第03讲 正方形的性质与判定(提升训练)(原卷版+解析版)

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第03讲 正方形的性质与判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
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A．5 B．10 C． D．8
【答案】A
【分析】
过点C作，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，当时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点C作，交AB的延长线于H，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，
当时，PQ有最小值，即直线与直线的距离为，
，
，
，
，
,
解得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
2．如图，在四边形中，于点E，且，则四边形的面积为（ ）
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A．16 B．24 C．28 D．32
【答案】D
【详解】
如解图，过B点作，与的延长线交于点四边形是矩形，，在和中，，
．∴四边形是正方形，又，．故选D．
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3．如图，在正方形中，依据尺规作图痕迹，若，则（ ）
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A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
由尺规作图痕迹可得为边上的高线，∵四边形是正方形，．
4．一张正方形纸片按如图①、图②依次对折后，再按如图③虚线裁剪，最后把得到的图④展开铺平，所得到的图形是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【详解】
略
5．图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位．
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A．12 B．24 C．32 D．36
【答案】D
【详解】
如解图，由题意知是等腰直角三角形，设，
∵，
∴，
∵最大正方形的面积．
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故选：D．
6．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
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A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．
7．如图，在四边形中，，则的长度为（ ）
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A．8 B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵，∴是等边三角形．∴．如解图，将绕点A逆时针旋转后，与重合，得到，∴．∴是等边三角形，．在中，．过点C作，交延长线于点H，∴．∴是等腰直角三角形．∴．∴．在中，利用勾股定理可得．∴．
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8．如图，在正方形纸片中，E是的中点，将其沿折叠，使点B落在线段上的点G处．若，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设，则，．在中，由勾股定理可得．根据折叠的性质可知，∴．在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，∴，解得．则．
9．如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
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A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
过点作交于点，过点作交于点，根据绕点顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，,设，则，，，根据勾股定理可得，即当时，有最小值．
【详解】
解：如图示：过点作交于点，过点作交于点，
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∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
又∵
∴
∵，四边形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，,
设，则，， ，
在中，，
即当时，有最小值，
∴当时，最小值是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD内，，连接EF，若，两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
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A．17 B．24 C．26 D．32
【答案】B
【分析】
如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，只要证明四边形MENF是正方形，即可解决问题．
【详解】
解：如图延长BF交CE于N，延长DE交AF于M，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，∠BAF=∠DCE，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBN=90°，
∠BAF=∠CBN，同理∠ABF=∠BCN，
∴△ABF≌△CBN，同理△ABF≌△DAM，
∴AF=BN=CE=DM，BF=CN=DE=AM，
∴EM=MF=FN=NE，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠FNE=90°，
∴四边形MENF是正方形，
∵EF=，
∴正方形MENF的面积为=16，
∴正方形ABCD的面积=4×2+16=24，
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的判定和性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH=DF=BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，
∴．
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故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
12．勾股定理是初中数学最重要的定理之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，
【详解】
解：如图1，设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，
如图2，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S3
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，则点F的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点E构造一线三直角全等模型求解即可
【详解】
如图所示，过点E作EA⊥x轴，垂足为A，过点F作FB⊥EA，交AE的延长线于点B，交y轴与点C，
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∵四边形OEFG是正方形，
∴FE=EO，∠FEO=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠AOE=90°，
∴∠FEB =∠EOA，
∴△FEB≌△EOA，
∴FB=EA，EB=OA，
∵E（2，3），
∴FB=EA=3，EB=OA=2，
∵EA⊥x轴，FB⊥EA，OC⊥x轴，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=2，
∴FC=FB-BC=1，BA=EB+EA=5，
∵点F在第二象限，
∴点F（-1，5）
故选A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，点的坐标与象限的关系，熟练构造一线三直角全等模型是解题的关键．
14．如图，正方形ABCD边长为4，点E、F ( http: / / www.21cnjy.com )分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）
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A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可以证明，因为正方形ABCD边长为4，CE=CF=1，根据勾股定理可以得到，又因为点P、Q分别是AF、EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边以及中位线定理可以得到，再根据角的等量转化，证明为直角即可求出DQ的值．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，CE=CF=1，
∴，
∴，且，
∴，
∵点P、Q分别是AF、EF的中点，
∴，，
∴，
∵，,
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、中位线定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握上述知识点，能够将转换为等腰直角三角形是解题的关键．
15．如图，正方形的边长为4，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作点C关于直线AB的对称点N，DN交AB于点P1，利用直角三角形斜边中线的性质求得DM=，为定值，则点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，得到当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，利用勾股定理即可求解．
【详解】
如图，作点C关于直线AB的对称点N，连接PN、BN、DN，
DN交AB于点P1，
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∵点C、点N关于直线AB对称，
∴PC=PN，
∵△DEF是直角三角形，M是EF的中点，且EF=3，
∴DM=EF=，为定值，
∴点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，
∵DM+PM+PC= DM+PM+PNDN，
∴当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，
∴PM+PC的最小值为DN-DM=DN-，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CD=4，CN=8，
∴DN=，
∴PM+PC的最小值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称－最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确找到点P的位置是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，，点E从点D向C以每秒1个单位长度的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于的直线也从点向点以每秒2个单位长度的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）
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A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
过点作，交直线于点，则，从而可得，再根据正方形的性质可得，根据角的和差可得，然后利用定理证得，从而可得，最后根据运动速度可得，由此求解即可得．
【详解】
解：如图，过点作，交直线于点，则，
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四边形是矩形，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形与矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
17．如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，，如下4个结论：；②为中点；③；④．其中正确结论的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①正确．证明∠GCF=∠GCB，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ECD=∠ECF即可；②正确．可以证明BG=GA=FG；③正确．证明AF⊥BF，CG⊥BF即可；④正确．证明EF:EG=2:5，求出△AFE的面积即可．
【详解】
