（冀教版）五年级数学上册教案 相遇问题

【教学内容】：
青岛版《义务教育课程标准实验教科书·小学数学》四年级上册第46页。
【内容简析】：
相遇问题隶属于行程问题的范畴，是一种典型的数学应用问题。相遇问题的学习是建立在学生已学“路程、时间、速度”的概念及其数量关系的基础上，从研究一个物体的运动情况扩展到研究两个物体的运动情况展开的。同时，学生学会解决两、三步简单实际问题的基础知识、基本技能、解题经验、方法策略等，都为构建相遇问题的数学模型提供了重要基础。是今后进一步学习其它行程问题、工程问题等问题的基础。
【教学目标】：
1．借助生活事例，运用模拟表演策略帮助学生理解“两个物体”、“两个地方”、“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，逐步提炼形成相遇问题，理解相遇问题的基本结构特征；
2．结合具体情境，运用摘录、表格、画图等策略引导学生整理信息、分析相遇问题的数量关系，初步构建起相遇问题的数学模型，进而自主解决问题；
3．在解决问题的过程中，引导学生亲身经历“发现问题——提出问题——研究问题——解决问题”的过程，形成解决问题的策略，积累解决问题的活动经验，增强学生的数学应用意识及运用知识方法解决简单实际问题的能力。
【教学重点】：
用画线段图的方法分析“相遇问题”的数量关系，构建数学模型；
【教学难点】：
理解相遇问题的基本特征，构建“速度和×时间=总路程”这一数学模型；
【教具准备】：多媒体课件；
【教学设计过程】：
一、借助身边事例，复习引入新知——唤醒旧知模型，激活认知经验。
1．教师出示问题，学生独立解决，并回忆其数量关系。
教师：在我们的身边、在我们的生活中处处都有数学。如：王明步行去上学，每分钟走70米,5分钟到达学校。王明家到学校相距多少米？
2．学生独立解决后，集体反馈意见，并揭示其数量关系。
出示：速度×时间=路程
3．教师小结，引入新知。
教师：这是过去学习的一个物体运动的问题，我们今天一来起研究两个物体运动的问题。
【设计意图：从学生的生活实际出发，设计一个与现实生活紧密联系的上学情境，从学生的最近发展区出发，唤起学生对旧知模型——“速度×时间=路程”的回忆，既激活学生已有的认知经验，了解学生的学习起点，又帮助学生准确把握新旧问题的衔接点，找准新问题的生长点。以旧引新，导入新课。】
二、创设现实情境，发现提出问题——实现解决问题的第一个转化
（一）初次观看两物体的运动过程，寻找新知学习的切入点——唤起相遇问题的生活经验。
1．媒体播放王明和李华上学的动画情景，诱发学生观察他们的运动过程。
（动画情景的内容大致如下：王明和李华分别住在学校的两侧，两人同时从家出发，相对而行，经过5分钟两人同时到达学校。）
2．结合观察到的运动现象，引导学生用语言描述他们两人的运动过程。
【设计意图：借助动画情景，一方面诱导学生初次感知两个物体的运动，从直观的角度感知“相遇问题”的特征；二方面借助学生的观察和描述，了解学生对“相遇问题”已有经验和认知基础，帮助教师寻找新知学习的切入点和生长点；三方面通过观察和用语言描述两个物体的运动过程，培养学生的观察、想象和语言表达能力。】
（二）模拟两物体的运动过程，理解相遇问题的基本特征——构建相遇问题的运动模型。
1．媒体再次播放上述动画情景，教师和一名学生模拟情境，现场表演王明和李华的运动过程。
（1）教师和学生在同一个位置。学生会发现应该从两个不同的地方出发，板书“两个地方”。
（2）师比学生晚走了一会儿，大约3步的时间。学生会发现两个人应该同时出发，板书“同时出发”。
（3）教师走的方向不对，拐弯走了。学生会发现两人应该面对面走。教师指出“面对面”在数学上称之为“相对而行”，板书“相对而行” 。
（4）师生最后走一遍正确的，两人同时到达学校，也就是说两人在学校相遇了，板书“最后相遇”。
2．现场模拟表演后，引导学生用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 “相对而行”、“最后相遇”这几个关键词描述他们的运动过程。
3．同桌两人边打手势演示边用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 “相对而行”、“最后相遇”等关键词描述他们两人的运动过程。
【设计意图：这是建立数学模型的必要阶段。我们都知道，数学模型是关于现实世界为某种目的的一个抽象的、简化的数学结构。同时，建立数学模型的目的是为了科学、有效地描述自然现象和社会现象，进而解决实际问题。因此，任何数学模型的建立都有具体的现实情境。教学这节课时，教师要创造学生比较熟悉的、且亲身经历的、含有数学问题的上学情景。这样，从学生熟悉的生活实例入手创设问题情境，采用模拟表演、打手势等直观生动的演示方式描述王明和李华的运动过程，一是激发学生的数学学习兴趣，调动学生眼、耳、手、口等多种感官并用，吸引学生积极主动地投入到探究学习活动中来；二是借助学生已有的生活经验和认知基础，让学生了解数学问题的实际背景，并引导学生理解“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，掌握相遇问题的基本特征，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备；三是引导学生学会用数学的眼光观察自己的生活，感受到生活中处处有数学，数学能帮助我们解决许许多多简单的实际问题，体验数学的意义和价值。】
（三）添加相关信息，提炼生成相遇问题——构建相遇问题的语言模型。
1．在动画情境中添加王明和李华的速度信息，引导学生填上信息，并再次描述两人的运动过程。
速度信息为：王明每分钟走70米，李华每分钟走60米。
2．根据动画情境中的相关信息，引导学生提出相关的数学问题。
教师：根据情境中的相关信息，谁能提出一个数学问题？
学生可能会提出以下几方面的问题：
问题1：王明走了多少米？
问题2：李华走了多少米？
问题3：王明比李华多走了多少米？
问题4：王明和李华一共走了多少米？
问题5：他们两家相距多少米？
…………
3．教师定向，提炼生成完整的相遇问题。
教师：同学们真了不起！发现并提出了这么多的数学问题，下面我们先来研究解决“他们两家相距多少米？”这一问题。
多媒体出示该问题：王明和李华同时从家出发，相对而行。王明每分钟走70米，李华每分钟走60米。经过5分钟两人在学校相遇，他们两家相距多少米？
学生读题后，教师揭示课题：这个问题就是这节课我们要研究解决的——相遇问题。
教师板书课题：相遇问题
【设计意图：在初步理解相遇问题基本特征的基础上，添加相应的数学信息，提炼生成完整的数学问题，一方面帮助学生把“生活问题”转化为“数学问题”，顺利完成解决问题的第一个转化；二方面帮助学生构建起相遇问题的语言模型；三方面培养学生根据数学信息发现数学问题、提出数学问题的能力。】
三、自主解决问题，构建数学模型——实现解决问题的第二个转化
（一）运用解题策略，自主整理信息——构建起相遇问题的图形模型。
1．放手让学生运用已有的解决问题的策略，自主进行信息整理。
教师：这个问题中的信息较多，且数量之间的关系不易发现。下面请同学们用自己喜欢的方法将信息加以整理，比比看谁整理信息的方法最好，能将题中信息最简洁明了地呈现给大家。
学生自主整理信息，教师巡视指导，顺便了解学生整理信息的基础。
根据以前解决问题的基础和经验，学生可能用到以下整理信息的策略：
策略1：摘录。

