中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 正方形的性质与判定
【基础训练】
一、单选题
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形、正方形的性质定理、矩形、菱形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、正方形的对角线相等且互相垂直平分，是真命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握平行四边形、正方形的性质定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键，
2．下列命题是真命题的是（ ）．
A．任何数的0次幂都等于1
B．顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形
C．图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【分析】
根据零次幂、正方形的判定、旋转的性质及角平分线的性质定理可直接进行排除选项．
【详解】
A、除0外，任何数的0次幂都等于1，错误，是假命题．
B、顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形，错误，是假命题．
C、图形的旋转和平移不会改变图形的形状和大小，错误，是假命题．
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题．
故选D．
【点睛】
本题主要考查零次幂、正方形的判定、旋转的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质及角平分线的性质定理，熟练掌握零次幂、正方形的判定、旋转的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．2·1·c·n·j·y
3．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直且相等 D．平行四边形的对角线相等
【答案】C
【分析】
根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质进行判断．
【详解】
A选项：矩形的对角线不一 ( http: / / www.21cnjy.com )定互相垂直，故不符合题意；
B选项：菱形的对角线垂直不一定相等，故不符合题意；
C选项：正方形的对角线互相垂直且相等，故符合题意；
D选项：平行四边形的对角线相等不一定相等，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质．解题关键是熟记平行四边形及特殊的平行四边形的性质．
4．下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角线相等
C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
A.对边相等，是平行四边形的性质，矩形和正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形都具有；B.对角线相等，是矩形的性质，正方形也有；C.四个角都是直角，是矩形的性质，正方形也有；D.对角线互相垂直，是菱形的性质，正方形具有，而矩形没有，故选D.
5．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【分析】
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质与判定分别判别即可．
【详解】
解：．矩形的对角线相等，不一定互相垂直平分，故说法错误；
．对角线相等的菱形是正方形，正确；
．两邻边相等的四边形不一定是菱形，故说法错误；
．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故说法错误；
故选：．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质与判定，熟悉相关性质是解题的关键．
6．如图，矩形纸片ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．cm B．cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【分析】
根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB1为正方形，得到BE＝AB，根据EC＝BC﹣BE计算得到EC，再根据勾股定理可求答案．
【详解】
解：∵∠AB1E＝∠B＝90°，∠BAB1＝90°，
∴四边形ABEB1为矩形，
又∵AB＝AB1，
∴四边形ABEB1为正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴EC＝BC﹣BE＝2cm，
∴CB1＝cm．
故选B．
【点睛】
本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质及矩形、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．下列命题中正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【分析】
根据平行四边形及特殊的平行四边形的定义或性质可以得到解答．
【详解】
A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误．
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的定义或性质，对有关定义和性质在理解的基础上并熟记是解题关键．
8．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
【答案】C
【分析】
根据矩形、正方形和菱形的性质，得出结论即可．
【详解】
解：A、对角线互相垂直是菱形和正方形具有 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，矩形不一定具有，不符合题意；
B、对角线互相平分是菱形、矩形和正方形共有的性质，不符合题意；
C、对角线长度相等是矩形和正方形具有的性质，菱形不一定具有，符合题意；
D、一组对角线平分一组对角是菱形和正方形具有的性质，矩形不一定具有，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形、正方形和菱形的性质；熟练掌握矩形、正方形和菱形的对角线上的性质是解决问题的关键．
9．顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
作出图形，根据三角形的中位线平行 ( http: / / www.21cnjy.com )于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【详解】
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E，F，G，H是中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，
∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查菱形的性质与判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位线定理．
10．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
可分别由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等进行判断．
【详解】
解：①由平行四边形的判定可知A正确；
②由矩形的判定可知B正确；
③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确；
④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用平行四边形的判定与性质等．2-1-c-n-j-y
11．下列命题中，真命题是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直平分且相等 D．平行四边形的对角线平分一组对角
【答案】C
【分析】
根据特殊平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】
解：A、矩形的对角线相等，但不一定垂直，错误；
B、菱形的对角线垂直，但不一定相等，错误；
C、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；
D、平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角，错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了特殊平行四边形的性质．掌握特殊的平行四边形的性质是解题的关键．
12．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
13．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的性质，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质对各个命题分别判断，即可得出答案．
【详解】
解：A、平行四边形对角线互相平分，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，故本选项错误；
C、菱形的对角相等，故本选项错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义，能根据有关性质与判定对命题的真假进行判断是关键．21教育名师原创作品
14．任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC=20cm，BD=30cm，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
【答案】D
【分析】
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可．
【详解】
∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点，
∴HGAC，EFAC，GF=HEBD．
又∵AC=20cm，BD=30cm，
∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE（AC+AC+BD+BD）=AC+BD=50cm．
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了中点四边形，三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
15．在一个棱长为的正方体的个角上，各锯下一个棱长为的正方体，现在它的表面积和原来比（ ）
A．不变 B．减少 C．增加 D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据几何体表面积的性质求解即可．
【详解】
∵每个角锯下的表面积=每个角新增面积=3个边长为1cm的正方形的面积
∴现在它的表面积和原来比不变
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了几何体表面积的问题，掌握几何体表面积的性质是解题的关键．
16．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
【答案】A
【分析】
根据正方形的性质以及判定定理对各项进行分析即可．
【详解】
A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定；
B. AB∥CD，AC＝BD，不能判定；
C. AD∥BC，∠A＝∠C，不能判定；
D. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，不能判定；
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键．
17．下列说法中正确的是( )
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【分析】
运用正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定可求解．
【详解】
解：A、有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形（如梯形），故该选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如梯形的对角线也可能垂直），故该选项错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确；
D、对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形（如菱形），故该选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，灵活运用这些判定定理是解决本题的关键．
18．如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】
根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．
【详解】
解：设CD、B′C′相交于点M，连接AM，DM＝x，
∵将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，
∴∠MAD＝30°，AM＝2x，
在△ADM中，x2+3＝4x2，
解得：x＝1，
∴SADMB′＝，
∴图中阴影部分面积为：3﹣．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．
19．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直 B．对角线互相平分
C．四个角都是直角 D．对角线相等
【答案】B
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的性质即可解答．
【详解】
解：对角线垂直，是菱形和正方形才有的性质，故A错误；
对角线互相平分是矩形、菱形、正方形都有的性质，故B正确；
四个角都是直角，是矩形和正方形才有的性质，故C错误；
对角线相等，是矩形和正方形才有的性质，故D错误；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
20．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【详解】
略
21．如图，正方形ABCD的对角线A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】
解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【分析】
A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．21教育网
23．如图，正方形在平面直用坐标系中．点的坐标为，点，在轴上．将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】D
【分析】
先求出正方形的边长以及对称中心的坐标，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵正方形在平面直用坐标系中．点A的坐标为，点，在轴上，
∴正方形的边长=4，
∴正方形原来的对称中心坐标为（-4，2），
∴向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，点成为新正方形的对称中心，
故选D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，点的坐标以及平移变换，找出原来正方形的对称中心坐标，是解题的关键．
24．对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
【答案】B
【分析】
根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件即可选择．
【详解】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B符合题意；
对角线互相平分且相等的是矩形，故C不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行四边形以及特殊的平行四边形的判定．理解各四边形的判定条件是解答本题的关键．
25．有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
结合空间思维，分析折叠的过程及剪虚线的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
【详解】
由条件可知，减掉的部分位置应 ( http: / / www.21cnjy.com )在正方形中心位置，所以A、C排除，再根据虚线和正方形边的位置关系是不平行的，所以D项符合；本题也可以通过动手操作的方式进行解答和验证；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
26．如图，四边形是正方形，是坐标原点，对角线，分别位于轴和轴上，点的坐标是，则正方形的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】
正方形的对角线互相平分且相等且垂直，所以根据点D的坐标知道OD的长度，然后在直角三角形中计算CD的长度，从而推算出周长即可．
【详解】
四边形ABCD是正方形，且点
，
在中，，
既，
，
∴正方形的周长为．
故答案为：
【点睛】
本题考查正方形的性质，能够根据条件计算出正方形的边长是解题关键．
27．如图，正方形的边长为4，点、分别为、的中点，点是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】
作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形的周长最小，即最小，再利用三角形三边关系解题即可．
【详解】
解：如图，作关于的对称点，连接交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故点与点重合时，
四边形的周长最小，
即最小，
和关于对称，
则
连接，同样，
而，即
所以当与重合时，
四边形周长最小，即为，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，若打开后得到一个正方形纸片，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】
根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到答案．
【详解】
解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角， ( http: / / www.21cnjy.com )是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故选C．
【点睛】
本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
29．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
【答案】C
【分析】
根据矩形、菱形和正方形的判定一一判断即可．
【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为假命题；
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故为真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故为假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形、菱形和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
30．如图所示，正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边长为2，以对角线AC为一边作菱形AEFC，AF与BC交于G点，则∠BCE的度数与BE的长分别为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30°，2－2 B．30°，2－1 C．22.5°，2－2 D．22.5°，2－1
【答案】C
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得，根据菱形的四条边都相等可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据计算即可得解；再根据正方形的对角线等于边长的倍求出，然后根据计算即可得解．