解：如图，连接BF．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠GAE=∠CBG=∠CDE=∠BCD=90°，
由翻折可知：CD=CF，∠CDE=∠CFE=∠CFG=90°，DE=EF=4，∠DCE=∠ECF，
∵∠CFG=∠CBG=90°，CG=CG，CB=CF，
∴Rt△CGB≌Rt△CGF（HL），
∴BG=FG，∠GCF=∠GCB，
设BG=FG =x，
∴∠ECG=∠ECF+∠GCF=（∠DCF+∠BCF）=45°，故①正确，
在Rt△EAG中，∵EG2=EA2+AG2，
∴(4+x)2=82+(12-x)2，
∴x=6，
∵AB=AD=AE+ED=12，
∴AG=BG=6，
∴G为AB中点，故②正确，
∵GF=GA=GB，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF，
∵CB=CF，GB=GF，
∴CG是线段BF的垂直平分线，即CG⊥BF，
∴AF∥CG，故③正确，
∵S△AEG=×6×8=24，EF:FG =4:6=2:3，
∴EF:EG=2:5，
∴S△AFE=×24=，故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于点，以为边作正方形；过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知，直线l是第一、三象限的角平分线，结合A1（1，0），根据勾股定理求出每个正方形的边长，可分别求出正方形、正方形、正方形的面积，从中发现规律．
【详解】
解：∵直线l为函数y=x的图象，
∴
∴．
∴正方形的面积为1；
由勾股定理得，
∴
∴正方形的面积为：
同理可得，
∴正方形的面积为：；…
∵第1个正方形的面积为1=，第2个正方形的面积为，第3个正方形的面积为，…，
∴第n个正方形的面积为：．
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质、正比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象和性质、探索规律等知识点，运用正比例函数的性质是解题的基础，运用勾股定理求每个正方形的边长是关键．
19．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得．
【详解】
解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM=PB，
∴PM=AB，
∵PM==，
故选：A．
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【点睛】
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
20．如图，在边长为12的正方形中，E是上一点，，且，则（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】
延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由 ( http: / / www.21cnjy.com )条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，在R△AEG中，由勾股定理就可以得出GE的长．【版权所有：21教育】
【详解】
解：延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中，，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°，
∴∠ECG=∠FCG．
在△GCE和△GCF中，
∴GCE≌△GCF(SAS)，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；
∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
设AG=x，由（2）可知：GF=GE=16-x．
在Rt△AGE中，由勾股定理，得：x2+64=(16-x)2，
解得：x=6，
∴GE=16-x=16-6=10．
故选：
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
21．如图，四边形和均为正方形，点在对角线上，点在边上，连结和．若知道正方形和的面积，则一定能求出（ ）
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A．四边形的周长 B．四边形的周长
C．四边形的周长 D．四边形的周长
【答案】B
【分析】
根据正方形的性质易证，再根据全等三角形的性质得出，结合各个选项只有四边形的周长是由与确定，从而得出答案．
【详解】
解：四边形和均为正方形，
，
．
四边形的周长
．
因为知道正方形和的面积，
所以它们的边长和对角线均可确定，
即与确定，一定能求出四边形的周长,其他选项不符合；
故B正确．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、．在此运动变化过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为2．其中正确的结论是（ ）
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A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【答案】B
【分析】
连接CF，证明△ADF≌△CEF然后逐项判断．
【详解】
解：连接CF，
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∵△ABC为等腰直角三角形，F为斜边上的中点，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB=AB=，
又∵
∴AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．故①正确，
当D，E为AC，BC中点时，且∠ACB=90°
∴此时四边形CDFE为正方形，故②错误，
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF，
∴S四边形CEFD=S△AFC=，故④正确，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴当DF最小时DE最小，
DF⊥AC时，DF最小为AC=2，
∴DE最小值为，故③错误，
当△CDE面积最大时△EDF面积最小，
△EDF面积最小值为×2×2=2，
∴△CDE面积最大值为S△ACF-2=S△ABC-2=4-2=2．故⑤正确．
综上所述，①④⑤正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的判定，全等三角形与勾股定理的综合应用，解题关键是熟练掌握全等三角形与勾股定理相关知识点．21*cnjy*com
23．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的度数为（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】
如图，根据正方形网格的特征可得∠CBD=45°，根据三角形外角性质即可得答案．
【详解】
如图，
∵的顶点在正方形网格的格点上，
∴∠CBD=45°，
∴=∠CBD=45°，
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故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的性质及三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相等的两个内角的和；根据正方形的性质得出∠CBD的度数是解题关键．
24．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（ ）
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A．3 B．4 C．6或3 D．3或4
【答案】C
【分析】
当为直角三角形时，有两种情况：①当点在矩形内部时，如图1所示，先利用勾股定理求出BD=10，根据折叠的性质得，设AE=x，则，DE=8-x，然后在Rt中运用勾股定理计算出x的值即可；②当点落在边BC上时，如图2所示，此时四边形是正方形，得出AE=AB=6．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠C=90°，AB=6，AD=8
∴
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点在矩形内部时，如图1所示，
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由折叠的性质得，，
设，则，
∴
在Rt中，
∴
解得，x=3
∴AE=3；
②当点落在边BC上时，如图2所示，
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此时四边形是正方形，
∴AE=AB=6
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键．
25．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
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A． B．2 C． D．2
【答案】C
【分析】
连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG＝AB，根据三角形中位线定理得到MN＝FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【详解】
解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
如图所示:
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝，
∴MN＝，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的中位线定理,正确作出辅助线且证出AM＝MG是解题的关键．
26．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接．将绕点A顺时针旋转得到．则下列结论一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根“SAS”可以得到△EAG≌△EAF，从而，本题得以解决．
【详解】
A、B不一定正确；
C.由旋转的性质可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴，
故C正确；
D. ∵AF>AD，AB=AD，
∴AF>AB，
故D错误；
故选C．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，解答本题的关键是证明△EAG≌△EAF．
27．下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，
本选项说法是假命题；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，
本选项说法是真命题；
C、一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，
本选项说法是假命题；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
本选项说法是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了特殊四边形的判定，命题，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．
28．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据图1，在图2中即可画出七巧板中的七块，再根据七巧板的特征，依次得到各块的边长，再相加即可求解．
【详解】
∵图1的总面积为16，
∴正方形的边长为4，
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∴①、②的直角边长为，斜边长为4，
④的短边长为，长边长为2，
③的直角边长为，长边长为2，
⑤为正方形，边长为，
⑥的斜边长为2，直角边长为，
⑦的直角边长为，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图应用与设计作图-七巧板，正方形的性质，解决本题的关键是准确画图，利用勾股定理解决问题．www.21-cn-jy.com
29．明朝人黄伯思为了使餐桌满足更多客人用餐设计了一种《燕几图》（如图2）．它的构造原理是将正方形沿图中虚线分割成六部分（如图1），其中，于M，O是的中点，于N，．将两张图1正方形所分割出来的图形拼成图2中的阴影部分，若图2中空白部分的面积与最中间阴影正方形的面积之比，则图1中的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，，则图2中，中间阴影部分的小正方形的边长为，中间大正方形的边长为，根据空白部分的面积与最中间阴影正方形的面积之比为，构建关系式解决问题即可．
【详解】
解：设，，则图2中，中间阴影部分的小正方形的边长为，中间大正方形的边长为，
由题意：，
整理得或（舍弃），
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
30．如图的正三角形ABC与正方形CDEF ( http: / / www.21cnjy.com )中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（ ）
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A．4 B．5 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
