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第04讲 探究三角形相似的条件
【提升训练】
一、单选题
1．如图，是的边上的一点，在直线上找一点，使得与相似，则满足这样条件的点有（ ）2-1-c-n-j-y
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A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】
根据有两个对应角相等的三角形相似作图即可．和中，有公共角，因此只要作或，即可得出两三角形相似．21·cn·jy·com
【详解】
解：情况（1）：如图，当时，
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根据题意得：当时，；
当时，由，可得．
所以当时，满足这条件的点有2个．
情况（2）：当时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的点只有1个．
综上所述：使得与相似，则满足这样条件的点有1个或2个．
故选：D．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定．
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
2．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四条边相等
【答案】A
【分析】
先写出各命题的逆命题，再根据平行线的判定、对顶角、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、其逆命题为：内错角相等，两直线平行，
此逆命题是真命题，此项符合题意；
B、其逆命题为：如果两个角相等，那么它们是对顶角，
相等的角不一定是对顶角，所以此逆命题是假命题，此项不符题意；
C、其逆命题为：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，
如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形一定相似，但不一定全等，所以此逆命题是假命题，此项不符题意；【版权所有：21教育】
D、其逆命题为：如果一个四边形的四条边相等，那么这个四边形是正方形，
如果一个四边形的四条边相等，那么这个四边形一定是菱形，但不一定是正方形，所以此逆命题是假命题，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了逆命题、平行线的判定、对顶角、三角形全等的判定、正方形的判定等知识点，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（ ）
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A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
【答案】D
【分析】
由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D．
【详解】
解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
满足条件，
即，
∴满足即，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．
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【点睛】
本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键
4．如图，已知矩形ABCD中，点E ( http: / / www.21cnjy.com )是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
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A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】A
【分析】
根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴△EDP∽△FCP；
∵∠FEP=∠FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCP；
∴△FEB∽△EDP；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴△EDP∽△BAE；
∴△FCP∽△BAE；
∴△FEB∽△BAE；
共有6对，
故选A．
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【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．2·1·c·n·j·y
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
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A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】
甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．
【详解】
解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
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A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【分析】
本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可完成题目．
【详解】
解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
【点睛】
本题考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，求出三角形的边长．21·世纪*教育网
7．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中能判断的是（ ）
①；②；③；④．
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A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断，
∵，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，与所求对应关系不一致，故④不能判断；
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
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A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；
B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；
C、，即，且夹角∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；
D、，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
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A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
10．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
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A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：①如果 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【出处：21教育名师】
11．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（ ）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可．
【详解】
解：∵等腰△ABC的底角为75°，
∴等腰△ABC的三角的度数分别为30°，75°，75°
∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形
故选：A．
【点睛】
本题考查了想做浅咖人判定，关键是根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数解答．
12．如图，在中，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】
利用直角三角形斜边上的高线模型，可判断有2个三角形与相似，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，传递一组等角，得到第3个三角形.
【详解】
∵∠EAC=∠CAF，∠AEC=∠ACF，
∴△ACE∽△AFC；
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∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，
∴∠EAC=∠ECF，
∵∠AEC=∠CEF，
∴△ACE∽△CFE；
∵是边的中点，
∴DC=DB，
∴∠ECF=∠EAC=∠B，
∵∠AEC=∠BCA，
∴△ACE∽△BAC；
共有3个，
故选B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的相似，熟练运用三角形相似的判定定理是解题的关键.
13．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，，
C．1，， D．1，，
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
14．如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（ ）
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A． B．是的平分线
C． D．
【答案】D
【分析】
已知∠ADC＝∠BAC，则A ( http: / / www.21cnjy.com )、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.
