方程一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质逐项判定即可．
【详解】
解：A. ,△=，故无实数解；
B. 由得，故无实数即；
C. ，故无实数即；
D. 由得，即x=．
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了无理方程的解，掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质是解答本题的关键．
40．若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，
解得且k≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
二、填空题
41．方程的解是_____________．
【答案】，
【分析】
先把两边同时乘以，去分母后整理为，进而即可求得方程的解．
【详解】
解：，
两边同时乘以，得
，
整理得：
解得：，，
经检验，，是原方程的解，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
42．已知关于x的一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为_____；
【答案】
【分析】
由方程根的个数，结合根的判别式，即可得出k的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及 ( http: / / www.21cnjy.com )解一元二次方程，解题的关键是找出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
43．如图，在中，，，，D是AC上一点，且，E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小．由勾股定理可求出BC的长，设，则，在中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值．
【详解】
根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图．
∴，
在中，．
设，则，
∴在中，，即，
解得：，（舍）．
故BF的最小值为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：．
【点睛】
本题考查折叠的性质，圆的基本性质，勾股定理以及解一元二次方程．理解当B、F、D三点共线时，BF的值最小是解答本题的关键．
44．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____．
【答案】-1
【分析】
利用一元二次方程的定义及根的判别式计算求出m、n的值，再代入计算．
【详解】
解：由题意得m-1=2，16+4n=0，
解得m=3，n=-4，
∴=3-4=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义及利用根的情况求未知数的值，熟记一元二次方程的定义及根的三种情况是解题的关键．
45．已知命题：“关于的一元二次方程，当时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．
【答案】b=1（答案不唯一）
【分析】
先根据判别式得到△=b2 ( http: / / www.21cnjy.com )-4，在满足b>0的前提下，取b=1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
【详解】
解：∵△=b2-4，
∴当b=1时，满足b>0，而△＜0，方程没有实数解，
∴当b=1时，
可说明这个命题是假命题．
故答案为：b=1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫 ( http: / / www.21cnjy.com )做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．
三、解答题
46．解一元二次方程．
（1）请把方程左边变形，利用直接开方法求解；
（2）请利用公式法求解．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）原方程可变形为，
直接开平方，得或，
即．（4分）
（2）原方程化为一般形式，得，
．
；
即．（4分）
47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k=3
【分析】
（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
48．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；
（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．
【详解】
解：（1）∵关于的方程有两个实数根，
∴，解得，；
（2）由题意得，
，
∵为整数，且为正整数，
∴或，
又∵
∴．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
49．已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）且；（2）
【分析】
(1)因为一元二次方程有两个实数根,所以必须满足下列条件:二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．
(2）在k的取值范围内确定最大整数，代入原方程，再运解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，
∴且．
．
∴且．
∴且．
（2）当k取最大整数时，，
此时，方程为，
解得．
∴当时，方程的根为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程、熟练并正确解方程是重点，熟知一元二次方程根的情况是关键
50．解方程
（1）
（2）
（3）解方程：
【答案】（1）；（2），；（3）无解
【分析】
（1）先把原方程化为标准形式，得出（x+2）2=0，再求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法计算即可；
（3）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
解（1）
移项，合并同类项得：
因式分解得：
所以
（2）
，，
所以此方程有两个不相等的实数根，
，
（3）
方程两边乘得：
去括号得：
解一元一次方程得：
检验：当时，
所以，是增根，原方程无解．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法 ( http: / / www.21cnjy.com )和分式方程的解法，能利用配方法和公式法解一元二次方程是解一元二次方程的关键，能利用“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，是解分式方程的关键．
51．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿A ( http: / / www.21cnjy.com )B边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边 ( http: / / www.21cnjy.com )向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发 ( http: / / www.21cnjy.com )以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分，见解析；（3）经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2
【分析】
（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分三种情况：①点P在线段AB上， ( http: / / www.21cnjy.com )点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解.
【详解】
解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x） 2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意.
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y） 2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意.
