中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 用因式分解法求解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．1 B．0 C．0或1 D．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A． 3或1 B．1 C． 3 D．
3．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．3 D．
4．如图，在矩形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
5．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
6．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
8．若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或4
9．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
10．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定
11．一元二次方程x2＝2x的根是（ ）．
A．0 B．2 C．0和2 D．0和﹣2
12．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
13．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
14．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
15．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD， ( http: / / www.21cnjy.com )对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．5 D．6
17．请你判断，的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
19．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
20．在中，，， ，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
21．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； 【出处：21教育名师】
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
22．若关于x的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2015
23．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3
24．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
25．方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
26．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
27．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
28．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
29．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝x2＝1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
30．如图，在梯形中，，已知是上的一个动点， 如果为顶点构成的三角形是直角三角形，则长为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；②；③； ④
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
31．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
32．如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
33．已知是关于的方程的一个实数根，且该方程的两实数 根恰是等腰的两条边长，则的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C．6或10 D．8或10
34．如果，那么等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣2或4
35．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
36．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
37．关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（ ）
A．当方程有实数根时
B．当时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当时，方程的实数根为，
D．若，为方程的两个实数根，则有
38．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为( )
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
39．方程的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
40．如图，在矩形ABCD中，AB=14， ( http: / / www.21cnjy.com )BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
41．若关于x的一元二次方程的一个根为1，则实数k的值为________．
42．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．
( http: / / www.21cnjy.com / )
43．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
44．若a满足，则__________．
45．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________．21cnjy.com
三、解答题
46．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
47．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
48．先化简，再求值，其中是方程的解．
49．小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求的值；
（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积．
50．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
51．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．
52．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
53．先化简，再求值：，其中a是方程x2＋2x﹣3＝0的一个根．
54．如图1，点E为正方形内一点，，现将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G．21教育网
（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．
（2）连接，如图2
①若，试求的长；
②如图3，若，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
55．解方程：
56．解方程：＝1．
57．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解.
58．按要求解下列方程：
（1）x2﹣2021x＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0（配方法）
59．（1）计算：；
（2）解方程：．
60．若关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
61．解下列方程．
（1） x28x90 （2） x(x2)x20www.21-cn-jy.com
62．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
63．如图，在四边形中，点E在上，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：．
（2）若，求的长．
64．已知，求代数式的值．
65．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
66．解方程：．
67．（1）关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值和方程的另一个根．
（2）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）
（2）
69．问题再现：数形结合是解决数学问题的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：
（a＋b）2或a2＋2ab＋b2，∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13＋23＝32
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，2·1·c·n·j·y
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1＋2）×（1＋2）的大正方形，由此可得：13＋23＝（1＋2）2＝3221·世纪*教育网
（1）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2（要求自己构造图形并写出推证过程）2-1-c-n-j-y
（2）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13＋23＋33＋…＋n3＝ （要求直接写出结论，不必写出解题过程）21*cnjy*com
（3）实际应用：图3是由棱长为1的小 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：4×4×4 ( http: / / www.21cnjy.com )＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×1＝13个，然后利用类比归纳的结论，可得：13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2 ，图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有 个．
（4）逆向应用：如果由棱长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有 个．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