由题意知FP的长度最小值即 ( http: / / www.21cnjy.com )为F到AC的距离，作FM⊥AC，根据题意得正三角形ABC与正方形CDEF的角分别为60°和90°，知∠FCM=30°，由30°的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，
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过点F，作FM⊥AC交AC于点M，
此时FM为FP的最小值，
∵∠ACD＝60°，∠FCD＝90°，
∴∠FCM＝180°﹣∠ACB﹣∠FCD
＝180°﹣60°﹣90°
＝30°，
又∵∠FMC＝90°，
∴MF＝FC＝4，
即PF的长度最小值为4，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质和正三角形的性质，解题关键是熟练掌握30°的直角三角形性质．
31．如图所示，正方形ABCD的面积为16， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
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A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接B ( http: / / www.21cnjy.com )E，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE，而BE是等边△ABE边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，可求出AB的长，从而求出结果．
【详解】
设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D＝P'B，
∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
32．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
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A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】
依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB'=60°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠BEF=180°-∠EFC=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴∠AB'E=30°，
∴B'E=2AE，
设AE=x，则B'E=2x=BE，
∵AB=6，
∴x+2x=6，
解得x=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
33．如图，在正六边形 ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则等于（ ）
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A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【分析】
正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°，即可求∠HBA，根据BH＝BA即可求∠HAB的度数．
【详解】
解：正六边形的每个内角为，正方形每个内角为90°，
∴∠ABC＝120°，∠HBC＝90°，
∴∠HBA＝30°，
又∵HB＝AB，
∴∠HAB＝＝75°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形内角和等腰三角形性质，解题关键是依据多边形内角和公式，求出正方形、正六边形内角度数，熟练运用等腰三角形性质求底角．
34．如图，正方形的边长为，的平分线交于点E，若点P，Q分别是和上的动点．则的最小值是（ ）
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A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再 ( http: / / www.21cnjy.com )过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=32，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=32，
∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4，
故选B．
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【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P'点，题型较好，难度较大．21*cnjy*com
35．如图，在正方形ABCD中，点M，N为 ( http: / / www.21cnjy.com )CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　）
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A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
由△ADM与△DCN全等，得出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CDN＝∠DAM，从而得到∠CDP+∠PMD＝90°，由此得∠APN＝90°，再由直角三角形斜边的中线的性质和勾股定理求出PQ．
【详解】
解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°'
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中AN＝，
PQ＝AN，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21·世纪*教育网
36．如图，RtABC≌RtDCB，其中∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误（ ）
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A．四边形BECF为平行四边形 B．当BF=3.5时， 四边形BECF为矩形
C．当BF=2.5时，四边形BECF为菱形 D．四边形BECF不可能为正方形
【答案】B
【分析】
证明△BOF≌△COE，得到BF=CE，由此判断A选项；利用勾股定理的逆定理判断B选项；利用直角三角形斜边中线的性质定理得到BE=CE，由此判断C选项；利用判断D选项．
【详解】
证明：∵RtABC≌RtDCB，
∴∠ACB=∠CBD，
∴BD∥AC，
∵O为BC中点，
∴OB=OC，
∵∠BOF=∠COE，
∴△BOF≌△COE，
∴BF=CE，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项正确；
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BF=3.5,
∴CE=BF=3.5，AE=1.5，
∵，
∴∠BEC不是直角，故四边形BECF不为矩形，故B选项错误；
当BF=2.5时，则CE=BF=2.5，
∴AE=2.5，
∴AE=CE，
∴，
∴四边形BECF为菱形，故C选项正确；
∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴，
∴四边形BECF不可能为正方形，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定定理，菱形及矩形的判定定理，正方形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟记各判定定理是解题的关键．
37．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（4，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点的坐标为（　　）
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A．（﹣4，4） B．（﹣4，﹣4）
C．（4，﹣4） D．（﹣4，﹣4）
【答案】D
【详解】
∵点B（4，0），
∴OB＝4，
∴OA＝4，
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∴ABOA＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF＝AB＝4，
∴点F（4，4），
由题意可得每8次旋转一个循环，
∴164÷8＝20…4，
∴点的坐标与点F坐标关于原点对称，
∴点的坐标（﹣4，﹣4），
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，正方形的性质，旋转的性质，循环节的规律，灵活运用特殊四边形的性质，准确找到循环节的规律是解题的关键．
38．在矩形中，四边形为正方形，G，H分别是，的中点，将矩形移至右侧得到矩形，延长与交于点M，以K为圆心，为半径作圆弧与交于点P，古代印度几何中利用这个方法，可以得到与矩形面积相等的正方形的边长．若矩形的面积为16，，则的值为（ ）
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A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
由题意得：PB=4，设HP=x，PF=4x，在中，利用勾股定理，列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：由题意得：PB=，
设HP=x，PF=4x，则HF=5x，BK=HF=5x，PK=KM=BH=4+x，
∵在中，，
∴，解得：x=，
∴=5×=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，矩形，正方形的性质，设未知数，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
39．如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ）
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A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】
连接AC、CF，如图，设CE的长为x，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝，CF＝x，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝，然后根据直角三角形斜边上的中线得到方程即可求解．
【详解】
解：连接AC、CF，如图，
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∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，设CE的长为x
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝x，
∴∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝3．
∴=6，
解得x=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四 ( http: / / www.21cnjy.com )条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
40．如图，折叠矩形纸片ABCD，先把△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABF沿AF翻折，点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上，然后将纸片展开铺平，把四边形NCDM翻折，点C恰好落在AE的中点G处，折痕为MN，则（　　）
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A．当点N与点F重合时，∠AFM＝90°
B．当GN∥AF时，∠HMG＝45°
C．若AB＝2，AD＝3，则M恰好为DE的中点
D．△GMN的面积有可能为矩形ABCD面积的一半
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质及折叠前后对应的边、角相等逐个判断即可求解．
【详解】
解：根据折叠的性质，易得∠AFE＝45°．
当点N与点F重合时，点M在AD边上，则∠AFM＜90°，故A错误；
由折叠可得∠DMN＝∠HMN＝∠BNM，∠GNM＝∠MNC＝∠GDN，∠AFB＝45°，
当GN∥AF时，∠GNF＝∠AFB＝45°，
∴∠HMG＝＝45，故B正确；
由折叠得，CN＝NG，点G是AE的中点，
当AB＝2，AD＝3时，DG＝DC＝2，则四边形GNCD为正方形，此时点M与点D重合，故C错误；
∵点G是AE的中点，
∴△GMN的面积是矩形ABCD面积的一半时，GM＝AD，此时M点在AD的延长线上，根据题意显然不成立，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定等，属于综合题型，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
二、填空题
41．在矩形纸片ABCD中，，点P，Q分别是在边AB，CD上，，将和分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是，，若四边形是有一边平行于AB的菱形且，则AP的长是____________．