【详解】
解：在正方形中，，
四边形是菱形，
，
，
，
正方形的边长为2，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记两图形的性质并准确识图是解题的关键．
31．在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为，的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据正方形的性质及图像中的关系求出大正方形的边长，再根据面积公式记得得出答案．
【详解】
解：由图得，大正方形的边长为：，
空白部分的面积为：，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
32．如图，四边形是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据勾股定理及正方形的性质即可得出OA的值，从而得出答案．
【详解】
解：四边形是正方形，
，
正方形边长为8，
点A的坐标为
故选C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
33．已知：如图，正方形面积为，其边长是，则关于的结论中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．正方形的对角线长是 B．的平方根是
C．是有理数 D．不能在数轴上表示
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的意义，无理数的意义，实数与数轴的关系，可得答案．
【详解】
解：由题意，得，则，
A、正方形的对角线长是，故A符合题意；
B、x是8的算术平方根，故B不符合题意；
C、是无理数，故C不符合题意；
D、x能在数轴上表示出来，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，实数与数轴，算术平方根的意义，无理数的意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
34．将图1所示七巧板的其中几块，拼成如图2所示的一个四边形，则该四边形的最短边与最长边之比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设小正方形边长为，分别表示出四边形的各边长，然后找到最长边和最短边再进行比较即可．
【详解】
设小正方形边长为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
，
，
∴最长边为AD，最短边为CD，
∴最短边与最长边之比为，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和勾股定理，找到最长边和最短边是关键．
35．如图，在正方形外侧作直线，点C关于直线的对称点为M，连接，．其中交直线于点N．若，则当时，正方形的边长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
根据对称的性质可知，，推出，推出，求出即可解决问题．
【详解】
解：如图所示，连接、、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点C关于直线的对称点为M，
∴CN=MN，CD=DM，
∴∠NCM=∠NMC，∠DCM=∠DMC，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴正方形的边长．
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现△ANC是直角三角形，属于中考常考题型．【来源：21cnj*y.co*m】
36．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形-菱形→矩形 D．正方形→菱形→平行四边形→矩形
【答案】B
【分析】
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【详解】
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点睛】
考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握相关知识是解题的关键．
37．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据翻折得到，，在中，可利用勾股定理求出FM的值．
【详解】
解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理得：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
38．如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】
连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答．
【详解】
解：连接AC、BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵在△DAC中，G、H为CD、DA的中点，
∴HG∥AC，且HG＝AC，
在△BAC中，E、F为AB、BC的中点，
EF∥AC，且EF＝AC，
∴HG∥EF，且HG＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EH＝EF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键．
39．如图，四边形OABC是正方形，若点B的坐标为（0，），则点A的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．（1，1） D．
【答案】A
【分析】
根据正方形的性质解答即可．
【详解】
解：∵四边形OABC是正方形，
∴对角线相等垂直平分，每一条对角线平分一组对角，
∴点A的纵横坐标相等，
∵点B的坐标为（0，），
∴点A的坐标是 ．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
40．如图，在正方形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E为CD上的一点，连接BE，若∠EBC=20°，将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC，连接EF，则∠EFD的度数为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【分析】
根据旋转的性质得到∠EBC=∠FDC，CE=CF，结合三角形的外角定理求解即可．
【详解】
由旋转得：∠EBC=∠FDC=20°，CE=CF，
∵∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=45°，
根据三角形的外角定理得：∠EFD=∠CEF-∠FDC=45°-20°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，理解旋转变化的基本性质是解题关键．
二、填空题
41．如图，已知正方形的对角线长为，点O为正方形的对称中心，将正方形沿过点O的直线折叠，则图中阴影部分四个三角形周长的和为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】16
【详解】
如解图，设正方形的边长为a，则，解得．由翻折变换的性质可知，阴影部分的周长和．
( http: / / www.21cnjy.com / )
42．如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．若点是直线上的一个动点，则的最小值______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出四边形DAD′E是平行四边形，然后根据菱形的判定定理得到 DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=，DG=，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，AD=AD′，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∵AD=AD′，
∴四边形DAD′E是菱形，
∴D与D′关于AE对称，
连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，
过D作DG⊥BA于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD∥AB，
∴∠DAG=∠CDA=60°，
∵AD=1，
∴AG=，DG=，
∴BG=，
∴BD==，
∴PD′+PB的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21世纪教育网版权所有
43．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
由正方形的性质先求解的长，再结合图②可得：是等腰直角三角形，可得
【详解】
解：如图，在正方形中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
结合图②可得：是等腰直角三角形，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了七巧板，正方形的性质，勾股定理的应用，关键是得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形的边长与七巧板中图形的边长的关系．21*cnjy*com
44．如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4．
【分析】
连接BD，根据中位线性质求出BD，再根据正方形对角线相等可求AC．
【详解】
解：连接BD，
∵分别是的中点，
∴BD=2EF=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=4；
故答案为：4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查正方形的性质和中位线性质，解题关键是连接对角线，构建中位线．
45．把图1中边长为10的菱形沿对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【分析】