( http: / / www.21cnjy.com / )
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．【来源：21·世纪·教育·网】
52．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；
（3）如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．
【答案】（1）a≥0且a≠6；（2）a＝7，8，9，12；（3）1100
【分析】
（1）由二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1x2＝，结合（x1+1）（x2+1）的值为负整数可得出为负整数，解之即可得出a的值；
（3）由被开方数非零及b＝可得出a，b的值，将a的值代入原一元二次方程，利用根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，将其代入x13+10x22+5x2﹣b中即可求出结论.
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴，
解得：a≥0且a≠6.
（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝﹣++1＝为负整数，
∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，
∴a＝7，8，9，12.
（3）∵b＝，
∴a＝5，b＝50，
∴方程﹣x2+10x+5＝0，
∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，
∴原式＝x12 x1+10x22+5x2﹣b，
＝（10x1+5） x1+10x22+5x2﹣50，
＝10（x12+x22）+5（ x1+x2）﹣50，
＝10（x1+x2）2﹣20x1x2+5（ x1+x2）﹣50，
＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，
＝1100．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式，准确计算是解题的关键．
53．（1）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
（2）解方程：．
【答案】（1）；或；值为1或3；（2）
【分析】
（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解法后约分，选择不等式解集内且使得分式有意义的值计算即可．21世纪教育网版权所有
（2）用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）原式
，且x为整数，
的值为．
又且，即且，
或．
当时，原式；
当时，原式．
（2）∵，
∴
在这里，a=3,b=-，c=1，
∴△=，
∴．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解法，熟练进行分式化简，准确掌握公式法的解题要领是解题的关键．【版权所有：21教育】
54．已知关于的一元二次方程（为常数）总有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0 ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，将k的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵方程总有实数根，
，
解得：；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
，
解得：，代入方程得：
，
解得：.
【点睛】
本题考查了根的判别式以及 ( http: / / www.21cnjy.com )配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”．
55．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数， ( http: / / www.21cnjy.com )且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
【答案】（1）m≥且m≠1，（2）k＝3
【分析】
（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴，
解得：m≥且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k-3＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．
56．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质的过程，已知函数y＝，结合已有的学习经验，完成下列各小题．2·1·c·n·j·y
（1）请在表格中空白填入恰当的数据：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 …
y … 2 3 3 …
（2）根据表中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式组≤x+3的解集为： ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（3）当时，随的增大而增大；（4）或．
【分析】
（1）将各的值代入函数解析式计算即可得；
（2）利用描点法画出函数图象即可得；
（3）写出函数在时的增减性即可得；
（4）先求出函数与函数的交点的横坐标，再结合函数图象即可得．
【详解】
（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，；
（2）先描点，再顺次连接各点可得函数图象，如下所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）观察函数图象可知，当时，随的增大而增大；
（4）联立，解得或或，
( http: / / www.21cnjy.com / )
结合函数图象可知，不等式组的解集为或．
【点睛】
本题考查了函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握函数图象的画法是解题关键．
57．（1）计算：
（2）解不等式组：
（3）关于的方程有两个实数根，求的取值范围
【答案】（1）；（2）不等式组的解集为；（3）的取值范围为且．
【分析】
（1）由分式的加减乘除混合运算进行化简，即可得到答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案；
（3）根据根的判别式，即可求出m的取值范围．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解集为；
（3）∵关于的方程有两个实数根，
∴，
∴；
当，即时，原方程是一元一次方程，只有一个解，不符合题意；
∴；
∴的取值范围为且．
【点睛】
本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简，解不等式组，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．www-2-1-cnjy-com
58．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）k＜-1
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k 3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．21教育名师原创作品
【详解】
（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2 4×1×3k＝k2 6k＋9＝（k 3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴x1＝-3，x2＝-k．
∵方程有一根大于1，
∴-k＞1，解得：k＜-1，
∴k的取值范围为k＜-1．
【点睛】
本题考查了根的判别式、因式分 ( http: / / www.21cnjy.com )解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于k的一元一次不等式．
59．（1）计算：；
（2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】（1） ；（2）任务一：① C；②等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；任务二：，【出处：21教育名师】
【分析】
（1）化简，按照运算规则运算即可；
（2）任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，②方程两边同时加上一个相同的数是运用了等式的基本性质；任务二：根据方程得知、和的值，再根据公式法把、和的值代入求解．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，故选C；