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【答案】或3
【分析】
①图甲，设长为，作，利用特殊角可求出及的长，从而可以求出的长．②图乙中，设交于，交于，则四边形是矩形，由题意四边形，四边形都是正方形，四边形，四边形都是矩形，设，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：①如图甲中，作．
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，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
．
②如图乙中，设交于，交于，则四边形是矩形，
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由题意四边形，四边形都是正方形，四边形，四边形都是矩形，
设，
，
，
而，
，
解得，
，
综上所述，或3，
故答案为：或3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、菱形的性质，解题的关键是通过作辅助线将特殊角与已知边建立联系，通过勾股定理求出边．
42．如图，是边长为1的正方形的对角线上一点， 且 ．为上任意一点，于点，于点，则的值是_____．
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【答案】
【分析】
如图（见解析），先利用三角形的面积公式可得，再根据正方形的性质、直角三角形斜边上的中线可得即可．
【详解】
解：如图，过点作于点，连接，
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，
，
，
，即，
四边形是边长为1的正方形，
，
，
又，
是斜边上的中线（等腰三角形的三线合一），
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，利用三角形的面积公式得出是解题关键．
43．如图，已知正方形的边长为，点分别在正方形的四条边上，且，则四边形的形状为________；若点E为的中点，则四边形的面积为________．
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【答案】正方形
【详解】
∵四边形是正方形，．．在中，，．．∴四边形是菱形．．．．∴四边形为正方形；∵点E为的中点，在中，，即正方形的面积为．
44．如图，先将一张边长为4的正方形纸片沿着对折，然后分别将、沿着折痕、对折，使得、两点都落在折痕上的点处，则的值为________．
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【答案】
【详解】
∵四边形是正方形，∴，，由折叠的性质得，，，，，，，，，∴，即是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，设，则，，∵，∴，解得，∴，∴，∴，∵，∴，∴．
45．如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，若的长为，则正方形的边长为______．
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【答案】5
【分析】
根据题目中的条件，可以先证明 ( http: / / www.21cnjy.com )△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE=∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，从而可以得到GH的长，然后根据勾股定理可以求得BC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH=BF，即BF=2GH
∵
∴
设BC=CD=a，
∵DF=2，
∴CF=a-2，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2
即
解得，，（不合题意，舍去）
∴BC=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出BF的长．
三、解答题
46．四边形为矩形，E是延长线上的一点．
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（1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得出，再根据一组对边平行且相等证明即可；
（2）先证矩形是正方形，再证，得出，再证即可．
【详解】
证明：（1）∵是矩形，
，，
又，
，
，
∴四边形是平行四边形．
（2），
∴矩形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练准确运用相关知识进行推理证明．
47．在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是BC边一个动点（不与点，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接．
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（1）求证：∠CAD=∠BDE；
（2）用等式表示线段CD与的数量关系，并证明；
（3）用等式表示线段AD，AB，之间的数量关系（直接写出，无需证明）．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3．
【分析】
（1）在直角三角形中，利用等角的余角相等就可以证明出结论；
（2）过E作EH⊥CB，证明出，通过等量代换即可得出结论；
（3）连接AE，证明出△ABE是直角三角形，得到结论．
【详解】
（1）证明：∵
∴
∵四边形是正方形
∴
则
∴；
（2） （或），证明如下：
如图所示，过E作EH⊥CB，在正方形中，AD=DE，，，
∴，
∴AC=DH，CD=HE，
∵，
∴BC=DH，
∴CD=HB，
∵CD=HE，
∴HB=HE，，
连接
∴．
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（3），
连接AE，由（2）可知HB=HE，，
∴，
同理在直角中，，
∴，
∴，
在Rt△ABE中，，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，关键在于构造出直角三角形，根据直角三角形的性质与勾股定理进行证明．
48．正方形中，为对角线，点P是上的一点，连接，O为的中点，作于点E，连接，．
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（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】
（1）解：在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，且O为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如解图，连接，，
在正方形中，，，，
∴，
∴，
在中，∵O为的中点，
∴，
∴，
∴，
又由（1）知，
∴，，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴．
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49．如图，在正方形中，点P为对角线上一点，点E为边上一点，且，将沿射线平移到的位置，连接．【出处：21教育名师】
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（1）依题意补全图形；
（2）证明：；
（3）判断线段与的位置关系，并证明．
【答案】（1）补图见解析；（2）证明见解析；（3）；证明见解析．
【详解】
（1）解：依题意补全图形如图①；
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图①
（2）证明：如图②，过点P作于点G，于点H，
则四边形是正方形，
∴．
∵，∴，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴；
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（3）解：．
证明：如图③，连接，过点P作于点G，
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴，
∴，
由（2）得，
∴．
∵，
∴，
由平移的性质得，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
50．已知正方形，对角线的中点为O，点O同时是正方形的一个顶点，交于点E，交于点F．这两个正方形的边长都是6，将正方形绕点O转动．
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（1）如图①，当垂直时，两个正方形重叠部分的面积为________；
（2）如图②，将正方形绕点O转动，求两个正方形重叠部分的面积．
【答案】（1）9；（2）
【详解】
解：（1）9
【解法提示】∵两个正方形的边长都是6，∴两个正方形重叠部分的面积．
（2）如解图，连接，
在正方形中，，
∵，
∴，且．
∴．
∴．
∴．
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51．如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转．连接．
（1）猜想与的关系，并证明你的结论；
（2）用含的式子表示．
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【答案】（1），见解析；（2）
【详解】
解：（1）．
证明：如解图，连接，且与的交点为与的交点为．
∵四边形和四边形为正方形，
，
．
．
．
，，
．
即．
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（2），
∴在和中，，
．
．
．
．
52．（1）如图①，已知正方形和分别是边上的点，且，连接和，交于点．猜想与的位置关系，并证明你的结论；21cnjy.com
（2）如图②，将图①中的绕点逆时针旋转得到．延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
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图①
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图②
【答案】（1），见解析；（2）四边形是正方形，见解析
【详解】
解：（1）．
证明：∵四边形是正方形，
．
又，
．
．
，
．
．
．
（2）四边形是正方形．
理由：由（1）知，
由旋转的性质知，
∴四边形是正方形．
53．如图，四边形是正方形，分别是和延长线上的点，绕点顺时针旋转得到，连接．若，求的面积．
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【答案】
【详解】
解：∵四边形是正方形，
．
在中，，
．
是由绕点顺时针旋转得到的，
．
．
54．如图，在正方形中，E是上一点（E与A、D不重合）．连接，将绕点D顺时针旋转90°，得到．
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（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）15°
【详解】
（1）证明：如解图，∵是由绕点D顺时针旋转90°而得到的．
∴，
∴．
延长交于点G．
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
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（2）解：∵，且，
∴．
∵，
∴，
∴．
55．如图，正方形中，为边上的一点，，，点，均在线段上．
（1）求证：；
（2）求证：．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据正方形的性质、垂直的定义可得，，再根据角的和差、直角三角形的性质可得，，由此即可得证；
（2）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据正方形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
证明：（1）∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
56．如图，在中，的角平分线交于点D，．
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（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4
【分析】
（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；www-2-1-cnjy-com
（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD=，
∴AF=DF=DE=AE==2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
57．如图，在平面直角坐标系中，中点的坐标为，点的坐标为．
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（1）将绕点顺时针旋转得到，请你画出旋转后的图形；
（2）请用无刻度直尺作的角平分线，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，
【分析】
（1）根据旋转的性质画出和的坐标，再分别连接、和即可．