【详解】
在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
15．如图，中，、两点分别在、上，且平分，若，与相交于点．则图中相似三角形的对数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用“两角法”判定三组三角形相似．
【详解】
解：如图，设∠BAD=∠1，∠CAD=∠2，则
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①在△ABE与△ACB中，∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAB，
∴△ABE～△ACB；
②∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．
∵∠1=∠2，∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△ACD；
③∵ABE～△ACB，
∴∠BEA=∠ABD，
又∵∠1=∠2，
∴△AEF∽△ABD，
综合①②③知，共有3对相似三角形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握利用“两角法”判定三角形相似是解题关键．
16．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似
【答案】D
【分析】
根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；
B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；
D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键．
17．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个钝角三角形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
根据三角形相似的判定进行判断．
【详解】
解：A、假设两个钝角三角形一个钝 ( http: / / www.21cnjy.com )角是120度，一个钝角为150度，因为钝角三角形最多只能有一个钝角，所以假设中的两个钝角三角形不相似，错误；21*cnjy*com
B、假设两个直角三角形一个锐角分别为30度和60度，一个锐角分别为20度和70度，那它们也不相似，错误；
C、可设两个等腰三角形的三个角分别为80度、50度、50度，70度、55度、55度，那么两个三角形也不相似，错误；
D、不管三角形的边长是多少，等腰直角三角形的三个内角都是90度、45度、45度，所以两个等腰直角三角形一定相似，正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
18．如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
A．只有一对对应角相等，条件不够；B ( http: / / www.21cnjy.com )．用比例是确定三角形，竖向确定三角形△ACD与△ABC，横向确定三角形△ABC与△CBD，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似；C.把等积变比例式，且夹角相等，能推出这两个三角形相似；D．用比例确定三角形，竖向确定三角形△ADC与△BCD，横向确定三角形△ADC与△ACB，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似．
【详解】
解：A．，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
B．竖向确定三角形△ACD与△ABC，夹角与∠B不一定相等，横向确定三角形△ABC与△CBD，夹角∠A与∠DCB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意，
C．由变形得，，由∠BAC=∠CAD，则，
可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意；
D．竖向确定三角形△ADC与△BCD，夹角与∠DCB不一定相等，横向确定三角形△ADC与△ACB，夹角∠ADC与∠ACB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
故选择：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，灵活掌握三角形相似的判定方法，会用已知条件与三角形相似判定定理相结合判断三角形相似是解题关键．
19．如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（ ）
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A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD BC D．
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．
【详解】
解：
A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；
B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；
C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD BC变形为，则△ABC∽△DCA；
D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选择：D．
【第讲】
本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．
20．如图，点在的边上，添加下列一个条件仍不能判断与相似的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由∠A是公共角，利用有两角对应相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案．
【详解】
∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确；
当，即 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确；
当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
21．如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；
B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；
C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB；
D、无法判断三角形相似．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
由于已知三角形和选择项的三角形都放 ( http: / / www.21cnjy.com )在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：．
A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
23．如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定逐个判断即可得．
【详解】
①在和中，，
，则条件①能满足；
②，
，则条件②不能满足；
③在和中，，
，则条件③能满足；
④由得：，
对应的夹角与不一定相等，
此时和不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
24．下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A、三边对应成比例的两个三角形相 ( http: / / www.21cnjy.com )似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
25．如图，要使，需补充的条件不能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【详解】
∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
故选：D
【点睛】
本题考查相似三角形的判定方法的开放 ( http: / / www.21cnjy.com )性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．【来源：21cnj*y.co*m】
26．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠D
C． D．且∠A=∠D
【答案】B
【分析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：、，，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
、，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
、且，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
27．如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
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A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．
【详解】
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
【点睛】
本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．
28．如图所示，已知点、、、在一条直线上，，下列（ ）作为条件添上，不能使得
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】
∵，
∴，
A、∵，，
∴∽，本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
又∵，
∴∽，本选项不符合题意；
C、∵，，
∴∽，本选项不符合题意；
D、因为，但不能得出，所以不能得出∽，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
29．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
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A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【答案】B
【分析】
首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．
【详解】
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
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过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，
∴BN，
∴CM，
∴，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3，）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
30．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰梯形的性质对各个结论进行分析即可得到正确结论.
【详解】
等腰梯形是轴对称图形，故①正确；
可证明△ABC≌△DCB
∴
,
∴△AOB≌△DOC，故③正确；
AD∥BC
∴△AOD∽△BOC,故④正确.
故选B.
【点睛】
本题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定等知识点.