②解方程过程中第二步变形的依据是：等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；
任务二：
解方程：．
，，．
，
．
，．
【点睛】
本题考查了二次根式和实数的运算和一元二次方程的解法，正确化简，掌握配方法和公式法是解题的关键．
60．（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）解不等式组：
【答案】（1）x1，x2； （2）2≤x＜4
【分析】
（1）先判断，再利用公式法求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
（1）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴ ，则x，
即x1，x2．
（2）由①得，x≥2；
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：2≤x＜4．
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组的计算，能正确用一元二次方程、一元一次不等式是解题的关键．
61．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求出此时方程的根．
【答案】（1）m≤1；（2）．
【分析】
（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m的范围可知m=1，代入原方程后解方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵原方程有实数根，
∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，又m≤1，
∴m=1．
当m=1时，原方程为x2-2x+1=0，
即，解得．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
62．已知正实数满足，求代数式的值．
【答案】
【分析】
先把分式混合运算通分进行加减计算把除法转化乘法 ，再因式分解约分，化为最简分式 ，由条件变形：且，利用求根公式法先计算根的判别式，再求根，代入求值即可．
【详解】
解：原式= ，
=，
= ，
由已知得：且，
，
则，
∵舍去，
∴，
∴原式=．
【点睛】
本题考查分式条件化简求值，一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程的解法，分式的混合运算，掌握分式条件化简求值的方法，一元二次方程的解法，分式的混合运算法则是解题关键．
63．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）且；（2）；或．
【分析】
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴且；
（2）当时，，
∴由求根公式可知：，
∴或．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键．
64．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1
【分析】
（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；
（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，
①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，
∴k≥﹣3且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，
∴k＝1，
综上，k≥﹣3时方程有实根；
（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12＋x22﹣4x1x2＝1，
∴（x1＋x2）2﹣6x1x2＝1，
∴（）2＋＝1，
∴，
∴，
∴，
解得：k＝9或k＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与方 ( http: / / www.21cnjy.com )程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．
65．已知是关于的一元二次方程的一个根，求直线经过哪些象限．
【答案】直线经过的象限是第二、三、四象限
【分析】
把x=0代入已知方程，列出关于m的方程，即可求得m，即可判断直线经过的象限．
【详解】
解：把代入方程，
得：，
∴，
由题意知：，
∴，
∴．
∴直线经过的象限是第二、三、四象限．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程解得定义是解题的关键．
66．已知关于的一元二次方程．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围．
【答案】（1）有两个实数根，见解析；（2）
【分析】
（1）利用根的判别式即可判断；
（2）利用公式法求得（或表示）两根，再根据根的情况分析即可．
【详解】
解：（1）依题意得：
，
∴方程有两个实数根．
（2）依题意得：
∴，即，．
∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查根的判别式和利用公式法求一元二次方程．掌握公式法和根的判别式是解题关键．
67．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0 ．
（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）如果是直线上两点，比较与的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用：1、当△＞0，方程有两个不相等的实数根；2、当△=0，方程有两个相等的实数根；3、当△＜0，方程没有实数根进行求解；
（2）根据，得到函数值y随x的增大而减小，比较x即可求解．
【详解】
解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△＝（－4）2－4m≥0，
∴；
（2）
．
∴函数值y随x的增大而减小，
∵2＜3
∴．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的实数根情况和一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的增减性，熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程实数根的情况和一次函数的性质是解题的关键．
68．按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；（2）x1＝ ，x2＝
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
【详解】
（1）解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴ b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴ x＝ ＝ ＝ ，
∴ x1＝2，x2＝﹣1
（2）解：2x2+2x＝1，
x2+x＝ ，
x2+x+＝+ ，即（x+）2＝ ，
∴ x+ ＝± ，
∴ x1＝ ，x2＝
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种解法是解本题的关键；
69．如图，直线，与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）______；点的坐标为______．
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标？
【答案】（1），；（2）；（3）；（4），，
【分析】
（1）将点C的坐标代入直线，求出a，令y=0求出点B的坐标；
（2）设直线的解析式为，将点A、C的坐标代入求解即可；
（3）利用三角形的面积公式计算；
（4）分情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理解答．
【详解】
解：（1）∵直线经过点，
，
解得：；
即直线的解析式为；
当y=0时，-3x+3=0，
解得，则；
故答案为：-3，（1,0）；
（2）设直线的解析式为，
∵经过点和点，
∴，
解得：，．
∴直线的解析式为：；
（3）设的面积的面积为；则，
的高为3，则；
（4）存在，
设点P的坐标为（x，），
分三种情况：
①当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，
∵A（4,0），B（1,0），
∴点P的横坐标为：；
②当AP=AB=3时，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵，
∴，
解得x=；
( http: / / www.21cnjy.com / )
③当AB=BP=3时，作PM ⊥x轴于点M，
∵，
∴
解得x=或x=4（舍去）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上，符合条件的点的横坐标是，，．
【点睛】