（2）以AB为边沿BO方向作正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D，连接BD交x轴于点E，则BE即为所作．根据B点和D点坐标即可求出经过点B、D的直线的解析式，令y=0，求出x，即可求出E点坐标．
【详解】
（1）如图即为所求；
（2）以AB为边沿BO方向作正方形ABCD，连接BD交x轴于点E，则BE即为所作．
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根据图可知，，
设经过点B、D的直线的解析式为，
则，解得：．
故经过点B、D的直线的解析式为．
令，则，
则．
故．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换和复杂作图以及一次函数的应用．掌握旋转的性质，正方形的性质，角平分线的性质以及一次函数的图象和性质是解答本题的关键．
58．问题：已知中，，点是内的一点，且在线段的垂直平分线上，．以直线为对称轴，作的对称图形．
探究与度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析．
（1）如图1，当时，可得到：
①与的数量关系为______；
②的度数为______；
③与度数的比值为______；
（2）如图2，当，与度数的比值是否与（1）中的结论相同？并说明理由．
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【答案】（1）①相等；②；③；（2）相同，见解析
【分析】
（1）①证明△ABC为等腰直角三角形，即可求解；
②先证明四边形ABEC为正方形，再证明△DBE为等边三角形，即可求解；
③分别求得∠DBA=30，∠DBC=15，即可求解；
（2）先证明∠1=∠5，得到EC=EB，证明△DBE为等边三角形，即可求解．
【详解】
解：（1）连接BE，
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①∵∠BAC=90，且∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC；
②∵AB=BD，且与对称，
∴EC= ED=BD=AB，又AB=AC，∠BAC=90，
∴四边形ABEC为正方形，
∴ED=BD=AC=BE，
∴△DBE为等边三角形，
∴∠BDE=60；
③∵与对称，
∴∠DBA=∠DEC，
由②知：∠DBA=∠DEC=90-∠DBE=30，∠DBC=45-∠ABD=15，
∴∠DBC：∠DEC=1：2；
故答案为：①相等；②；③；
（2）∠DBC：∠DEC=1：2，结论相同．
理由是：如图2，连接．
点与点关于直线对称，
，
又，
，
，
与关于直线对称，
．
，DC=DA，
∴∠ECA=∠BAC，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
，
，
，
，
，
与．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了线段的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
59．如图，在正方形中，，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用(HL)证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出AE=CF，再利用等量关系即可证明；
（2）利用等边三角形的性质求得BG=EG=1，利用勾股定理求得DG=，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴．
在和中，
，
∴(HL)，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴为等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴平分，
∴点为的中点，，
∵为等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
60．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
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【答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定解答即可；
（2）由全等三角形的性质和菱形的判定四边形ADCF是菱形，根据正方形的判定解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴菱形ADCF是正方形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质以及菱形的判定，正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
61．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据角平分线的性质证得EF＝EB，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据三角形全等的判定证得AGD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到结论；
（3）首先证得△DFO≌△EGO得到FO＝GO，FD＝EG，根据勾股定理证得DO＝OF＝OG，根据线段的和差求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝(﹣1)＝2﹣．
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【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．熟记各个性质与判定是解题的关键．21教育网
62．如图1，BM＝BN＝8，∠MBN＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，正方形BEFG的顶点E，G分别在线段BN、BM上，且BE＝4，点P、Q分别是边BG、BE的中点，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜90°）．
（1）问题发现：当α＝0°时，线段MP与NQ之间的位置关系和数量关系为　 　．
（2）拓展探究：试判断：在旋转过程中，线段MP与NQ之间的关系有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
（3）问题解决：当正方形BEFG旋转至M、P、Q三点共线时，直接写出NQ的长．
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【答案】（1）且；（2）无变化，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）由题意即可直接判断，由点P、Q分别是边BG、BE的中点，即，即可得出，即，即得出结论．21·cn·jy·com
（2）由旋转的性质可知，即易证“”，得出，．延长MP交BN于点A，交NQ于点C．由，，，即求出，即，所以．
（3）连接MN，NQ．根据（2）同理即易证且，即证明为直角三角形．利用勾股定理分别在中和中可求出和的长．设，则，再在中，利用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程，解出x即可得出答案．
【详解】
（1）∵点P、Q分别在线段BM、BN上，且，
∴．
又∵点P、Q分别是边BG、BE的中点，四边形BEFG是正方形，
∴．
∵，
∴，即．
综上，即MP与NQ之间的位置关系和数量关系为且．
（2）由旋转可知，
∴在和中，，
∴，
∴，．
如图，延长MP交BN于点A，交NQ于点C．
∵，，，
∴，
∴，即．
综上可知线段MP与NQ之间的关系无变化．
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（3）如图，连接MN，NQ．
根据（2）同理可证，且，
∴为直角三角形．
在中，，
在中，，
设，则，
∴在中，，即，
解得：，（舍）．
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故NQ的长为．
【点睛】
本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想并正确的作出辅助线是解答本题的关键．
63．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，交于点．
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（1）求证：．
（2）若，，则的长是___________．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意可得四边形是平行四边形，，，即，根据正方形的性质得：；
（2）根据（1）知，在中，由勾股定理得，同理，连接延长交于点，在中，由勾股定理得，由勾股定理逆定理知为直角三角形，即，由，即可推出．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AH∥DG，
∴四边形是平行四边形，
∴AD=HG=BC，
∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
在中，由勾股定理得，
，
同理，
连接，延长交于点，
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∵AM=AD+DM=AD+EF=3+4=7，
FM=FG-MG=4-3=1，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，
即为直角三角形，
，
由（1）得，
，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．2-1-c-n-j-y
64．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．
（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．
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【答案】（1）见解析；（2）FG，CG，CD，DB
【分析】
（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；
（2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，
∴DE∥AC，
∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，BE＝AE，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠AEF，
∴∠F＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
由（1）知CE＝AB，
∴AC＝CE＝BE，
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形，
∴AE⊥CF，
∵CE＝BE，
∴∠B＝∠DCE＝30°，
∴∠BED＝∠BAC＝60°，
∵DF∥AC，
∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴BD＝CD＝DE，
∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，
∴∠CED＝60°，
∴∠FEG＝∠CED，
∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，
∴△EFG≌△ECD（AAS），
∴EG＝DE，FG＝CD，
∴FG＝DE，
∵CG＝FG，
∴CG＝DE，
∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质以及直角三角形的性质，是解题的关键．21教育名师原创作品
65．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图 ( http: / / www.21cnjy.com )①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上．求矩形ABCD长与宽的比值．
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【答案】
【分析】
连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，由折叠性质得出Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD，因此BC=AB．
【详解】
解：连接DE，如图，
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∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，
∴四边形ABEF为正方形，
∴∠EAD=45°，同法可证：∠ADG=45°，
∴∠AGD=90°，
由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，
∴DE平分∠GDC，Rt△DGE≌Rt△DCE，
∴DC=DG，
又∵△AGD为等腰直角三角形，
∴AD=DG=CD，
∴BC=AB，
∴．
【点睛】
本题考查了翻折的性质：翻折前后 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质；熟记翻折变换和正方形的性质是解决问题的关键．
66．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、．
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（1）求证：．