策略2：列表。

速度 时间 分路程 总路程
王明 70米∕分 5分 70×5 70×5+60×5
李华 60米∕分 5分 60×5

策略3：画示意图。

策略4：画草图。（略）
策略5：操作法——摆纸条。

2．组织学生以小组为单位交流各自整理信息的方法，互相学习，取长补短；同时，组长做好记录，看本组内出现了几种不同的整理信息的方法。
3．以小组为单位汇报整理信息的方法，教师适时组织学生互相质疑问难，补充完善。
4．引导学生对各种整理信息的方法加以分析与比较，沟通各种方法的内在联系，理清各种方法的异同点，突出画线段图整理信息的优越性和必要性。
教师：同学们真了不起，想到了这么多整理信息的方法。仔细比较这些方法，你认为哪种方法最直观形象，让我们一眼就能看明白题目的意思？
在学生独立思考的基础上，小组内交流意见，达成共识后向全班汇报。
5．重点讲解画线段图整理信息的方法，帮助学生构建相遇问题的图形模型。
教师：这些整理信息的方法虽然所表达的题意相同，但画图的方法更能直观想象地表示出题意。其中，画线段图尤为简洁明了。
教师边将画线段图的要领，边在黑板上画出线段图。

【设计意图：整理信息的过程即分析数量关系的过程，而分析数量关系则是解决问题的关键。活动中，放手让学生运用已有的知识基础、方法策略和活动经验，用自己喜欢的方法对问题情境中相关联的信息加以梳理。一方面借助整理信息，将抽象难懂的文本信息转化为形象易懂的图画、图表信息，帮助学生直观形象地理清信息之间的关系，架构起信息与信息之间、信息与问题之间的内在联系，为有效解决问题做好铺垫；二方面加强对各种解题策略的分析与比较，重在梳理已有的解题策略，沟通各种方法的联系，理清各种方法的异同，突出画线段图整理信息的优越性和必要性；三方面在“自主整理——组内交流——展示汇报——分析比较——提炼升华”等一系列活动中，有意识地引导学生获得解决问题的策略，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。】
（二）独立列式计算，自主解决问题——构建相遇问题的算式模型。
教师：“两家相距多少米”这个问题，该怎样解决呢？
（2） 学生独立列式计算，教师挑选解法不同的学生板演。
主要出现以下两种解法：
解法1: 70×5＋60×5 解法2：（70＋60）×5
=350＋300 =130×5
=650（米） =650（米）
2．请解法不同的学生向大家说明自己的解题思路。
学生可能出现两种分析、解决问题的思路：
思路1：从已知信息入手，逐步求得要解决的问题，即综合法。
思路2：从要求问题入手，找寻已知信息，逐步解决问题，即分析法。
【设计意图：这是建立数学模型的关键阶段。即在学生自主整理信息，理清数量关系，明确解题思路，探究计算方法的基础上，学生独立列式解答，建构起了相遇问题的算式模型。】
（三）分析比较解法，抽出数量关系——构建相遇问题的本质模型。
1．结合学生的不同解法和分析思路，引导学生抽出相应的数量关系。
即：王明走的路程＋李华走的路程=总路程；
速度和 × 时间 = 总路程
2．利用多媒体课件重点动态演示第二种解法的分析思路，直观形象地帮助学生理解5个（70+60）的意义，进一步理解这种解题方法。最后的成像如下：