70．已知：直线y＝﹣x+12交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的直线y＝x+m交y轴于点C．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，点D为线段AB上的一点， ( http: / / www.21cnjy.com )点E在线段AC上，连接DE，延长DE交y轴于点F，且DE＝EF，设点D的横坐标为t，线段OF的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥AC，AG交ED的延长线于点G，DE交OA于点H，若DG＝EH，求d的值．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
71．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
72．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
73．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
74．阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes ( http: / / www.21cnjy.com )，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．【版权所有：21教育】
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 用因式分解法求解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．1 B．0 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1= ( http: / / www.21cnjy.com )0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A． 3或1 B．1 C． 3 D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．
【详解】
∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0,
∴k=1或k=-3, 且k+3≠0,
∴k=1,
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键．
3．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由题意可设，则有，进而可得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，
∴AH=EM，HM=AE，
∵，
∴，
由可设，
∴，
∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、一元二次方程的解法及勾股定理，熟练掌握利用正方形的性质、勾股定理及方程思想进行求解问题是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10， ( http: / / www.21cnjy.com )P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
【答案】D
【分析】
先证四边形PMEN是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
5．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用判别式的意义得到m＞ ，再根据根与系数的关系的，，则由可得，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】
解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞ ，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞ ，
∴m的值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键．21cnjy.com
6．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：∵（x1）（x+3）=x1，
∴（x1）（x+3）（x1）=0，
∴（x1）（x+2）=0，
则x1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
【答案】C
【分析】
解方程，根据方程根的情况判断即可．
【详解】
解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，
∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，
整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
故方程有两个正根．
答案：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
8．若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或4
【答案】C
【分析】
把代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得 ，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义以及解一元二次方程．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
【答案】D
【分析】
先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【详解】
解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【来源：21cnj*y.co*m】
10．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0列方程或不等式即可．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴=0且≠0，
解方程得，；
解不等式得，；
故，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式值为0和解一元二次方程，解题关键是根据已知列出方程和不等式，准确求解．
11．一元二次方程x2＝2x的根是（ ）．
A．0 B．2 C．0和2 D．0和﹣2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．
【详解】
移项得，x2-2x＝0，
提公因式得，x（x-2）＝0，
解得，x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
12．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．
【详解】
解：把代入原方程得：．
故选：．
【点睛】
用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
13．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将原方程整理为，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．
【详解】
解：，
移项，得，
分解因式，得，
则或，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键．
14．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
【答案】C
【分析】
把x=0代入方程，得到，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可．
【详解】
∵x的一元二次方程有一个根是0，
∴，且k-1≠0，
解得k= -2或k=1，且k≠1，
∴k= -2，
故选C．
【点睛】
本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
15．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；
【详解】
解：A.由可得，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
B.，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
C. ，，有两个实数根，故不符合题意；
D. ，没有实数根，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式Δ=b2 4ac以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．
16．如图①，在矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大 ( http: / / www.21cnjy.com )，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为6，得到AB与BC的积为24；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为10，得到AB与BC的和为10，构造关于AB的一元二方程可求解．
【详解】
解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为6．
∴AB·BC=6，即AB BC=24．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为10，
∴AB+BC=10．
则BC=10-AB，代入AB BC=24，得AB2-10AB+24=0，解得AB=4或6，
因为AB＞BC，所以AB=6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
17．请你判断，的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．
【详解】
解：当x＞0时，，
解得：x1＝1；x2＝2；
当x＜0时，，
解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，
∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．
18．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．12或14
【答案】B
【分析】
用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长.
【详解】
∵，
∴（x-7）(x-5)=0,
∴x=7或x=5；
当x=7时,
3+4=7，
∴三角形不存在；
当x=5时,
3+4＞5，
∴三角形存在，
∴三角形的周长为3+4+5=12；
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键.21教育名师原创作品
19．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题可用因式分解法，提取x后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x．
【详解】
解：∵x2-2x=0
∴x（x-2）=0，
可得x=0或x-2=0，
解得：x=0或x=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用
20．在中，，， ，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