二、填空题
31．如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）．
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【答案】答案不唯一，如：
【分析】
根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
【详解】
∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；
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∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是；
故答案为：DB：BA=AB：BC或．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
32．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条．
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【答案】4
【分析】
过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
【详解】
解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
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②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与作图，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
33．如图，P为线段AB上一点， ( http: / / www.21cnjy.com )AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．
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【答案】3
【分析】
先根据条件证明△PCF∽△BCP， ( http: / / www.21cnjy.com )利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
【详解】
解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．
34．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
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【答案】①③④
【分析】
根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确
【详解】
解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．
35．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形______________．
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【答案】
【分析】
设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】
解：设AP，
∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，
∴AP=PB=BC=CD，
∴AB=，
∴，，
∴，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△ABC∽△DBA．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
三、解答题
36．如图1，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，若，分别是，上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值为．
【分析】
（1）选证得，即可证明结论；
（2）利用折叠的性质，在Rt△ABF中，求得BF的长，设CE=x，在Rt△CEF中，利用勾股定理构建关于x的方程，即可求解；
（3）根据折叠的性质，点F、D关于 ( http: / / www.21cnjy.com )直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，证明四边形QFCD是矩形，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵由翻折得到，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，.
设，则，
在中，，
∴，
在中，，即，
解得，即.
（3）如图，根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，21cnjy.com
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90，又FQ⊥AD，
∴四边形QFCD是矩形，
∴FQ=CD=AB=3，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
37．如图，在矩形ABCD中，AB＝3 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．
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【答案】
【分析】
通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
【详解】
解：如图，
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∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．
38．如图，直线a∥b，点M、N ( http: / / www.21cnjy.com )分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．
（1）证明△MPD∽△NPE．
（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．
（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．
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【答案】（1）见解析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°
【分析】
(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形对应边相等得到MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)需要分类讨论：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根据三角形内角和计算即可．
【详解】
(1)证明：∵a∥b，
∴△MPD∽△NPE．
(2)∵a∥b，
∴∠MDP＝∠NEP，
∴当△MPD与△NPE全等时， MP＝NP，即点P是MN的中点；
(3)∵a∥b，
∴∠1＝∠PNE＝70°，
①若PN＝PE时，
∴∠PNE＝∠PEN＝70°．
∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
∴∠a＝40°；
②若EP＝EN时，则a＝∠PNE＝70°；
③若NP＝NE 时，则∠PEN＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE＝110°，
∴α＝∠PEN═55°；
综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．
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【点睛】
本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．
39．如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠C＝90°，∠A＝30°，请把Rt△ABC分割成两个三角形，并且两个三角形都和原Rt△ABC相似．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
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【答案】见解析
【分析】
依据∠ACB是直角，过C作AB的垂线段CD，即可得到△ACD、△CBD都与△ABC相似．
【详解】
解：如图所示，△ACD、△CBD都与Rt△ABC相似．
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【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
40．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
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（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．
41．已知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．
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【答案】图见解析；理由见解析
【分析】
作AB的垂线即可；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判定．
【详解】
解：如图，作AB的垂线，垂足为P，直线CP就是所求直线；
证明：∵CP⊥AB，
∴∠CPA=∠BPC=90°，
∵，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACP=90°，
∴∠ACP =∠B，
∴△CPA∽△BPC．
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【点睛】
本题考查了尺规作图和相似三角形的判定，解题关键是熟悉尺规作图的方法，根据相似确定如何作图．
42．如图，在四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【分析】
过点E作PE⊥BD交BD于P，△PDE即为所求作．
【详解】
解：如图，点P即为所求作．
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由作图知，∠EPD＝90°，
∵∠ADC＝∠DBC＝90°，
∴∠EDP+∠BDC＝∠C+∠BDC＝90°，
∴∠EDP＝∠C，
∴Rt△DEP∽Rt△CDB．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
43．如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若ABCD为平行四边形，，，求FD的长度．
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【答案】（1）见详解；（2）2
【分析】
（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论；
（2）先证明AD∥BE，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，∠AFD=∠EFC，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，AB＝CD＝6，
∴AF：EF＝DF：CF，
又∵EF＝2AF，
∴DF：CF＝1：2，即DF＝DC＝2．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质及相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．21教育名师原创作品
44．如图，点在的边上，，求证：．
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【答案】见解析．
【分析】
根据，得到，根据∠A为公共角即可证明结论．
【详解】
证明：∵，
∴.