先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．
【详解】
解：如图1所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是菱形，AC=16，AD=10，
∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，
OB=OD=，
∴BD=2OD=12，
∴菱形的面积=×12×16=96，
图2正方形的面积=，
∴阴影的面积=-96=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
三、解答题
46．在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在图1中，以为边画一个格点正方形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在图2中，以为边画一个面积为6的格点四边形．
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据AB的长度为，在边长为3和1的直角三角形中，在同样的格点中找到边长为3和1的直角三角形，则斜边即为正方形的BC、CD、AD边；21cnjy.com
（2）以BC为底且长为2，高为3的平行四边形即为所求．
【详解】
（1）如图，正方形即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图，四边形即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，正方形的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
47．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD；
（2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据已知条件得到四边形ABCD是菱形．求得BC=CD．得到BE=2BC，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD ( http: / / www.21cnjy.com )=BC，AD∥BE，求得AD=CE，AD∥CE，推出平行四边形ACED是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=CD．
又∵CE=BC，
∴BE=2BC，
∴BE=2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BE，
又∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
又∵CA=CB，
∴CA=CE，
∴矩形ACED是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
48．如图，在等边下方作一个正方形，连接，．
（1）求证：≌；
（2）求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用等边三角形的性质和正方形的性质可得∠ABC=∠AED=150°，由“SAS”可证△ABC≌△AED；
（2）首先得出∠BAC=∠EAD=15°，由三角形的外角性质可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵正方形中，，，
等边中，，，
∴，，
∴，
∴≌（SAS）；
（2）∵正方形中，，
等边中，，
∴，
∴，
又由（1）得：，
∴由三角形内角和定理可知：∠BAC=∠EAD=15°，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABC≌△AED是解题关键．
49．如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且连接和相交于点M．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析．
【分析】
由题意易得出，即易证，推出．由，即可推出，即得到，从而证明了．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，，
∴，
∴在和中，，
∴．
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
50．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AE=AB，过E作EF⊥AC，交BC于点F．求证：BF=EF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】证明见解析．
【分析】
如图连接AF．利用“HL”证明△AFE≌△AFB即可解决问题．
【详解】
解：如图连接AF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，且FE⊥AC，
∴∠AEF=∠B=90°，
在Rt△AFE和Rt△AFB中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AFB(HL)，
∴BF=EF．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
51．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．
（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】
（1）作正方形的对角线，对角线交点即为所求；
（2）先找到对角线交点O，再连接EO并延长EO交CD于H，连接AH，并延长交BC延长线于F，连接DF，△CFD即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示，点O即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图所示，△CFD即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查作图-旋转变换，熟悉相关性质是解题的关键．
52．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个四边形，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．
（2）在图②中画一个面积为16的四边形，使该四边形只是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．
（3）在图③中画一个四边形，使，且点O在所画四边形的边上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意，画一个正方形，即可；
（2）根据题意，画一个平行四边形，即可；
（3）画一个四边形，使一个内角等于90°，且且点O在所画四边形的边上，即可．
【详解】
（1）如图①．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图②．
（3）答案不唯一，如图③、图④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和特殊平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质以及中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握平行四边形是中心对称图形，正方形和菱形是轴对称图形和中心对称图形，是解题的关键．
53．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
先证∠AEB＝∠CFD，再根据AAS证△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
,
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．
54．如图，是正方形的对角线，点在内部，连接，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据正方形的性质可知，由可得，进而可得答案．
【详解】
解：四边形是正方形，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，掌握正方形的对角线平分对角线是解题的关键．
55．如图，两只蚂蚁分别位于一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形相邻的两个顶点A，B上，它们分别沿AE，BF的路线向BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】相等，理由见解析．
【分析】
根据题意得出△ABE≌△BCF（SAS），可得AE＝BF，进而得出答案．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵∠CBF+∠ABO＝90°，
∴∠EAB+∠ABO＝90°，
∴∠CBF＝∠EAB，
在△BFC和△AEB中
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴AE＝BF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
56．如图，在ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
先作∠BAC的平分线交BC于F，再作AF的垂直平分线交AB于E，交AC于G，则四边形AEFG为正方形．
【详解】
解：如图，正方形AEFG为所作．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在 ( http: / / www.21cnjy.com )五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
57．如图，、是正方形的对角线上的两点，．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见详解
【分析】
由题意易得，，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质可求证．
【详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（AAS），
