第03讲 正方形的性质与判定(考点讲解)（含答案）

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第03讲 正方形的性质与判定
【教学要求】
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．
【知识结构】
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【考点总结】
一、正方形的定义
一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
二、正方形的性质
正方形具有矩形和菱形的一切性质。
（1）边：对边平行，四边相等。
（2）角：四个角是直角。
（3）对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。
三、正方形的判定
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
【例题讲解】
【类型】一、 正方形的定义与性质
例1、如图所示，正方形ABCD的对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线相交于点O，点E是BC上任意一点，EG⊥BD于G，EF⊥AC于F，若AC=10，则EG+EF的值为（ ）21cnjy.com
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A．10 B．4 C．8 D．5
【解析】D
根据ABCD是正方形，求得△BEG，△CEF是等腰直角三角形，即可求得结果.
∵ABCD是正方形，AC，BD是对角线，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵EG⊥BD，EF⊥AC，
∴△BEG，△CEF是等腰直角三角形．
∴CF=EF．
∵AC⊥BD，
∴EFOG是矩形．
∴EG=FO．
∴EF+EG=CF+FO=CO=5，
故选D.
【总结与反思】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质.
【训练】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且
CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
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证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
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∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE．
【训练】如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
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A．75° B．60° C．55° D．45°21世纪教育网版权所有
【答案】B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
故选：B．
【类型】二、正方形中的旋转问题
例2、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．21·cn·jy·com
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（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．www.21-cn-jy.com
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．2·1·c·n·j·y
【解析】（1） EG=CG，EG⊥CG．
（2）EG=CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
又∵BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG= QUOTE FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG= QUOTE ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．
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【总结与反思】 此题是对正方形性质结合旋转的性质的考察，在正方形的题型中占有重要的地位.
【类型】三、正方形的性质与判定
例3、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
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【解析】 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【总结与反思】根据正方形的性质及判定定理即可顺利解答此题..
【训练】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．21教育网
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
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（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
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