利用分类讨论的思想，①当AC边为长边时，作交AC于点D，设BD=x，由题意可求出AD、DC长，再根据勾股定理可列出关于x的一元二次方程，解出x即可求出AB长；②当AB边为长边时，作交AB于点E，由题意可求出CE、AE长，再根据勾股定理可求出BE长，从而得到AB长．
【详解】
分类讨论：①当AC边为长边时，作交AC于点D，设BD=x，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
整理得：．
解得，．
当时，不合题意，所以此解舍去．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴．
②当AB边为长边时，作交AB于点E，
∵，
∴，．
在中，，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是解答本题的关键．
21．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； 【来源：21·世纪·教育·网】
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】
解：①解方程
（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
解得，，，得，，
方程不是倍根方程；
故①不正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故②正确；
③∵pq=2，则：，
，，
，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．21·世纪*教育网
22．若关于x的一元二次方程有一根为2020，则方程必有根为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2015
【答案】C
【分析】
设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2019．21*cnjy*com
【详解】
由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
23．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x+k2-2k-3=0的常数项等于0，则k的值等于（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．-3
【答案】B
【分析】
根据题意可得且，继而求得答案．
【详解】
由题意，得且，
∴且，
∴．
解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．
24．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
【答案】B
【分析】
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】
解：∵x2-8x+15=0，
∴（x-3） ( http: / / www.21cnjy.com )（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【分析】
移项并因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
26．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【答案】B
【分析】
首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【详解】
解：解方程x2-9x+18=0，得x1 ( http: / / www.21cnjy.com )=3，x2=6，
当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
27．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
28．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
【答案】D
【分析】
方程x（x﹣2）＝x﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决．
【详解】
解：x（x﹣2）＝x﹣2，
移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．
29．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝x2＝1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
【答案】B
【分析】
把原方程整理后，再根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵（x+1）（x-3）=-4，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x1=x2=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
30．如图，在梯形中，，已知是上的一个动点， 如果为顶点构成的三角形是直角三角形，则长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；②；③； ④
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】
分①∠CEB=90°，②∠ECB=90°和③∠EBC=90°三种情况，再利用勾股定理列出方程即可
【详解】
解：
过C点作CM⊥AB，垂足为M，则四边形AMCD为矩形
( http: / / www.21cnjy.com / )
AM=CD=4, CM=AD=8,∠CMB=90°
∴
设DE=x，则AE=12-x
在Rt△DEC中，
在Rt△AEB中，
①当∠CEB=90°时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴
∴
∴x=4或8
②当∠ECB=90°时
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴
∴
∴
③当∠EBC=90°时，
∵E是上的一个动点，且∠ACB<90°
∴此种情况不成立
综上所述，长为4或8或
故选：C
【点睛】
此题考查了勾股定理、矩形的性质和判定以及解一元二次方程，解题的关键是注意识图，掌握分类讨论的数学思想的应用．21世纪教育网版权所有
31．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
【答案】B
【分析】
利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【详解】
解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以或．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
32．如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平移的性质，结合阴影部分是平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】
解：设AC交A′B′于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC是正方形的对角线，
∴∠A=45°，∠D=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，
∴x (2-x)=1，即，
解得：，
即AA′=1cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
33．已知是关于的方程的一个实数根，且该方程的两实数 根恰是等腰的两条边长，则的周长为（ ）
A． B． C．6或10 D．8或10
【答案】B
【分析】
将x=2代入方程求出m=2，由此得到方程的另一个根，确定三角形的三条边长得到答案.
【详解】
把代入，得m=2，
∴该方程为，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∴△ABC的三边只能是，周长为,
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根，等腰三角形的定义，因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系.
34．如果，那么等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣2或4
【答案】B
【分析】
采用换元法解题，设，则，将解分式方程转化为解一元二次方程，再用完全平方公式法解题即可．
【详解】
设，则，那么原方程可化为：
，解得y＝1，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式方程、一元二次方程的解法，其中涉及转化思想、换元法，有一定的难度，熟练掌握一元二次方程的解法，理解题目特点是解题关键．
35．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
36．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】
方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【详解】
把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．
故选：A．
【点睛】
考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常 ( http: / / www.21cnjy.com )用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
37．关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（ ）
A．当方程有实数根时
B．当时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当时，方程的实数根为，
D．若，为方程的两个实数根，则有
【答案】B
【分析】
对一元二次方程进行变形，化为的形式，可知一个数的平方大于等于零，即可求出方程有解时k的取值范围，再根据不同的k值进行方程求解．【出处：21教育名师】
【详解】
解析：原方程可以化为，当时，方程有实数解，即．
因此当时，方程没有实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
当时，，，．
当时，由可以求得，
则有.
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程有解时以及一元二次方程的解法的相关知识．
38．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为( )
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
【答案】B
【分析】
先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【详解】
∵关于的一元二次方程的两根为，
∴或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
39．方程的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【分析】
首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．
【详解】
．
解：∵，
∴，
∴或或，
故选：B．
【点睛】
本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键．
40．如图，在矩形ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