∴．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
58．（1）如图1，在的方格中，正方形，边长均为1，求出正方形的对角线的长，并将正方形，剪拼成一个大正方形，在图2中画出示意图．
（2）如图3，有5个小正方形（阴影部分），能剪拼成一个大正方形吗？若能，求出大正方形的边长；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）AC=，画图见解析；（2）能，
【分析】
（1）利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）能拼成正方形，正方形的边长为．
【详解】
解：（1）正方形ABCD的对角线AC=，
如图2中，正方形PQMN即为所求作．
（2）能，拼成正方形，边长为，如图3所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【出处：21教育名师】
59．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC
【分析】
（1）由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；
（2）当AB=BC时，四边形AM ( http: / / www.21cnjy.com )CN是正方形；根据四边形ABCD是平行四边形，AB=BC即可得出四边形ABCD是菱形，再由（1）可知四边形AMCN是矩形；从而得出结论；
【详解】
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；
60．如图，四边形是正方形，△ABE旋转后能与△ADF重合，连接，请判断△ABD的形状，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】
由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，得出AF=AE，∠FAB=∠DAE，则∠FAE=∠DAB=90°．
【详解】
解：等腰直角三角形．
理由：∵旋转后能与重合，
∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
61．图1，图2，图3，图4都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长均为1．在图1，图2，图3中已画出线段，在图4中已画出点，按下列要求画图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图1中，以格点为顶点，为一边画一个等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，为一边画一个平行四边形；
（3）在图3中，以格点为顶点，为一边画一个正方形；
（4）在图4中，以点为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）根据勾股定理，结合网格结构．以B为圆心，AB长为半径画圆，可以画出3个；以A为圆心，AB长为半径画圆，可以画出2个
（2）利用平移先AB向下平移一个格得 ( http: / / www.21cnjy.com )一个平行四边形ABCD，再把CD向右平移1个格或2个格；AB向下平移2个格得CD，再把CD向右平移1个格或2个格；，把AB向下平移3个格的CD，再把CD向右平移1个格或2个格；一共有9个平行四边形
（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；
（4）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
【详解】
解：（1）如图，符合条件的C点有5个：
( http: / / www.21cnjy.com / )；
（2）如图共有三类符合条件的CD共有9条，每类情况CD向右平移1个单位如第4个图，平移2个单位如第5个图，平行四边形ABCD共有九个
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图，利用旋转作图，以A点为圆心，AB=为半径顺时针旋转90°得AD，在以B为圆心，AB长为半径逆时针旋转90°，得BC，连结CD，则四边形ABCD为正方形，正方形ABCD即为满足条件的图形：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
此时正方形的面积为（）2=10．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形性质，以及正方形的性质是解题的关键所在．
62．如图，已知中，，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据同角的余角相等，证明，然后根据正方形的性质，得出边相等，由三角形全等的判定条件SAS即可证明
（2）由（1）中全等的性质以及勾股定理求出DG的长，根据正方形的性质：对角线相等即可求解
（3）根据SAS证明，然后根据全等的性质，在直角△GFC根据勾股定理即可求解
【详解】
（1）证明：四边形是正方形
，
在和中
故答案为
（2），，
在中
由（1）知，
，
连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中
四边形是正方形
故答案为
（3）如图所示，连接FG
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是正方形
，
由（1）知，
，，
在和中
设，则
由（2）知
在中
，
的值为或．
故答案为或
【点睛】
本题主要考察三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键
63．如图，已知正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD，点E是AB上的一点，连接CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连接DG．求证：△CBE≌△CDG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
根据正方形的性质可得CB＝CD，CE＝CG， ∠BCD＝∠ECG＝90°，再由等式性质可得∠BCE＝∠DCG，即可证明△CBE≌△CDG．
【详解】
证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴CB＝CD，CE＝CG， ∠BCD＝∠ECG＝90°．
∴∠BCD﹣∠DCE＝∠ECG﹣∠DCE．
∴∠BCE＝∠DCG．
∴△CBE≌△CDG．（SAS）
【点睛】
本题主要考查了正方形性质的应用，熟练掌握正方形的性质与三角形的全等判定方法是解答此题的关键．
64．如图1、2是两个斜边比为的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与、交于点，，如图4，请直接写出，，之间的关系：________；
（2）若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，，如图5，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图6，在正方形中，、分别是边、上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，、分别与对角线交于、，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）结论仍然成立，见解析；（3）线段、、能构成直角三角形的三边长，见解析
【分析】
（1）连接CD，由条件得到点D为AB中点，则，可证明，得到CF=AE，CE=BF，结合即可解题；
（2）把绕点顺时针旋转90°，得到，根据旋转的性质得到CF=CG，AG=BF，，，可证明，得到GE=EF，即可得到结论仍然成立；
（3）把绕点顺时针旋转90°得到，根据旋转的性质得到，，，，，再结合题目已知条件的周长等于正方形的周长的一半，得到EF=BE+DF，进而可得EF=EP，继而证明，得到MN=QM，继而证明，可得，据此解题即可．
【详解】
（1）连接CD，如图，由图3可知，点D为AB的中点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
又
同理可得，
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
把绕点顺时针旋转90°，得到，如图5，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，，，
∴，而，
∴，
∴，
∴，∴，
在中，，
∴；
（3）线段、、能构成直角三角形的三边长．
理由如下：把绕点顺时针旋转90°得到，点的对应点为，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，
，，，
∵的周长等于正方形的周长的一半，
∴，∴，
∴，∴，
而，∴，∴，
而，，∴，
∴，∴．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【版权所有：21教育】
65．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
求证：（1）△BCP ≌△DCP；
（2）∠DPE ＝∠ABC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后根据等角的余角得出∠DPE= 90°，从而得证；
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴BC=DC，∠ACB ＝∠ACD ，∠ABC ＝ 90°
又∵PC = PC
∴△BCP ≌△DCP．
（2）∵PE＝PB，
∴∠E ＝∠PBE ，
∵△BCP ≌△DCP ，
∴∠PBE ＝∠PDC ，
∴∠E ＝∠PDC ，
∵∠E ＋∠1 ＝ 90°，∠1 ＝ ∠2
∴∠PDC ＋∠2 ＝ 90°
即∠DPE ＝ 90°
∴∠DPE ＝∠ABC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键．
66．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（），连接AE，过点E分别作交BC于点F，交BC的延长线于点G．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