又∵，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
45．如图，在中，是斜边上的高，点为上一点，连接交于点，作交于点．
（1）求证：；
（2）写出图中除（1）中的相似三角形外的其它相似三角形．
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【答案】（1）见解析；（2），，，
【分析】
（1）证明：由得，可得，由，可得利用等角的补角相等得∠ANM=∠CPB，可证．
（2）由∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC，可得，由，可得由∠CDA=∠BDC=90°得，有由传递性得，由，得，由公用角可得即可．
【详解】
（1）证明：
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∵得，
∴，
∴
又∵，
∴，，
∴
∴∠ANM=180°-∠MNB=180°-∠DPB=∠CPB，
∴．
（2）∵∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC
∴，
∵，
∴，
∴
∵∠CDA=∠BDC=90°
∴，
由，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
∴还有四对三角形相似分别为：，，，．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理，结合图找到相似的根源是解题关键．
46．已知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．21世纪教育网版权所有
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【答案】作图及理由见解析．
【分析】
直接利用过直线外一点作已知直线的垂线作法得出AD，再利用相似三角形的判定方法得出答案．
【详解】
解：如图，AD为所作．
( http: / / www.21cnjy.com )理由：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
又∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD．21教育网
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【点睛】
本题考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
47．已知：如图，在中，，点、在边上，．
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求证：．
【答案】见解析．
【分析】
根据三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE，由，，推出∠AEC=∠BAF，利用AB=AC推出∠B=∠C即可证明结论．
【详解】
证明：，
，
，
．
又，
，
．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定定理，熟记相似三角形的判定方法并正确确定两个三角形的对应相等的条件是解题的关键．
48．如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；
（2）两次用同角的余角相等推出和即可．
【详解】
（1）证明：，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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【点睛】
本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键．
49．如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．
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（1）求证：；
（2）请你再写出两对相似三角形．
【答案】（1）见解析；（2），．
【分析】
（1）根据三角形内角和证即可；
（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∠E=∠E，
∴，
同理，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．
50．已知：如图在菱形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
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【答案】见解析．
【分析】
由题意可得△CDF≌△CBE，所以可得∠DCF＝∠BCE，进一步结合菱形的性质可得∠H＝∠BCE，再由∠B＝∠B即可得到所证结论成立．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
【点睛】
本题考查菱形的综合应用，综合运用菱形的性质、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定是解题关键 ．
51．如图，在和中，，．
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求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴．
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
52．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
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【答案】见解析
【分析】
根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．
【详解】
证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．
53．已知：如图，△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°，求证：△ABD∽△DCE；www-2-1-cnjy-com
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【答案】见解析
【分析】
先根据条件得到是等腰直角三角形，两个底角是，再利用外角和定理证明，从而根据两组对应角相等的三角形相似，证出．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
54．如图，在菱形中，点E、F分别在、上，且．延长、交于点G．
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（1）求证：．
（2）连接，交于点H，若，，．求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据菱形的性质易证，即可证明；
（2）根据菱形的性质得到，，利用平行线分线段成比例定理得到，，代入数据即可求解．
【详解】
（1）∵菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
在与中，
，
∴；
（2）在菱形中，
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∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键．21*cnjy*com
55．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
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【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD
【分析】
（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；
（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；
（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．
【详解】
(1)证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中,
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠AFB=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD.
56．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．
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【答案】见解析．
【分析】
根据AC＝AB证明，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，AD∥BC，
∵AC＝AB，
∴AO＝AB，
∴，
∵，
∴，
∵∠CAB＝∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠ABD＝∠DAC．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，得对应角相等．
57．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过A作 AF⊥DE，垂足为F．△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
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【答案】相似，理由见解析
【分析】
结论：相似．根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
【详解】
解：相似．理由如下：
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△DEC∽△ADF．
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【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
58．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．
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【答案】（1）见解析；（2）16；（3）EB=EG，理由见解析
【分析】
（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE ≌△CBF即可；
（2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可；
（3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
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∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．
∵BE= BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
∴△ABE ≌△CBF．
∴AE=CF．
（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE，
∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．
∵∠BAF=∠BCE=，
∴△ABF∽△CEB．
∴．
∴=16．
（3）如图2
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∠EBF=∠GCF=45°，
∠EFB=∠GFC，
∴△BEF∽△CGF.
∴.
即.
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC.
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF =∠EGF.