（2）延长交于点F，若．求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论；
（2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）；
（2）∵FD=FE，
∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，
∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°，
解得：x=30，
∴∠AFE=60°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
67．如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．
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（1）求证：；
（2）点在上，连接，，若，求此时的大小．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【分析】
（1）根据SAS判定△CBE与△CDF全等，即可求得；
（2）根据SAS判定△ECG与△FCG全等，即可求得，再由，即可求出的度数；
【详解】
（1）证明：在正方形中，
∵，，，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∵，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质的综合运用，正确掌握知识点是解题的关键；
68．如图，是正方形的对角线上的两点，．证明：四边形是菱形．
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【答案】见解析
【分析】
连接BD，根据对角线互相平分证出四边形BEDF为平行四边形，再根据对角线互相垂直证出四边形BEDF是菱形．
【详解】
解：如图，连接BD交AC于点O，
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∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF为菱形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的判定，解题的关键是连接BD，根据对角线互相平分证明四边形BEDF是平行四边形．
69．已知，点E在正方形ABCD的AB ( http: / / www.21cnjy.com )边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．
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【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②
【分析】
（1）证是等腰直角三角形即可得；
（2）①先证得，由知，证得，，由知是等腰直角三角形，从而得；②连接，证四边形是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，
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四边形是正方形，是对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①如图所示，连接、，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
即；
②，理由如下：
如图，连接，
，
，
又且，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，，
，
则．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点．
70．如图，正方形ABCD中，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E， BF⊥AG于F．
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（1）在图中用直尺和圆规作BF⊥AG于F，保留作图痕迹，不写作法；
（2）求证：AF－BF＝EF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）以B为圆心，适当长度为半径画弧交AG于点M，N，然后分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点K，连接BK交AG于点F，BF即为所求；
（2）结合正方形的性质和AAS定理证明△ABF≌△DAE，从而求解．
【详解】
解：（1）如图，BF即为所求
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（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAE=90°．
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF,
又∵BF⊥AG，
∴∠BFA=∠AED=90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，
∴AF－BF=AF－AE=EF．
【点睛】
本题考查尺规作图作垂线，正方形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
71．四边形是正方形，点P是平面上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．
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（1）如图①，当点P在正方形的边上时，求证：；
（2）如图②，当点P在正方形内时，与之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）延长，交直线于点E．若四边形为正方形，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2），，理由见解析；（3）或．
【分析】
（1）先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据角的和差可得，又根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据直角三角形的两锐角互余、对顶角相等可得，由此即可得出结论；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）如图（见解析），分点在正方形的内部和点在正方形的外部两种情况，先根据正方形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
证明：（1）四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
在和中，，
；
（2），，理由如下：
如图，延长交于点，交于点，
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四边形是正方形，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
，即，
综上，，；
（3）由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在正方形的内部时，
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四边形为正方形，，
，
，
，
；
②如图，当点在正方形的外部时，
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同理可得：，
，
综上，线段的长为或．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题关键．
72．如图，点为正方形对角线上一点， 于点， 于点．
（1）求证：．
（2）若正方形的边长为12，求，四边形的周长．
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【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）由已知可以得到△ABP≌△CBP，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )得到PA=PC，又可得四边形PFCE是矩形，从而有EF=PC，最后可以得到结论；
（2）由（1）可得PE=CF，PF=CE，再根据正方形的性质可得BE=PE，最后可得矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．
【详解】
（1）证明：连接PC，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠BCD=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF；
（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，
∴BE=PE，
又∵BC=12，
∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．
【点睛】
本题考查正方形的应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定和性质、矩形的判定和性质等是解题关键 ．
73．综合与实践
（问题情境）
在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为，点M为BF的中点．
（特例感知）
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（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
（深入探究）
（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；
（解决问题）
（4）如图4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若，，则AN＝ ．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4）．
【分析】
（1）利用等腰三角形两腰相等和M为中点，得到，，，则可推出两线段的数量关系；
（2）利用已知条件求出∠BAF＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，再证明，即可得到；
（3）添加辅助线，延长AM至点G，使得MG＝AM．利用对角相互相平分得到ABGF是平行四边形，利用角的关系推出∠AFG＝∠CAE，再证明，即可得到；
（4）与（3）中添加辅助线的方法相同，延长AM至点G，使得MG＝AM．利用对角相互相平分得到ABGF是平行四边形，则．利用角的关系推出，证明得到，则，，又因为，所以，进而推出．又，则．由和即可求出的值．
【详解】
（1）∵两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC，AE＝AF
∴，
又∵点M为BF的中点
∴
∴
∴
（2）
理由：∵∠BAC＋∠EAF＝180°，∠CAE＝90°，
∴∠BAF＝90°．
∵在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，M是BF的中点，
在△ACE和△ABF中
．
．
．
（3）．
理由：如图，延长AM至点G，使得MG＝AM．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵M是BF的中点，
∴BM＝FM．
又∵MG＝AM，
∴四边形ABGF是平行四边形
∴AC＝AB＝FG，AB//GF．
∴∠BAF＋∠AFG＝180°．
∵∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴∠BAF＋∠CAE＝180°．
∴∠AFG＝∠CAE．
在△ACE和△FGA中
．
．
．
（4）如图所示，延长AM至点G，使得，连接、．
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∵M是BF的中点，
∴BM＝FM．
又∵MG＝AM，
∴四边形ABGF是平行四边形
∴AC＝AB＝FG，AB//GF， ．
∴∠BAF＋∠AFG＝180°．
∵∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴∠BAF＋∠CAE＝180°．
∴∠AFG＝∠CAE．
在△ACE和△FGA中
．
，，．
，
∴．
又∵
∴，
∴，
∴．
∴
∴．
【点睛】
本题是与四边形相关的综合性题目，主 ( http: / / www.21cnjy.com )要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，以及旋转，直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半等相关知识．
74．如图①，在平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．
（1）求证BF＝AE；
（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；
（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）由“”可证，可得；
（2）过点作于点，利用“ “证明，设，则，运用勾股定理即可求得答案；
（3）将绕点逆时针旋转得到，通过证明四边形为正方形，即可求解．
【详解】
解：（1）绕点逆时针旋转得到，
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，，
，
，
，
，
，
；