由正方形的性质得AD＝AB，∠ABD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠CBD＝45°，由EG⊥BD得∠G＝∠CBD＝45°即得EB＝EG，根据∠AEF＝∠BEG＝90°得∠AEB＝∠FEG，由“AAS”可证△ABE≌△FGE，可证FG＝AB．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝45°．
∵EG⊥BD，
∴∠G＝∠CBD＝45°．
∴EB＝EG，∠G＝∠ABD．
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠BEG＝90°．
∴∠AEF－∠BEF＝∠BEG－∠BEF．
即∠AEB＝∠FEG．
∴△ABE≌△FGE（AAS）．
∴FG＝AB．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
67．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】10cm
【分析】
先根据条件判定两三角形全等，再对应三角形全等条件求解．
【详解】
解：∵CE⊥DF，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠CDF=∠BCE，
在正方形ABCD中
又∵BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE=DF，
∵CE=10cm，
∴DF=10cm．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形对的性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，再对应三角形全等条件求解．
68．如图，将绕着点顺时针旋转得到，射线与相交于点，，求证：四边形为正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
由题意易得∠D=∠ABC=∠BAD=90°，则有四边形ABCD是矩形，然后由AB=AD可求证．
【详解】
证明：∵将绕着点顺时针旋转得到，
∴，
∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，
∵∠D=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
【点睛】
本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
69．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：EA是∠QED的平分线；
（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；
（2）由全等三角形的性质可得QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，再结合勾股定理得出答案．
【详解】
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中，
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠ABQ＝45°，
∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，
∴EF＝．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AQE≌△AFE是解题关键．
70．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM=CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=___时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形MENF是菱形，证明见解析；（3） 2：1
【分析】
（1）由题意易得∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，则有△ABM≌△DCM，则根据全等三角形的性质可求证；
（2）由题意易得，则有四边形MENF是平行四边形，进而可求EN=NF，然后根据菱形的判定可求解；
（3）由题意易得△ABM是等腰直角三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )则有∠AMB=45°，同理可得∠DMC=45°，进而可得∠EMF=90°，然后由（2）及正方形的判定定理可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC．
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM；
（2）四边形MENF是菱形，理由如下：
∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点，
∴，
∴四边形MENF是平行四边形，
同理可得：，
∵BM=CM，
∴EN=NF，
∴四边形MENF是菱形；
（3） 当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形；
理由如下：
∵AD：AB=2：1，M是AD的中点，
∴AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°，
由（2）得：四边形MENF是菱形，
∴四边形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线、矩形的性质及菱形、正方形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线、矩形的性质及菱形、正方形的性质与判定是解题的关键．
71．如图，在正方形中，为上一点，为边延长线上一点，使绕点顺时针旋转至．试猜想与之间有怎样的关系？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】垂直且相等
【分析】
延长BE，与DF交于点G，由旋转得到△BCE ( http: / / www.21cnjy.com )≌△DCF，从而得到BE=DF，∠CBE=∠CDF，再证明∠CBE+∠F=90°，即可得到∠BGF=90°，可得结论．
【详解】
解：延长BE，与DF交于点G，
由于旋转可得：
△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，BE=DF，
∵∠CDF+∠F=90°，
∴∠CBE+∠F=90°，
∴∠BGF=90°，
即BE⊥DF，
故BE和DF之间的关系是：垂直且相等．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是根据旋转得到三角形全等．
72．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）48
【分析】
（1）直接利用全等三角形的判定与性质，再结合菱形的判定方法得出答案；
（2）利用菱形的性质得出四边形AEFD的面积．
【详解】
（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵四边形ABOC是正方形，
∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝Rt∠．
∵点D，E是OB，OC的中点，
∴CE＝BD，
在△ACE和△ABD中
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，
∴ AEFD是菱形．
（2）解：如图，连结DE．
∵S△ABD＝AB BD＝×8×4＝16，
S△ODE＝OD OE＝×4×4＝8，
∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2 S△ABD﹣S△ODE
＝64﹣2×16﹣8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出△ACE≌△ABD是解题关键．
73．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（ ( http: / / www.21cnjy.com )2）当△ABC满足∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是菱形；（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是正方形．
【分析】
（1）由两直线平行，内错角相等，得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD，进而证明△AEF≌△DEB（AAS），再由全等三角形对应边相等性质，解得AF=DB，结合AD是BC边中线，解得AF=DC，最后根据一组对边平行且相等可证明四边形ADCF为平行四边形；www.21-cn-jy.com
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解题，即当三角形ABC是直角三角形时，斜边中线等于斜边的一半即可判定；
（3）根据有一个直角的菱形是正方形解题，当且时，由三线合一性质，可解题．
【详解】
（1）证明：∵AFBC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD，
在AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
又∵AFDC，
∴四边形ADCF为平行四边形．
（2）当△ABC满足∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是菱形；
AD是斜边BC的中线，
又四边形ADCF是平行四边形
四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是正方形．
∠BAC＝90゜，AD是BC边的中线，
又四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF为菱形，
∴四边形ADCF为正方形．
【点睛】
本题考查特殊平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，其中涉及平行线的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
74．如图，BD 是正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的对角线，BC=2, 边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.