∴EB=EG.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键．www.21-cn-jy.com
59．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
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【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
【分析】
（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
② ( http: / / www.21cnjy.com / )
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③ ( http: / / www.21cnjy.com / )
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
60．如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先证明DE=PD，再根据三角形的性质，证明BG=DP即可．
（2）连结AC，证明△ABE∽△PDE，设CP=，用含的式子表达AB，AM，ME，利用勾股定理，即可求解．
【详解】
（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD
∵FPBD
∴∠DEP＝∠APF＝∠APD，BG=DP，
∴DE=PD
又∵BG＝DP ，DE=PD
∴BG＝DE ．
（2）连结AC，交BD，FP分别为M，N两点．
∵四边形ABCD是菱形
，BM＝DM，PN=GN．
∵ABCD
∴∠ABE=∠PDE，∠BAE=∠DPE
在△ABE和△PDE中
∴△ABE∽△PDE
∵DP=DE，
∴ AB=BE
又∵CP:DP=1:3，AP=7，设CP=
DP=DE=3CP=3，AB=BE=4， BD=7，，
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
AM2=，
得=2．
，
得．
．
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【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，图形翻 ( http: / / www.21cnjy.com )折的性质，相似三角形的判定定理和勾股定理；正确掌握菱形的性质，图形翻折的性质，相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．
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第04讲 探究三角形相似的条件
【提升训练】
一、单选题
1．如图，是的边上的一点，在直线上找一点，使得与相似，则满足这样条件的点有（ ）21cnjy.com
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A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四条边相等
3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
4．如图，已知矩形ABCD中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）21·cn·jy·com
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A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．www.21-cn-jy.com
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．【来源：21cnj*y.co*m】
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
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A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
6．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
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A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
7．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中能判断的是（ ）
①；②；③；④．
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A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
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A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
9．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
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A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
10．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
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A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
11．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（ ）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
12．如图，在中，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）21教育网
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A．个 B．个 C．个 D．个
13．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，，
C．1，， D．1，，
14．如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（ ）
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A． B．是的平分线
C． D．
15．如图，中，、两点分别在、上，且平分，若，与相交于点．则图中相似三角形的对数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1 B．2 C．3 D．4
16．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似
17．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个钝角三角形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
18．如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（ ）
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A． B． C． D．
19．如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（ ）
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A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD BC D．
20．如图，点在的边上，添加下列一个条件仍不能判断与相似的是（ ）
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A． B．
C． D．
21．如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（ ）
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A． B． C． D．
22．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
23．如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
25．如图，要使，需补充的条件不能是（ ）
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A． B．
C． D．
26．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠D
C． D．且∠A=∠D
27．如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
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A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
28．如图所示，已知点、、、在一条直线上，，下列（ ）作为条件添上，不能使得
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A． B． C． D．
29．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（ ）
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A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
30．如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
31．如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）．【出处：21教育名师】
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32．如图，在Rt△ABC的直角边 ( http: / / www.21cnjy.com )AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有_____条．
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33．如图，P为线段AB上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．21*cnjy*com
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34．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．21教育名师原创作品
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35．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形______________．
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三、解答题
36．如图1，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，若，分别是，上的动点，求的最小值．
37．如图，在矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．21·世纪*教育网
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38．如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a ( http: / / www.21cnjy.com )和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．2-1-c-n-j-y
（1）证明△MPD∽△NPE．
（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置．
（3）当△NPE是等腰三角形时，求α的值．
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39．如图，在Rt△ABC，∠C＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，∠A＝30°，请把Rt△ABC分割成两个三角形，并且两个三角形都和原Rt△ABC相似．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【版权所有：21教育】
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40．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
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（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
41．已知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．
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42．如图，在四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法）
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43．如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若ABCD为平行四边形，，，求FD的长度．
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44．如图，点在的边上，，求证：．
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45．如图，在中，是斜边上的高，点为上一点，连接交于点，作交于点．
（1）求证：；
（2）写出图中除（1）中的相似三角形外的其它相似三角形．
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46．已知中，．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．
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47．已知：如图，在中，，点、在边上，．
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求证：．
48．如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
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49．如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．
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（1）求证：；
（2）请你再写出两对相似三角形．
50．已知：如图在菱形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．
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51．如图，在和中，，．
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求证：．
52．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
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53．已知：如图，△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°，求证：△ABD∽△DCE；
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54．如图，在菱形中，点E、F分别在、上，且．延长、交于点G．
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（1）求证：．
（2）连接，交于点H，若，，．求的长．
55．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
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56．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．
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57．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过A作 AF⊥DE，垂足为F．△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．21*cnjy*com
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58．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．
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59．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
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60．如图，已知P是菱形ABCD中CD边上一点，AP交对角线BD于点E，将沿AP翻折得，FP交边BC于点G，．
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（1）求证：；
（2）若，，求的长．
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