3．总结：引导学生从基础知识的学习、方法策略的获得，解题经验的积累等方面谈谈自己的收获和体会。
【设计意图：这是建立数学模型的重要阶段。即根据相遇问题的结构特征和建立相遇模型的目的，引导学生对分析解决问题的过程进行观察与比较、分析与综合、抽象与概括，引领学生提炼出相遇模型背后所蕴含着的结构性知识，并运用形式化的数学符号刻画出这种数学结构——“速度和×时间=总速度”，从而建立相遇问题的基本模型。】
四、解释应用拓展，解决实际问题——运用数学模型，体验数学的价值。
【设计意图：建立数学模型的目的是更好的描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地去认识自然、认识社会，改造自然、改造社会。通过建立数学模型可以教给学生一些数学思想方法，为将来进一步学习和将来的社会实践打下坚实的基础；对所建立的数学模型进行合理的解释、应用，才能使所建立的数学模型具有生命活力。因此，设计了“基本练习——巩固新知，拓展练习——揭示本质和延伸练习——灵活运用”三个层次，对相遇问题进行解释和应用。这样，学生在生活化的内容，数学化的探索中获得的知识、方法、经验等。数学模型只有在解释和应用于生活中时，才能焕发出数学的魅力和价值。】
1．基本练习，巩固新知。

【设计意图：引导学生运用新学到的知识技能、解题方法、解题策略等解决与例题相类似的相遇问题。】
2．拓展练习，揭示本质。
教师：生活中，除了走路能相遇，还有一些相遇的例子。例如工程队挖水渠、修公路、凿隧道等问题（引出工程问题）。

学生独立解决问题后，课件揭示该题的数量关系：工效和×时间=工作总量。
【设计意图：引导学生将相遇问题的解题策略和解题经验进行迁移，解决与之类似的工程问题，丰富相遇问题的内涵，揭示该类问题的本质，构建该类问题的数学模型，促使学生形成该类问题的认知结构体系。】
3．延伸练习，灵活运用。
教师：相遇问题在我们的生活中处处可见，你还能举出一个相遇问题的例子吗？
学生举例后，媒体展示以下问题，时间不足可留给学生课下探究解决。
（1）放学了，张红和王青同时从学校出发，背向而行，5分钟后两人到家。（如下图）两家相距多少米？

（2）两艘轮船同时从上海和武汉相对开出，客船每小时行65千米，货船每小时行35千米。航行8小时后，两船还相距300千米。上海到武汉之间的水路全长多少千米？
教师：生活中相遇问题的例子还有许许多多，希望同学们善于用数学的眼睛观察周围的现实社会，用数学的头脑思考身边的社会现象，用数学的思想方法解决生活中的实际问题。感兴趣的同学课下研究和解决上述两个问题。
【设计意图：相遇问题会延伸出多种情况，如背向而行问题；相向而行，但没到相遇点的问题；相遇后继续行走的问题等等。借助该类问题，一方面有利于帮助学生打破思维定势,拓展相遇问题的外延，拓宽解决问题的思路，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力；另一方面“只有结束的课堂，没有结束的探索”，给孩子适时创造课外探索的空间和机会，有利于培养学生的探索精神与实践能力；三方面培养学生善于用数学的眼睛观察周围的现实社会，用数学的头脑思考身边的社会现象，用数学的思想方法解决生活中的实际问题，逐步增强学生的数学应用意识和运用知识方法解决实际问题的能力。】
四、全课总结，提炼升华。
引导学生从基础知识地学习、方法策略地获得，解题经验地积累等方面谈本节课的收获和体会。
【设计意图：综上可知，数学学习的过程既是解决问题的过程，也是建立数学模型的过程。同时是把数学学习的内容放在现实有趣的问题情景里，引导学生亲身经历“问题情景——建立模型——解释、应用和拓展”的过程，经历“提出问题——分析问题——解决问题”的过程，经历“整理数学信息——分析数量关系——列式计算求解”的过程，经历“来源于生活——提升为数学——应用于实际”的过程。其教学过程可以用以下框图来表示：
在这样的学习过程中，学生运用了观察与操作、分析与对比、抽象与概括等思维方式，亲身经历了将现实问题抽象为数学问题，生活原型转化为数学模型的过程，积累了将现实问题“数学化”的经验，感受到数学模型的思想、方法及其价值，发展了抽象思维能力和符号感，提高了学生的数学应用意识和应用数学解决实际问题的能力。】