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第04讲 探究三角形相似的条件
【基础训练】
一、单选题
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
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A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
3．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
5．下列命题中，错误的是（ ）
A．所有的正多边形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
6．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）21教育网
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A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
7．如图，在中，点D在BC上一点，下列条件中，能使与相似的是（ ）
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A．∠BAD＝∠C B．∠BAC＝∠BDA C．AB2＝BD BC D．AC2＝CD CB
8．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．③④
9．如图，已知△ABC与△BDE都是等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
10．如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
11．下列说法正确的是( )
A．四个内角对应相等的两个四边形一定相似
B．四条边对应成比例的两个四边形一定相似
C．一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似
D．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
12．下列命题是假命题的是（ ）
A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似
C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似
13．下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
14．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
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A．AB∥CD B．
C． D．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后，不能判断△AED∽△ABC的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．＝ B．＝ C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C
16．下列条件，能使和相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．下列能判定的条件是( )
A． B．，
C．， D．，
18．如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，则图中的相似三角形有（ ）
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A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
19．如图，已知中，，于点D，则图中相似的三角形有（ ）
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A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
20．如图所示的三个三角形中，相似的是（ ）
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A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）
21．如图，点D，E分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（ ）
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A． B． C． D．
22．已知图（1）、（2）中各有两个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似
23．如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）21·cn·jy·com
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A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形
C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形
24．如图，下列条件能判定的是（ ）
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A． B．
C． D．
25．中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ）
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A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
26．如图，在中，为上一点，若，则（ ）
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A．～ B．～ C．～ D．无法判断
27．下列条件中可以判定的是（ ）
A．， B．，
C． D．
28．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）
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A． B． C． D．
29．如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，不能判定与相似的是（ ）
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A．① B．② C．③ D．④
30．如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推得三角形①与②相似的是（ ）
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A．都相似 B．都不相似
C．只有图1相似 D．只有图2相似
二、填空题
31．在中，，点P为中点，经过点P的直线截，使截得的三角形与相似，这样的直线共有______条．2·1·c·n·j·y
32．（1）把长为的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．
（2）若点C是线段AB的黄金分割点，则_________．
（3）如图，，则图的相似三角形共有_______对．
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33．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①；②；③；其中能与相似的是_________．（除外）21·世纪*教育网
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34．一个直角三角形的两条边分别为4和8， ( http: / / www.21cnjy.com )另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．2-1-c-n-j-y
35．如图，是斜边上的高，于，则图中与相似的三角形有_________个．
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三、解答题
36．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以为边的平行四边形，顶点E，F在格点上；
（2）在图2中画出以为边且与相似的，使顶点D在格点上（不与全等）．
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37．（1）因式分解：4a3 -16a；
（2）如图，在中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：．
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38．如图，在中，四边形是平行四边形．求证：．
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39．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
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40．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．
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41．如图，在中，请用尺规作图法，在边上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
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42．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
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（1）尺规作图：在AB上求做点D使得DC＝DB．
（2）设E为BC的中点，连接DC和DE，求证△DCE∽△ABC．
43．如图，、、三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．
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（1）请在上标出点，连接，使得；
（2）试证明上述结论：．
44．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC与△BPD相似吗？为什么？
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45．我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在和中，，且，则与相似吗？并说明理由．www.21-cn-jy.com
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46．已知：如图，在中，，，、分别在、上，，．求证：．