此题考查待定系数法求函数解析式，一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与坐标轴的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，解题中运用分类思想解决问题是解题的关键．
70．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．
【答案】（1）DG⊥BE，理由见解析；（2）BE的长为．
【分析】
（1）证明△DAG≌△BAE，后证明∠ABD+∠ABE＝90°即可；
（2）连接GE，设BE=x，根据（1）的结论在直角三角形BGE中根据勾股定理计算即可．
【详解】
（1）DG⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS）．
∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．
∴DG⊥BE；
（2）连接GE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，
∴BD＝，GE＝2，设BE＝x，
∵DG=BE，
∴BG＝x﹣，
在Rt△BGE中，利用勾股定理可得：,
∴
∴x＝或x＝（舍去），
∴BE的长为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形的全等，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练证明三角形全等，运用勾股定理，一元二次方程的思想求解是解题的关键．21·cn·jy·com
71．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【分析】
（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑： ( http: / / www.21cnjy.com )当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【详解】
解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
72．已知△ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将线段CD绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF
(1)如图1，当P为AC的中点时，求证：FC⊥PD．
(2)如图2，当P为△ABC内任一点时，连接PA、PF、AF，试判断△PAF的形状，并证明你的结论.
(3)当B、P、F三点共线且AB=，PB=3时，求PA的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）△PAF是等边三角形，证明见解析；（3）PA的长为2或5．
【分析】
（1）如图1，利用等边三角形和平行四边形的性质求得∠FCD+∠D＝90°即得结论；
（2）△PAF是等边三角形． ( http: / / www.21cnjy.com )如图2，延长BC，先利用等边三角形的性质和平行四边形的性质证得∠2＝∠4，再根据SAS证明△ABP≌△ACF，进一步根据等边三角形的判定定理即可证得结论；
（3）需要分类讨论：当点P在线段BF上和当点P落在线段FB的延长线上两种情况，通过作辅助线，构造直角三角形，再结合勾股定理即可求出结果．
【详解】
（1）证明：如图1，设FC、PD交于点M，
∵△ABC是等边三角形，P为AC的中点，
∴∠PBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵四边形PBCD为平行四边形，
∴∠D＝∠PBC＝30°．
∵∠FCD＝60°，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠CMD＝90°，
∴FC⊥PD；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）△PAF是等边三角形，理由如下：
如图2，延长BC，∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠2＝60°﹣∠1，∠4＝180°﹣60°﹣60°﹣∠3＝60°﹣∠3．
∵四边形PBCD是平行四边形，
∴PB∥CD，PB＝CD＝FC．
∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4．
又AB＝AC，PB＝FC，
∴△ABP≌△ACF（SAS）．
∴AP＝AF，∠BAP＝∠CAF．
∵∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAC+∠CAF＝∠PAF＝60°，
∴△PAF是等边三角形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）①当点P在线段BF上时，如图3，过A作AE⊥BF于E，由（2）可得∠APF＝60°，
设PE＝x，则AE＝x，
于是在Rt△ABE中，根据勾股定理得：，
解得：x1＝1，x2＝（不合题意，舍去）
∴PA＝2x＝2；
( http: / / www.21cnjy.com / )
②当点P落在线段FB的延长线上时，如图4，过B作BE⊥PA于E，
则在Rt△PBE中，PB＝3，由（2）可得∠BPE＝60°，∴∠PBE＝30°．
∴PE＝，BE＝．
在Rt△ABE中，AB＝，BE＝，∴AE＝，
∴PA＝PE+AE＝5．
由于P点不可能在线段BF的延长线上，所以， PA的长为2或5．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题以等边三角形为载体， ( http: / / www.21cnjy.com )是运动型综合题，综合考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理、一元二次方程的求解、全等三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，涉及动点与动线，难度较大．第（2）问中，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定与性质；第（3）问中，注意分类讨论、数形结合和方程思想的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第03讲 用公式法求解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
2．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（ ）21·世纪*教育网
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．3 B．﹣3 C． D．
4．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
7．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
8．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．对于实数 a，b，定义运算 ( http: / / www.21cnjy.com )“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11．当时，关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
12．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
15．定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
18．如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
19．下列说法正确的有（ ）
①等边三角形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．
②九边形的内角和等于；
③的整数部分是x，小数部分是y，则
④一元二次方程有两个不相等的实数根．
⑤对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是假命题．
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．④⑤①
20．已知关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0
21．若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A．c=10 B．c=5 C．c=-5 D．c=4
22．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
23．若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．以上都不对
24．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
25．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