【答案】（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP；OA⊥OP；证明见解析.
【分析】
（1）根据正方形性质和平移得：AD∥PQ，AD＝PQ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：APQD是平行四边形；
（2）OA⊥OP，OA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )OP，理由是：根据SAS证明△ABO≌△PQO，得OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，再根据∠BOQ＝90°，得∠BOP＋∠AOB＝90°，得出结论．
【详解】
（1）四边形APQD是平行四边形，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
由平移得：BC＝PQ，
∴AD∥PQ，AD＝PQ，
∴四边形APQD是平行四边形；
（2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP．
【点睛】
本题考查了正方形和平移的性质，明确正方形的各 ( http: / / www.21cnjy.com )边相等且平行，每个角都是90°，且一条对角线平分一组对角；在证明两条线段的位置关系时，要分别说出位置和大小关系，根据全等三角形的性质得出即可．
75．如图，是的中线，，交于点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当，之间满足______时，四边形是矩形并证明；
（3）当，之间满足_____时，四边形是正方形并证明．
【答案】（1）证明见详解；（2）当AB=AC时，四边形ADCE是矩形，证明见详解；（3）当AB=AC且时，四边形ADCE是正方形，证明见详解．
【分析】
（1）由题目条件易证，由全等的性质及已知条件可知AE=BD=DC，然后问题得证；
（2）由（1）可知，只需添加AB=AC即可得到，进而问题得证；
（3）由（2）可知添加AB=AC是矩形，所以只需添加即可得证．
【详解】
（1）证明：，
，
AE=BD，
是的中线，
BD=DC=AE
四边形是平行四边形；
（2）添加AB=AC，四边形ADCE是矩形；理由如下：
AB=AC，
，即
四边形是平行四边形，
平行四边形ADCE是矩形；
（3）添加AB=AC且，四边形ADCE是正方形；理由如下：
由（2）知当AB=AC时四边形ADCE是矩形，
，是的中线，
AD=DC=BD，
矩形ADCE是正方形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定、矩形的判定及正方形的判定，由题意先证三角形全等及熟练掌握判定方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 正方形的性质与判定
【基础训练】
一、单选题
1．下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．正方形的对角线相等且互相垂直平分
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．下列命题是真命题的是（ ）．
A．任何数的0次幂都等于1
B．顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形
C．图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直且相等 D．平行四边形的对角线相等
4．下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角线相等
C．四个角都是直角 D．对角线互相垂直
5．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．cm B．cm C．8cm D．10cm
7．下列命题中正确的是（ ）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
9．顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上都不对
10．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
11．下列命题中，真命题是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直平分且相等 D．平行四边形的对角线平分一组对角
12．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
13．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分
14．任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC=20cm，BD=30cm，则四边形EFGH的周长是（ ）21·cn·jy·com
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
15．在一个棱长为的正方体的个角上，各锯下一个棱长为的正方体，现在它的表面积和原来比（ ）
A．不变 B．减少 C．增加 D．无法确定
16．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
17．下列说法中正确的是( )
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
18．如图，将边为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．3
19．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直 B．对角线互相平分
C．四个角都是直角 D．对角线相等
20．正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
21．如图，正方形ABCD的对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C．2 D．
22．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
23．如图，正方形在平面直用坐标系中．点的坐标为，点，在轴上．将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
24．对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
25．有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
26．如图，四边形是正方形，是坐标原点，对角线，分别位于轴和轴上，点的坐标是，则正方形的周长是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．12 C． D．
27．如图，正方形的边长为4，点、分别为、的中点，点是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B． C．8 D．
28．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，若打开后得到一个正方形纸片，剪切线与折痕所成的角的大小等于（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．90° B．60° C．45° D．30°
29．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
30．如图所示，正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为2，以对角线AC为一边作菱形AEFC，AF与BC交于G点，则∠BCE的度数与BE的长分别为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30°，2－2 B．30°，2－1 C．22.5°，2－2 D．22.5°，2－1
31．在一个大正方形上，按如图所示的方式粘贴面积分别为，的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
32．如图，四边形是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
33．已知：如图，正方形面积为，其边长是，则关于的结论中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．正方形的对角线长是 B．的平方根是
C．是有理数 D．不能在数轴上表示
34．将图1所示七巧板的其中几块，拼成如图2所示的一个四边形，则该四边形的最短边与最长边之比为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
35．如图，在正方形外侧作直线，点C关于直线的对称点为M，连接，．其中交直线于点N．若，则当时，正方形的边长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．5 C． D．
36．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形-菱形→矩形 D．正方形→菱形→平行四边形→矩形
37．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．
38．如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
39．如图，四边形OABC是正方形，若点B的坐标为（0，），则点A的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．（1，1） D．
40．如图，在正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，E为CD上的一点，连接BE，若∠EBC=20°，将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC，连接EF，则∠EFD的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题