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47．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：．
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48．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
求证：△ABD∽△DCE．
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49．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△CBF；www-2-1-cnjy-com
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50．如图，在中，点在边上，，求证：．
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51．（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且．求证：．
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（2）若，且，求k的值．
52．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F．
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（1）找出图中所有的相似三角形（不再添加辅助线），它们分别是_____．
（2）请在你找出的各对相似三角形中，选择一对加以证明．
53．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．21cnjy.com
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54．如图，在中，，于．
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（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
55．如图，为的高，请用尺规作图法在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
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56．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
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57．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．
求证：△DME∽△BCA．
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58．如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．
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59．如图，已知△ABC，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）作∠B的平分线与AC交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），
（2）求证：△BDC∽△ABC．
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60．综合与实践：
操作与发现：
如图，已知A，B两点在直线 ( http: / / www.21cnjy.com )CD的同一侧，线段AE，BF均是直线CD的垂线段，且BF在AE的右边，AE＝2BF，将BF沿直线CD向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线CD相交于点P，点G是AE的中点，连接BG．21*cnjy*com
探索与证明：求证：
（1）四边形EFBG是矩形；
（2）△ABG∽△PBF．
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第04讲 探究三角形相似的条件
【基础训练】
一、单选题
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】
根据题意得：，，，
∴，
A、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC不相似；
B、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC不相似；
C、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC相似；
D、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC不相似．
故选：C．
【点睛】
考查相似三角形的判定，掌握三边对应成比例的两三角形相似是解题的关键．
2．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
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A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
【答案】D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对 ( http: / / www.21cnjy.com )应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
3．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可．
【详解】
①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
所以选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
4．下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的定义依次判断各选项即可．
【详解】
解：所有的等腰三角形都相似，如果顶角不相等，则两个等腰三角形不相似．故A错误．
有一对锐角相等的两个直角三角形相似，全等的三角形一定相似，所有的等边三角形都相似都可根据相似判定定理得出．故B，C，D正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的定义，解答关键是按照定义进行判定．
5．下列命题中，错误的是（ ）
A．所有的正多边形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
【答案】A
【分析】
分别按照相似三角形和相似多边形的判定方法进行判定即可．
【详解】
解：选项A中，边数不同的正多边形不能相似，故错误；
选项B中，有一对锐角相等的两个直角三角形还有两个直角相等，则两个三角形相似，故正确；
选项C中，全等的三角形对应边之比为1，则两个三角形相似，故正确；
选项D中，全等三角形的各个内角都相等，则所有的等边三角形都相似，故正确．
故应选：A
【点睛】
本题考查了相似三角形和相似多边形的判定，解答关键是按照相关定理进行判定．
6．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．
【详解】
解：∵四边形的对角线相交于点，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB∽△COD．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．
7．如图，在中，点D在BC上一点，下列条件中，能使与相似的是（ ）
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A．∠BAD＝∠C B．∠BAC＝∠BDA C．AB2＝BD BC D．AC2＝CD CB
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定即可．
【详解】
与有一个公共角，即，
要使与相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，
观察四个选项可知，选项D中的，
即，正好是与的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
8．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】
利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.
【详解】
解：由图，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为：；
②图中阴影三角形的边长分别为：；
③图中阴影三角形的边长分别为：；
④图中阴影三角形的边长分别为：；
可以得出①②两个阴影三角形的边长，
所以图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确.
9．如图，已知△ABC与△B ( http: / / www.21cnjy.com )DE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
【答案】C
【分析】
利用等边三角形的性质可得再利用公共角可得答案．
【详解】
解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
10．如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例 且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形中，有 但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
11．下列说法正确的是( )
A．四个内角对应相等的两个四边形一定相似
B．四条边对应成比例的两个四边形一定相似
C．一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似
D．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
【答案】C
【分析】
根据命题的相关知识进行逐一判断即可得解.
【详解】
A.四个内角对应相等的两个四边形不一定相似，A选项错误；
B.四条边对应成比例的两个四边形不一定相似，B选项错误；
C.一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似，满足了两组边对应成比例且两边夹角相等的判定定理，C选项正确；
D.正确说法是两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，D选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了有关三角形及四边形相似判定定理命题的判断，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键.
