江西省南昌市第八中学2021-2022学年上学期高二10月月考数学文科试题（Word含解析）

高二10月月考数学试题(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 直线的倾斜角为，则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
(3) 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为( )
(A) (B)
(C)或 (D)或
(4) 已知直线：与：平行，则的值为( )
(A) (B) (C) 或 (D)
(5) 已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为( )
(A) (B) (C) (D)
(6) 已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
(7) 过点且与圆相切的直线方程为( )
(A) (B) 或
(C) (D) 或
(8) 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(9) 已知直线:将圆:分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
(10) 实数、满足不等式组，且取最小值的最优解有无穷多个，则函数的最小正周期为( )
(A) (B) (C) (D)
(11) 过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
(12) 直线:被圆：所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
(13) 已知圆：及圆：相交于、两点，则、两点所在的直线方程为
(14) 已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.
则圆的标准方程为
(15) 曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围为
(16) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点
的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆
上有且仅有一个点满足，则的取值为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分10分)
过点的直线与轴和轴正半轴分别交于、.
(Ⅰ)若为的中点时，求直线的一般式方程；
(Ⅱ)若的面积最小时，求直线的一般式方程.
(18) (本小题满分12分)
已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线．
(Ⅰ)求曲线的轨迹方程；
(Ⅱ)直线与曲线交于、两点，求．
(19) (本小题满分12分)
已知满足约束条件．
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)求的取值范围；
(Ⅲ)求的取值范围.
(20) (本小题满分12分)
已知圆过点，，且圆心在直线上.
(Ⅰ)求圆的标准方程；
(Ⅱ)若直线过点，被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
(21) (本小题满分12分)
已知圆经过两点，，且圆心在直线上．
(Ⅰ)求圆的标准方程；
(Ⅱ) 设直线：与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程.
(22) (本小题满分12分)
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.
(Ⅰ)若军营所在区域为：，求“将军饮马”的最短总路程；
(Ⅱ)若军营所在区域为为：，求“将军饮马”的最短总路程．
高二10月月考数学试题(文科)
参考解析
（1）【解析】因为的倾斜角为，所以，所以，故选：A
（2）【解析】由题意，可知直线的斜率存在，且，
解得.故选：C.
（3）【解析】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，
把点代入方程，得，即，所以直线的方程为．
故选：D．
（4）【解析】若，则且，解得，
故选：A.
（5）【解析】因为直线将圆平分，所以直线过圆心，
因为直线与直线垂直，假设直线的方程为，
将代入得：，所以直线的方程为，故选：C
（6）【解析】根据题意可得，，令，
做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分：
由题知三条直线的交点分别为，，， 作直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，即,故选:B.
（7）【解析】圆的标准式为：，容易验证x=2与圆相切，
若切线的斜率存在，则设其方程为：，
于是圆心到直线的距离，
则切线：.
故答案为：或.选B
（8）【解析】，，所以由图象知(略)，或，
则斜率的取值范围是．故选：C
（9）【解析】设直线与圆交于，两点，由圆可知，圆心的坐标为，半径为.圆面积为．
因为圆心到直线的距离为，
所以，又，
所以，从而扇形的面积为，
所以部分的面积为，部分的面积为,
故在圆内任取一点，则该点落在部分的概率.故选：D．
（10）【解析】由题意作出其平面区域，
将化为，相当于直线的纵截距，
则由取最小值的最优解有无穷多个知，
与平行，
则，则，所以函数的最小正周期为，故选：A．
（11）【解析】动直线过定点，
动直线化为过定点.
当时，直线方程为，，此时两直线垂直；
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
，，故答案选：C
（12）【解析】直线:经过定点，圆心为，在圆内，，因此最短弦所在直线斜率为，方程为，即，故选B．
（13）【解析】圆： ①，圆： ②，
相减得公共弦所在直线方程为：，即.
（14）【解析】过点与直线：垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得.所以.
故圆的方程为：.
（15）【解析】由，可得，即(),
所以，曲线表示圆的上半圆，
作出曲线与直线如下图所示：
当直线与圆相切于相切且切点在第二象限时，
且有，解得，当直线过点时，，
此时，直线与曲线有两个公共点；有.
（16）【解析】设动点，由，得，整理得，
又点是圆：上有且仅有的一点，
所以两圆相切. 圆的圆心坐标为，半径为2，
圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得(舍去)，
当两圆内切时，，，得．故答案为: 5
（17）【解析】 (Ⅰ) 设，，
为AB的中点，，，
由截距式得l的方程为：，即；
(Ⅱ) 由题意设直线的截距式方程为，
直线过，，，，
当且仅当即且时取等号，
的面积，面积的最小值为12，
此时直线l的方程为，即直线l的方程为.
（18）【解析】（Ⅰ）设，由，得.
化简得，即.
故曲线的轨迹方程为;
（Ⅱ）由（1）得：的圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
所以.
（19）【解析】（Ⅰ）作出可行域如图,
联立,解得,联立,解得,
联立,解得,
将目标函数变形为:,
由图可知在点处取得最小值,在点处取得最大值,
;
（Ⅱ），
而表示可行域内点与连线的斜率，
由图可知当点落在点时斜率最小,落在时斜率最大,
又,，；
(Ⅲ) 表示可行域内点与距离的平方,
由图可知两点距离最大值为,两点距离最小值即为原点到直线的距离,
所以,,.
（20）【解析】（Ⅰ) 设圆的标准方程为：，
因为圆过点，，
，解得，
∴圆C的方程为：；
（Ⅱ）方法一：当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当斜率存在时，设的方程为，则.
又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，所以直线的方程为.
综上：的方程为或.
方法二：设的方程为，
则，解得：或，
所以的方程为或.
（21）【解析】（Ⅰ）设圆的方程为，则依题意，
得解得
∴圆的方程为 ；
（Ⅱ）设直线的方程为，设，，
将代入并整理，得，
因为直线与圆相交，所以，
解得，∴，，
∴，
即，解得，
又当时，∴，∴直线的方程为.
（22）【解析】（Ⅰ) 若军营所在区域为，
圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：
设将军饮马点为，到达营区点为，为关于直线的对称点，
因为,所以.则总路程，
要使得路程最短，只需要最短，即点到军营的距离最短，
即点到的最短距离，为；
（Ⅱ）若军营所在区域为，
对于，在，时为令,得,令,则,
图象为连接点和的线段，根据对称性得到的图象如图所示的菱形，为这个菱形的内部(包括边界).作图如下：
由图可知，最短路径为连接点和的连线，交直线于点,饮马最佳点为P，所以点到区域最短距离．即“将军饮马”最短总路程为.
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