分三种情况讨论：当在的两侧时，设 则当在的右侧时，设 当都在的左侧时，设 再利用勾股定理与平方差公式求解，从而可得答案．
【详解】
解：如图，当在的两侧时，设 则
( http: / / www.21cnjy.com / )
矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，
四边形 四边形都是矩形，
由勾股定理得：
整理得：
如图，当在的右侧时，设
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得：
解得： 不合题意舍去，
如图，当都在的左侧时，设
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得：
解得： 不合题意舍去，
综上：满足条件的点只有个，
故选：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，平方差公式的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．www.21-cn-jy.com
二、填空题
41．若关于x的一元二次方程的一个根为1，则实数k的值为________．
【答案】2
【详解】
把代入（，得，
整理，得，解得．
当时，，不合题意，舍去，
的值为2．
42．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】20
【分析】
根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．
【详解】
解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，
当共有210个小球时，
，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴第个图形共有210个小球．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．
43．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
【答案】
【分析】
先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】
解：，
,
解得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
44．若a满足，则__________．
【答案】3
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简出最简结果，再根据解一元二次方程得出a=-1或a=2，根据分式有意义的条件代入a值计算即可得答案．
【详解】
=
=
=，
∵，
∴或，
∵时0，
∴无意义，舍去，
∴，
当a=2时，=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查分式的混合运算和解一元二次方程，注意分式分母不为0的条件并熟练掌握运算法则是解题关键．
45．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于______________．
【答案】6或7．
【分析】
当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【详解】
解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
此时该方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
此时三角形的三边为4，4，2，符合题意；
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
此时该方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
此时三角形的三边为3，3，4，符合题意，
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：6或7．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题
46．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】
（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【详解】
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，
∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
47．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【答案】（1）k＜3；（2）
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根,令△＞0，即可解题，
（2）根据k的取值范围确定k的值,代入原方程即可求解．
【详解】
解：（1），
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得k＜3 ；
（2）取k＝2，得
，
解得：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和求解，属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键．
48．先化简，再求值，其中是方程的解．
【答案】；2
【分析】
先将括号外利用完全平方式计算，括号内通分 ( http: / / www.21cnjy.com )化简，再将除法改为乘法，最后结合平方差公式约分即可化简．解出一元二次方程的解，再利用使分式有意义的条件，确定x的值，最后将x的值代入化简后的式子求值即可．21*cnjy*com
【详解】
解：原式
∵，即，
∴解得：，，
∵当时，原分式无意义，
∴．
∴当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，使分式有意义的条件以及解一元二次方程．掌握分式的运算法则和解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
49．小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求的值；
（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设看错的常数为，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）首先解出一元二次方程的两个解，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）由题意得，设看错的常数为，
，
∴．
（2）原方程为，
解方程得，．
由菱形面积公式可得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程及菱形的面积，掌握二元一次方程组的解法及菱形的面积公式是关键．
50．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）；（2）此题答案不唯一，，，
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）令，利用因式分解法求解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程一般式为，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
．
，
；
（2）此题答案不唯一．如，
∴一元二次方程为，
因式分解得，
，．
∴当时，方程的根为，．
【点睛】
本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
51．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）；（2）当时，方程的两个整根为，
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．
【详解】
解：（1）由题意，，
即．
解得，．
（2）∵，
由题意，是平方数，
设，
原方程为，
，
或，
解得，，．
∴当时，方程的两个整数根为，．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解题的关键．
52．解方程：
（1）x2﹣7x﹣18＝0
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣2；（2）x1＝3，x2＝1
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）把（2x﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣7x﹣18＝0，
（x﹣9）（x+2）＝0，
∴x﹣9＝0或x+2＝0，
∴x1＝9，x2＝﹣2；
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0，
[（2x﹣3）﹣3][（2x﹣3）+1]＝0，
∴（2x﹣3）﹣3＝0或（2x﹣3）+1＝0，
∴x1＝3，x2＝1.
【点睛】
本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的关键．
53．先化简，再求值：，其中a是方程x2＋2x﹣3＝0的一个根．
【答案】；
【分析】
原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到a的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：
，
∵a是方程x2＋2x﹣3＝0的一个根．
∴或1，
当a=1时，原式无意义，舍去；
当a=-3时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
54．如图1，点E为正方形内一点，，现将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G．【版权所有：21教育】
（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．
（2）连接，如图2
①若，试求的长；
②如图3，若，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）正方形，证明见解析；（2）①9；②证明见解析．
【分析】
（1）先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定、正方形的判定即可得证；
（2）①先根据正方形的性质可得，，再在中，利用勾股定理即可得；
②如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据旋转的性质可得，最后根据正方形的性质可得，由此即可得证．
【详解】
证明：（1）四边形是正方形，证明如下：
由旋转的性质得：，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）①四边形是正方形，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
解得或（不符题意，舍去），
；
②如图，过点作于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
又四边形是正方形，
，
，
．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
55．解方程：
【答案】.
【分析】
先通过两边平方的形式去根号，将方程化成整式方程为，化简后得到一元二次方程，再利用十字相乘法因式分解即可得出方程的解.
【详解】
解：方程两边同时平方得：
化简得：
因式分解得：
解得：
，.
检验：
将代入原方程可得，是原方程的解；
将代入原方程可得，，不成立，不是原方程的解；
故答案为：.