12．下列命题是假命题的是（ ）
A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似
C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】
解：A、所有等边三角形一定相似，故A选项为真命题；
B、所有等腰直角三角形一定相似，故B选项为真命题；
C、有一个角为的两个等腰三角形相似，故C选项为真命题；
D、有一条边对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，故D选项为假命题，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．21世纪教育网版权所有
13．下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定分别对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A．两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，
B．两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误，
C．两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，
D．有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的判定，关键是熟练掌握有关判定定理．
14．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
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A．AB∥CD B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对 ( http: / / www.21cnjy.com )应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后，不能判断△AED∽△ABC的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．＝ B．＝ C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】
解：A、不能判断，△AED∽△ABC．
B、由＝，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
C、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
D、∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定，掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握相似三角形的判定方法是解此题的关键，相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出基本图形．
16．下列条件，能使和相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行判断．
【详解】
解：A、，不能使和△相似，错误；
B、，能使和△相似，正确；
C、，不能使和△相似，错误；
D、，不能使和△相似，错误；
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．
17．下列能判定的条件是( )
A． B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．
【详解】
解：A. ，，则，故此选项错误；
B. ，，则，故此选项错误；
C. ，，则，故此选项错误；
D. ，，则，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．
18．如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，则图中的相似三角形有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】A
【分析】
根据相似的判定条件,寻找两组对应角即可．
【详解】
由,,得；
由,,可得；
由,,可得；
由,得,
∴,又,
∴．故题图中的相似三角形有4对,
故选A．
【点睛】
本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件．
19．如图，已知中，，于点D，则图中相似的三角形有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【分析】
找出对应角判定相似即可．
【详解】
∵,
∴,,,
∵,
∴,,
∴,,
∴,,,
∴题图中相似的三角形有3对．
故选D．
【点睛】
本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件．
20．如图所示的三个三角形中，相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和（3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似的判定找到两组对应角即可．
【详解】
题图（1）中三角形的三个内角分别为71°,65°,44°,
题图（2）中三角形的三个内角分别为71°,44°,65°,
题图（3）中三角形的三个内角分别为71°,67°,42°,
所以（1）和（2）相似．
故选A．
【点睛】
本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件．
21．如图，点D，E分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【详解】
解：由题意得，∠A=∠A，
A、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
C、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
D、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．21cnjy.com
22．已知图（1）、（2）中各有两个三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似
【答案】C
【分析】
对于图（1），先利用三角形内角和计算 ( http: / / www.21cnjy.com )出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．
【详解】
解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于，，，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握和应用相似三角形的判定定理．
23．如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形
C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形
【答案】C
【分析】
如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题．
【详解】
解：A.
又平分
故A不符合题意；
B.平分
又
故B不符合题意；
C. 三角形与三角形，仅有一个公共角，不能证明相似，故C错误，符合题意；
D.
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．如图，下列条件能判定的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形相似的判定定理，逐一验证判断即可．
【详解】
∵，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
且，
∴，
∴选项B，D不符合题意，选项C符合题意；
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了有公共角的两个三角形相似的条件，是条件开放型考题，熟练运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．2-1-c-n-j-y
25．中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：①，，可证，故①符合题意；
②，，可证，故②符合题意；
③，，可证，故③符合题意；
④，，不能证明，故④不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．
26．如图，在中，为上一点，若，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．～ B．～ C．～ D．无法判断
【答案】C
【分析】
首先根据得出，然后根据即可判定～，从而可得出答案．
【详解】
，
．
，
∴～，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
27．下列条件中可以判定的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】A
【分析】
判定两个三角形相似，可用两个对应角相等，也可以是对应边对应成比例，但必须夹角相等．
【详解】
A、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定相似，故选项正确；
B、对应边成比例，但不是、的夹角，不能判定相似故选项错误；
C、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定相似故选项错误；
D、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定相似故选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
28．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案.