26．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k﹣1）x﹣2＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
27．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
28．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＜﹣ D．k＞－且k≠0
29．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
30．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
31．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
32．如果和是非零实数，使得和，那么的值是（ ）
A．3 B． C． D．
33．在下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是
A． B． C． D．
34．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
35．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
36．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
37．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
38．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
39．下列方程一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
40．若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
二、填空题
41．方程的解是_____________．
42．已知关于x的一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为_____；
43．如图，在中，，，，D是AC上一点，且，E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
44．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____．
45．已知命题：“关于的一元二次方程，当时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．21cnjy.com
三、解答题
46．解一元二次方程．
（1）请把方程左边变形，利用直接开方法求解；
（2）请利用公式法求解．
47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
48．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．
49．已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
50．解方程
（1）
（2）
（3）解方程：
51．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向 ( http: / / www.21cnjy.com )B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？21·cn·jy·com
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s ( http: / / www.21cnjy.com )的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．2·1·c·n·j·y
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1c ( http: / / www.21cnjy.com )m/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
52．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；
（3）如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．
53．（1）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
（2）解方程：．
54．已知关于的一元二次方程（为常数）总有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．
55．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的 ( http: / / www.21cnjy.com )最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．【出处：21教育名师】
56．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析函数特征，概括函数性质的过程，已知函数y＝，结合已有的学习经验，完成下列各小题．21教育名师原创作品
（1）请在表格中空白填入恰当的数据：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 …
y … 2 3 3 …
（2）根据表中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式组≤x+3的解集为： ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
57．（1）计算：
（2）解不等式组：
（3）关于的方程有两个实数根，求的取值范围
58．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
59．（1）计算：；
（2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．
60．（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；
（2）解不等式组：
61．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求出此时方程的根．
62．已知正实数满足，求代数式的值．
63．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根．
64．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
65．已知是关于的一元二次方程的一个根，求直线经过哪些象限．
66．已知关于的一元二次方程．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围．
67．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0 ．
（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）如果是直线上两点，比较与的大小．
68．按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
69．如图，直线，与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
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（1）______；点的坐标为______．
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标？
70．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
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（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．
71．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
72．已知△ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将线段CD绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF21世纪教育网版权所有
(1)如图1，当P为AC的中点时，求证：FC⊥PD．
(2)如图2，当P为△ABC内任一点时，连接PA、PF、AF，试判断△PAF的形状，并证明你的结论.
(3)当B、P、F三点共线且AB=，PB=3时，求PA的长.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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