（2）如图②，过点作于点，
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，，
，，
由（1）知：，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
；
（3）如图③，过点作于点，将绕点逆时针旋转90°得到，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，∠DEN=∠DFG，
，
，
，
点，点，点三点共线，
，
四边形是矩形，
又，
四边形为正方形，
．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
75．如图1，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以，为邻边作．
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（1）求证：是菱形．
（2）如图2，若，，，M是的中点，求的长．
（3）如图3，若，连接，，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）60°
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB ( http: / / www.21cnjy.com )∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解．
（3）延长AB、FG交于H，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌△GFD，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）如图，连接BM，MC，
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∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=12，
∴BD==，
∴DM=BD=；
（3）∠BDG=60°，
延长AB、FG交于H，连接HD．
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∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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第03讲 正方形的性质与判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．5 B．10 C． D．8
2．如图，在四边形中，于点E，且，则四边形的面积为（ ）
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A．16 B．24 C．28 D．32
3．如图，在正方形中，依据尺规作图痕迹，若，则（ ）
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A． B． C．2 D．
4．一张正方形纸片按如图①、图②依次对折后，再按如图③虚线裁剪，最后把得到的图④展开铺平，所得到的图形是（ ）【出处：21教育名师】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位．
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A．12 B．24 C．32 D．36
6．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）21教育名师原创作品
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A．60° B．65° C．75° D．80°
7．如图，在四边形中，，则的长度为（ ）
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A．8 B． C． D．
8．如图，在正方形纸片中，E是的中点，将其沿折叠，使点B落在线段上的点G处．若，则的长为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
9．如图边长为4的正方形中，为边上一点，且， 为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接，则的最小值为（ ）
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A． B．4 C． D．
10．如图，在正方形ABCD内，，连接EF，若，两块阴影部分的面积和为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
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A．17 B．24 C．26 D．32
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
12．勾股定理是初中数学最重要的定理之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
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A． B． C． D．
13．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，则点F的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
14．如图，正方形ABCD边长为4，点E ( http: / / www.21cnjy.com )、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于（ ）21cnjy.com
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A．4 B． C． D．
15．如图，正方形的边长为4，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，，点E从点D向C以每秒1个单位长度的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于的直线也从点向点以每秒2个单位长度的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B．4 C． D．
17．如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，，如下4个结论：；②为中点；③；④．其中正确结论的有（ ）21教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于点，以为边作正方形；过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
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A． B． C． D．
19．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
20．如图，在边长为12的正方形中，E是上一点，，且，则（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．16
21．如图，四边形和均为正方形，点在对角线上，点在边上，连结和．若知道正方形和的面积，则一定能求出（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．四边形的周长 B．四边形的周长
C．四边形的周长 D．四边形的周长
22．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、．在此运动变化过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为2．其中正确的结论是（ ）
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A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
23．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的度数为（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．90°
24．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（ ）21*cnjy*com
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A．3 B．4 C．6或3 D．3或4
25．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
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A． B．2 C． D．2
26．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接．将绕点A顺时针旋转得到．则下列结论一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
27．下列命题中是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
28．七巧板是中国传统数学 ( http: / / www.21cnjy.com )文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（ ）
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A． B． C． D．
29．明朝人黄伯思为了使餐桌满足更多客人用餐设计了一种《燕几图》（如图2）．它的构造原理是将正方形沿图中虚线分割成六部分（如图1），其中，于M，O是的中点，于N，．将两张图1正方形所分割出来的图形拼成图2中的阴影部分，若图2中空白部分的面积与最中间阴影正方形的面积之比，则图1中的值为（ ）
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A． B． C． D．
30．如图的正三角形ABC与正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（ ）
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A．4 B．5 C．4 D．5
31．如图所示，正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
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A．2 B．2 C．3 D．4
32．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
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A．2 B． C． D．1
33．如图，在正六边形 ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则等于（ ）
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A．75° B．60° C．55° D．45°
34．如图，正方形的边长为，的平分线交于点E，若点P，Q分别是和上的动点．则的最小值是（ ）
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A． B．4 C． D．
35．如图，在正方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　）
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A．4 B．8 C． D．
36．如图，RtABC≌RtDCB，其中∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误（ ）【版权所有：21教育】
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A．四边形BECF为平行四边形 B．当BF=3.5时， 四边形BECF为矩形
C．当BF=2.5时，四边形BECF为菱形 D．四边形BECF不可能为正方形
37．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（4，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点的坐标为（　　）
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A．（﹣4，4） B．（﹣4，﹣4）
C．（4，﹣4） D．（﹣4，﹣4）
38．在矩形中，四边形为正方形，G，H分别是，的中点，将矩形移至右侧得到矩形，延长与交于点M，以K为圆心，为半径作圆弧与交于点P，古代印度几何中利用这个方法，可以得到与矩形面积相等的正方形的边长．若矩形的面积为16，，则的值为（ ）
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A． B．1 C． D．2
39．如图．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（ ）
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A．3 B．4 C． D．