【详解】
解：A、，，则可判断，不符合题意；
B、，，则可判断，不符合题意；
C、 ，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意；
D、 ，，则可判断，不符合题意
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似.21*cnjy*com
29．如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，不能判定与相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定方法解题：对应角相等，对应边成比例，据此解题．
【详解】
解：①在与中，
，，
正确，故①不符合题意；
②在与中，
，，
正确，故②不符合题意；
③在与中，
即
又
正确，故③不符合题意；
④在与中，
即，
不符合相似三角形判定法则，错误，故④符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
30．如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推得三角形①与②相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．都相似 B．都不相似
C．只有图1相似 D．只有图2相似
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理判断选项的正确性．
【详解】
解：图1中，根据条件只能得到对应边成比例，但是缺少夹角相等的条件，不能得到三角形相似，
图2中，根据三角形内角和定理，三角形①未知的角是，再根据一组对顶角相等，可以得到这两个三角形有两组对应角相等，则两个三角形相似．21*cnjy*com
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
二、填空题
31．在中，，点P为中点，经过点P的直线截，使截得的三角形与相似，这样的直线共有______条．
【答案】3
【分析】
根据相似三角形的判定方法，画出图形判断即可．
【详解】
解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
32．（1）把长为的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．
（2）若点C是线段AB的黄金分割点，则_________．
（3）如图，，则图的相似三角形共有_______对．
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【答案】cm 或 3
【分析】
（1）根据黄金分割的定义，利用较长线段的长度为整个线段的倍进行计算．
（2）分BC＞AC和BC＜AC两种情况分别求解；
（3）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似可判断相似三角形的对数．
【详解】
解：（1）较长线段的长度=×8cm=cm；
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，
当BC＞AC时，
；
当BC＜AC时，
，
∴=；
（3）∵AD∥EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，△AFD∽△CFB，△BEF∽△BAD，
∴共3对．
故答案为：cm；或；3．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．www.21-cn-jy.com
33．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①；②；③；其中能与相似的是_________．（除外）21教育名师原创作品
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【答案】③（）
【分析】
分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】
解：根据网格可知：AB=1，AC=，BC=，△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，
同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：2；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键．
34．一个直角三角形的两条边分别为4和 ( http: / / www.21cnjy.com )8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．2·1·c·n·j·y
【答案】不一定
【分析】
如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案．【出处：21教育名师】
【详解】
解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；
如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似．
综上：这两个直角三角形不一定相似；
故答案为：不一定．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
35．如图，是斜边上的高，于，则图中与相似的三角形有_________个．
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【答案】4
【分析】
根据有两个角对应相等的两个三角形相似逐个判断即可．
【详解】
解：∵BD是Rt△ABC斜边AC上的高，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，∠C+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠ABD，
∴△ADB∽△BDC，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
同理△ADB∽△ABC；△BDE∽△DEA∽△BAD，
即图中与△ABC相似的三角形有△BDC、△ADB、△AED、△DEB共4个，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理．能利用直角三角形的两锐角互余找到对应角相等的角是解此题的关键．
三、解答题
36．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以为边的平行四边形，顶点E，F在格点上；
（2）在图2中画出以为边且与相似的，使顶点D在格点上（不与全等）．
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【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】
（1）将点同时向上平移1个网格可得点，连接即可得；
（2）先根据网格特点、勾股定理可得，找出一点使得即可得．
【详解】
解：（1）将点同时向上平移1个网格可得点，连接即可得到平行四边形，如图所示：
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（2）如图，，
，
是直角三角形，且，
在和中，，
，
则图中即为所求．
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【点睛】
本题考查了平行四边形的作图、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形和相似三角形的判定是解题关键．
37．（1）因式分解：4a3 -16a；
（2）如图，在中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：．
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【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）因式分解，提取公因式、再利用平方差公式；
（2）根据角平分线性质及利用两角对应相等证明两个三角形相似．
【详解】
（1）解：原式，
.