41．如图，已知正方形的对角线长为，点O为正方形的对称中心，将正方形沿过点O的直线折叠，则图中阴影部分四个三角形周长的和为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
42．如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．若点是直线上的一个动点，则的最小值______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
43．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
44．如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
45．把图1中边长为10的菱形沿对角线分 ( http: / / www.21cnjy.com )成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
46．在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在图1中，以为边画一个格点正方形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在图2中，以为边画一个面积为6的格点四边形．
（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
47．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD；
（2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
48．如图，在等边下方作一个正方形，连接，．
（1）求证：≌；
（2）求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
49．如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且连接和相交于点M．求证：．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
50．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AE=AB，过E作EF⊥AC，交BC于点F．求证：BF=EF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
51．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．
（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
52．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个四边形，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．
（2）在图②中画一个面积为16的四边形，使该四边形只是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．
（3）在图③中画一个四边形，使，且点O在所画四边形的边上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
53．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：AE＝CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
54．如图，是正方形的对角线，点在内部，连接，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
55．如图，两只蚂蚁分别位于一个 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形相邻的两个顶点A，B上，它们分别沿AE，BF的路线向BC和CD爬行，如果AE和BF相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
56．如图，在ABC中，∠A＝90°，请用尺规作图法，求作正方形AEFG，使E在AB边上，F在BC边上，G在AC边上．（保留作图痕迹，不写作法）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
57．如图，、是正方形的对角线上的两点，．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
58．（1）如图1，在的方格中，正方形，边长均为1，求出正方形的对角线的长，并将正方形，剪拼成一个大正方形，在图2中画出示意图．
（2）如图3，有5个小正方形（阴影部分），能剪拼成一个大正方形吗？若能，求出大正方形的边长；若不能，请说明理由．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
59．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
60．如图，四边形是正方形，△ABE旋转后能与△ADF重合，连接，请判断△ABD的形状，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
61．图1，图2，图3，图4都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长均为1．在图1，图2，图3中已画出线段，在图4中已画出点，按下列要求画图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图1中，以格点为顶点，为一边画一个等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，为一边画一个平行四边形；
（3）在图3中，以格点为顶点，为一边画一个正方形；
（4）在图4中，以点为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
62．如图，已知中，，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
63．如图，已知正方形ABCD， ( http: / / www.21cnjy.com )点E是AB上的一点，连接CE，以CE为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连接DG．求证：△CBE≌△CDG．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
64．如图1、2是两个斜边比为的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与、交于点，，如图4，请直接写出，，之间的关系：________；
（2）若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，，如图5，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图6，在正方形中，、分别是边、上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，、分别与对角线交于、，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．www.21-cn-jy.com
65．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
求证：（1）△BCP ≌△DCP；
（2）∠DPE ＝∠ABC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
66．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（），连接AE，过点E分别作交BC于点F，交BC的延长线于点G．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
67．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若CE=10cm，求DF的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
68．如图，将绕着点顺时针旋转得到，射线与相交于点，，求证：四边形为正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
69．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：EA是∠QED的平分线；
（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．
70．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM=CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=___时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
71．如图，在正方形中，为上一点，为边延长线上一点，使绕点顺时针旋转至．试猜想与之间有怎样的关系？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
72．如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
73．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连结CF．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
74．如图，BD 是正方形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的对角线，BC=2, 边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明.
75．如图，是的中线，，交于点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当，之间满足______时，四边形是矩形并证明；
（3）当，之间满足_____时，四边形是正方形并证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