40．如图，折叠矩形纸片ABCD，先把 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABF沿AF翻折，点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上，然后将纸片展开铺平，把四边形NCDM翻折，点C恰好落在AE的中点G处，折痕为MN，则（　　）
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A．当点N与点F重合时，∠AFM＝90°
B．当GN∥AF时，∠HMG＝45°
C．若AB＝2，AD＝3，则M恰好为DE的中点
D．△GMN的面积有可能为矩形ABCD面积的一半
二、填空题
41．在矩形纸片ABCD中，，点P，Q分别是在边AB，CD上，，将和分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是，，若四边形是有一边平行于AB的菱形且，则AP的长是____________．
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42．如图，是边长为1的正方形的对角线上一点， 且 ．为上任意一点，于点，于点，则的值是_____．
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43．如图，已知正方形的边长为，点分别在正方形的四条边上，且，则四边形的形状为________；若点E为的中点，则四边形的面积为________．
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44．如图，先将一张边长为4的正方形纸片沿着对折，然后分别将、沿着折痕、对折，使得、两点都落在折痕上的点处，则的值为________．
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45．如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，若的长为，则正方形的边长为______．
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三、解答题
46．四边形为矩形，E是延长线上的一点．
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（1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，点F是上的点，，于点G，如图2，求证：是等腰直角三角形．
47．在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是BC边一个动点（不与点，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接．
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（1）求证：∠CAD=∠BDE；
（2）用等式表示线段CD与的数量关系，并证明；
（3）用等式表示线段AD，AB，之间的数量关系（直接写出，无需证明）．
48．正方形中，为对角线，点P是上的一点，连接，O为的中点，作于点E，连接，．
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（1）若，求的度数；
（2）求证：．
49．如图，在正方形中，点P为对角线上一点，点E为边上一点，且，将沿射线平移到的位置，连接．
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（1）依题意补全图形；
（2）证明：；
（3）判断线段与的位置关系，并证明．
50．已知正方形，对角线的中点为O，点O同时是正方形的一个顶点，交于点E，交于点F．这两个正方形的边长都是6，将正方形绕点O转动．
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（1）如图①，当垂直时，两个正方形重叠部分的面积为________；
（2）如图②，将正方形绕点O转动，求两个正方形重叠部分的面积．
51．如图，正方形和正方形的边长分别为和，正方形绕点旋转．连接．
（1）猜想与的关系，并证明你的结论；
（2）用含的式子表示．
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52．（1）如图①，已知正方形和分别是边上的点，且，连接和，交于点．猜想与的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图②，将图①中的绕点逆时针旋转得到．延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
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图①
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图②
53．如图，四边形是正方形，分别是和延长线上的点，绕点顺时针旋转得到，连接．若，求的面积．www-2-1-cnjy-com
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54．如图，在正方形中，E是上一点（E与A、D不重合）．连接，将绕点D顺时针旋转90°，得到．
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（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
55．如图，正方形中，为边上的一点，，，点，均在线段上．
（1）求证：；
（2）求证：．
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56．如图，在中，的角平分线交于点D，．
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（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
57．如图，在平面直角坐标系中，中点的坐标为，点的坐标为．
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（1）将绕点顺时针旋转得到，请你画出旋转后的图形；
（2）请用无刻度直尺作的角平分线，并直接写出点的坐标．
58．问题：已知中，，点是内的一点，且在线段的垂直平分线上，．以直线为对称轴，作的对称图形．
探究与度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析．
（1）如图1，当时，可得到：
①与的数量关系为______；
②的度数为______；
③与度数的比值为______；
（2）如图2，当，与度数的比值是否与（1）中的结论相同？并说明理由．
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59．如图，在正方形中，，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
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60．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F21世纪教育网版权所有
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
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61．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
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62．如图1，BM＝BN＝8，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )MBN＝90°，正方形BEFG的顶点E，G分别在线段BN、BM上，且BE＝4，点P、Q分别是边BG、BE的中点，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜90°）．
（1）问题发现：当α＝0°时，线段MP与NQ之间的位置关系和数量关系为　 　．
（2）拓展探究：试判断：在旋转过程中，线段MP与NQ之间的关系有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
（3）问题解决：当正方形BEFG旋转至M、P、Q三点共线时，直接写出NQ的长．
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63．如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点作，交于点．连接，交于点．
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（1）求证：．
（2）若，，则的长是___________．
64．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．
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65．小明尝试着将矩形纸片ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上．求矩形ABCD长与宽的比值．
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66．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、．
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（1）求证：．
（2）延长交于点F，若．求的度数．
67．如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．
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（1）求证：；
（2）点在上，连接，，若，求此时的大小．
68．如图，是正方形的对角线上的两点，．证明：四边形是菱形．
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69．已知，点E在正方形ABCD的AB ( http: / / www.21cnjy.com )边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．21*cnjy*com
（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；
（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系．
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70．如图，正方形ABCD中，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E， BF⊥AG于F．
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（1）在图中用直尺和圆规作BF⊥AG于F，保留作图痕迹，不写作法；
（2）求证：AF－BF＝EF．
71．四边形是正方形，点P是平面上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．
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（1）如图①，当点P在正方形的边上时，求证：；
（2）如图②，当点P在正方形内时，与之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）延长，交直线于点E．若四边形为正方形，，求线段的长．
72．如图，点为正方形对角线上一点， 于点， 于点．
（1）求证：．
（2）若正方形的边长为12，求，四边形的周长．
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73．综合与实践
（问题情境）
在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为，点M为BF的中点．
（特例感知）
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（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
（深入探究）
（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；
（解决问题）
（4）如图4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若，，则AN＝ ．
74．如图①，在平行四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD＝BD＝2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．21·cn·jy·com
（1）求证BF＝AE；
（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；
（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．
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75．如图1，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以，为邻边作．
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（1）求证：是菱形．
（2）如图2，若，，，M是的中点，求的长．
（3）如图3，若，连接，，，，求的度数．
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