（2）证明：平分，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了因式分解，角平分线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，相似三角形的判定，解题的关键是：需要熟练掌握提取公因式及利用平方差公式；需要掌握证明三角形相似的判定定理．【来源：21·世纪·教育·网】
38．如图，在中，四边形是平行四边形．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据平行得角相等，即可得证相似．
【详解】
解：证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定的方法是解题的关键．
39．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
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【答案】证明见解析．
【分析】
由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
【详解】
证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】
本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
40．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．
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【答案】见解析
【分析】
根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴△DEC∽△ADF．
【点睛】
本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
41．如图，在中，请用尺规作图法，在边上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【分析】
以为角的一边，在三角形的内部作，射线交于点，即为所求．
【详解】
解：如图，即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
42．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
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（1）尺规作图：在AB上求做点D使得DC＝DB．
（2）设E为BC的中点，连接DC和DE，求证△DCE∽△ABC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）作出BC的垂直平分线即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）作BC的垂直平分线交AB于D，
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则点D即为所求；
（2）∵，E为BC的中点，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的证明，线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
43．如图，、、三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．
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（1）请在上标出点，连接，使得；
（2）试证明上述结论：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据相似三角形的判定（SAS）解题；
（2）由勾股定理解出，再由相似三角形的判定（SAS）解题．
【详解】
解：（1）如图，点是所求作的点；
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（2）由勾股定理得：，
依题意得：，，
∴，，
∴，
又，
∴．
【点睛】
本题考查网格与勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
44．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC与△BPD相似吗？为什么？
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【答案】△APC与△BPD相似，理由见解析
【分析】
根据PC＝PD＝CD得出△PCD是等边三角形，从而得出∠4＝∠5＝120 ，再根据两角对应相等即可得出△APC与△BPD．【版权所有：21教育】
【详解】
解： △APC与△BPD相似，理由如下：
∵PC ＝PD ＝CD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠1＝∠2＝∠3＝60 ，
∴∠4＝∠5＝120 ，
又∵∠A ＝∠BPD
∴△APC ∽△BPD．
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【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角形的判定与性质．
45．我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在和中，，且，则与相似吗？并说明理由．
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【答案】相似；理由见解析
【分析】
根据三角形相似的判定条件：三边对应成比例，即可证得．
【详解】
相似，理由如下：
令，
则，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件．
46．已知：如图，在中，，，、分别在、上，，．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【分析】
根据题意可求出，且其夹角相等即可证明．
【详解】
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
∴，
∵
∴．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定．掌握两边成比例且其夹角相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
47．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：．
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【答案】证明见解析
【分析】
由矩形，证明 结合：，证明：，从而可得结论．
【详解】
解： 矩形ABCD，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
48．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
求证：△ABD∽△DCE．
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【答案】见解析．
【分析】
两个三角形中如果两组角对应相等,那么这两个三角形互为相似三角形,从而可证明本题．
【详解】
证明:∵∠ABC=∠ACB=60°, ( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠ABD=∠ECD=120°,
又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,
∠ADB+∠EDC=60°
∴∠DAB=∠EDC
△ABD∽△DCE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形．
49．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△CBF；
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【答案】见解析
【分析】
根据矩形的性质可得∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°，由CF⊥CE可证∠BCF＝∠DCE，则可证△CDE∽△CBF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°．
∵CF⊥CE
∴∠ECF＝90°．
∴∠BCD－∠ECB＝∠ECF－∠ECB．
即∠BCF＝∠DCE．
∴△CDE∽△CBF．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
50．如图，在中，点在边上，，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
根据相似三角形的判定方法直接证明即可．
【详解】
证明：在与中，
∵，，
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，题目比较基础，找到两组对应相等的角是解题的关键．
51．（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且．求证：．
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（2）若，且，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据正方形性质可得，在和中，根据已知条件和余角定理可得，根据相似三角形判定定理即可证明．
（2）根据比例的性质，、、可以写成、、的形式，、、的和写成含有字母k的式子，根据题意得出k的值．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
∵
∴(AA)
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和比例的性质，熟练掌握相似三角形判定定理和比例的性质是解题关键．
52．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F．
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（1）找出图中所有的相似三角形（不再添加辅助线），它们分别是_____．
（2）请在你找出的各对相似三角形中，选择一对加以证明．
【答案】（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF，（2）选△EAF∽△EBC，理由见解析．
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形可以得到对边平行，那么就存在“A”字型和“8”字型的相似三角形；
（2）结合平行线的性质，利用两组对应角相等证明三角形相似．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴△EAF∽△EBC，
∵，
∴△CDF∽△EAF，
∴△CDF∽△EBC，
故答案是：△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF；
（2）选△EAF∽△EBC，
理由如下：在ABCD中AD∥BC，
∴∠EAF＝∠B．
又∵∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EBC．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
53．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
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【答案】△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA，证明见解析
【分析】
由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析即可得出答案．
【详解】
解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．
∵AD、CE分别是△ABC的两条高，
∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠EBC＝∠ABD，
∴△ABD∽CBE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．注意掌握相似三角形的判定以及数形结合思想的应用．
54．如图，在中，，于．
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（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
【答案】（1），；（2）详见解析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出，，；
（2）根据题意可选择证明，利用等角代换得出，从而利用两角法判断．
【详解】
解：根据相似三角形的判定定理可知：
图中的两对相似三角形为：和；
（2）∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
55．如图，为的高，请用尺规作图法在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）．
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【答案】见解析
【分析】
过点A作AF⊥BC于F，△ACF即为所求．根据垂直得出，再根据公共角即可得证．
【详解】
解：如图，△ACF即为所求．
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证明如下：
【点睛】
本题考查作图 相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
56．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
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【答案】证明见解析．
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．21教育网
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
57．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．
求证：△DME∽△BCA．
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【答案】见解析
【分析】
先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明∽．21·cn·jy·com
【详解】
证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，
∴AC∥DN，
∴∠BEN=∠A，
∵∠BEN=∠DEM，
∴∠DEM=∠A．
在与中，
，
∴∽．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，方法有（1 ( http: / / www.21cnjy.com )）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．21·世纪*教育网
58．如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．
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【答案】证明见解析．
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】
是的角平分线
又
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
59．如图，已知△ABC，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）作∠B的平分线与AC交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），
（2）求证：△BDC∽△ABC．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠C＝72°，根据角平分线定义可得∠DBC＝36°，根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】
解：（1）如图所示．
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（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝36°，
∵∠C＝∠C，∠A＝∠DBC＝36°，
∴△BDC∽△ABC．
【点睛】
本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．
60．综合与实践：
操作与发现：
如图，已知A，B两点在直线C ( http: / / www.21cnjy.com )D的同一侧，线段AE，BF均是直线CD的垂线段，且BF在AE的右边，AE＝2BF，将BF沿直线CD向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线CD相交于点P，点G是AE的中点，连接BG．
探索与证明：求证：
（1）四边形EFBG是矩形；
（2）△ABG∽△PBF．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先通过等量代换得出G ( http: / / www.21cnjy.com )E＝BF，然后由AE⊥CD，BF⊥CD得出AE∥BF，从而得到四边形EFBG是平行四边形，最后利用BF⊥CD，则可证明平行四边形EFBG是矩形；
（2）先通过矩形的性质得出∠AGB＝∠GB ( http: / / www.21cnjy.com )F＝∠BFE＝90°，然后通过等量代换得出∠ABG＝∠PBF，再加上∠AGB＝∠PFB＝90°即可证明△ABG∽△PBF．
【详解】
（1）证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∵AE＝2BF，
∴BF＝AE，
∵点G是AE的中点，
∴GE＝AE，
∴GE＝BF，又AE∥BF，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∵BF⊥CD，
∴平行四边形EFBG是矩形；
（2）∵四边形EFBG是矩形，
∴∠AGB＝∠GBF＝∠BFE＝90°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABP﹣∠GBP＝∠GBF﹣∠GBP，
即∠ABG＝∠PBF，
∵∠ABG＝∠PBF，∠AGB＝∠PFB＝90°，
∴△ABG∽△PBF．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定，掌握矩形的判定及性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．
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