【点睛】
本题重点考查一元二次方程的解法；当题目中的方 ( http: / / www.21cnjy.com )式不是整式方程时，要先通过去根号或去分母的方式先将方程转化成整式方程再去求解整式方程，此类方程注意整式方程得出的根要代入原方程检验；一元二次方程的戒饭，优先考虑直接开平方或因式分解法，再考虑公式法或配方法.21教育网
56．解方程：＝1．
【答案】x＝7
【分析】
直接去分母进而解分式方程，再检验得出答案．
【详解】
解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣1）得：
2x（x﹣1）﹣24＝（x+3）（x﹣1），
整理得：2x2﹣2x﹣24＝x2+2x﹣3，
则x2﹣4x﹣21＝0，
（x﹣7）（x+3）＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣1）＝0，
故x＝﹣3是方程的增根，
当x＝7时，（x+3）（x﹣1）≠0，
故x＝7是原方程的根．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
57．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解.
【答案】（1）见解析；（2）取k=0，.
【分析】
（1）求出根的判别式，证明它大于等于0即可；
（2）选取一个符合题意的值代入，解方程即可．
【详解】
（1））证明： ，
＝，
＝，
，
∵
方程总有两个实数根；
（2）当k＝0时，方程为x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，或 x+1=0，
解得x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题关键是熟练运用根的判别式进行计算和判断，会用因式分解法解一元二次方程．
58．按要求解下列方程：
（1）x2﹣2021x＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0（配方法）
【答案】（1）x1＝0，x2＝2021；（2）x1＝2＋2，x2＝2﹣2
【分析】
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣2021x＝0，
x（x﹣2021）＝0，
x＝0或x﹣2021＝0，
x1＝0，x2＝2021；
（2）x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣4x＝8，
x2﹣4x＋4＝8＋4，
（x﹣2）2＝12，
x﹣2＝±2
x1＝2＋2，x2＝2﹣2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
59．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）原式先化简二次根式，再合并即可得到答案；
（2）将原方程变形后运用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
∴，．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减法和运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
60．若关于x的一元二次方程mx2-4x+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）m＜且m≠0；（2）x1=1，x2=3
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ( http: / / www.21cnjy.com )△>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．21·cn·jy·com
【详解】
解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜
又m≠0，
∴ m＜且m≠0，
（2）∵m为正整数
∴ m=1，
∴原方程为x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．
61．解下列方程．
（1） x28x90 （2） x(x2)x20
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将（x-2）看作整体，提取公因式（x-2）即可利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
（1）x28x90
解：方程左边因式分解得：（x9）(x1) 0
由此得： x9=0 或 x10
解得： x19， x21；
（2）x(x2)x20
解：方程左边因式分解得：(x2) (x1)0
由此得：(x2)0 或 (x1)0
解得：x12， x21．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练应用因式分解法分解多项式是解题关键．
62．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
【答案】（1）见解析；（2）1或3
【分析】
（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论；
（2）由（1）的方程的解，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝，
∵方程的根都为正整数，
∴为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
63．如图，在四边形中，点E在上，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE；
（2）∵AC=AE，AC=CD，
∴AC=AE=CD，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2=AC2+CD2，
∴（CD+DE）2=CD2+CD2，
∴（CD+1）2=2CD2，
解得CD=或CD=（舍去），
∴CD的长为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2·1·c·n·j·y
64．已知，求代数式的值．
【答案】或．
【分析】
先求出一元二次方程的解，然后再化简，最后再将x的解分别代入化简所得的代数式即可
【详解】
解：∵，
∴即，解得，
∴
=
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程、因式分解等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
65．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【分析】
（1）用因式分解法解，方程左边分解因式为x(2x-5)=0，然后求解即可；
（2）根据运算顺序，先算括号里的减法，再算除法，约分后得结果，再把x的值代入化简后的式子中，求得结果．
【详解】
（1）．
．
，或．
．
（2）原式
．
当时，原式
【点睛】
本题两个小题，分别考查了一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的解法、分式的混合运算；方程是一个不含常数项的一元二次方程，用因式分解法来解最简便；分式的混合运算要注意运算顺序．
66．解方程：．
【答案】
【分析】
两边都乘以x2-1)化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】
解：两边都乘以x2-1，得
2-(x+1)2=-(x-1)，
解得，．
检验：当时，所以舍去．
所以是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验．
67．（1）关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值和方程的另一个根．
（2）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）a的值是-1，方程的另一个根是；（2）见解析
【分析】
（1）把x=0代入原方程得到关于a的新方程，通过解方程来求a的值，然后解方程求出另一根．
（2）根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB ( http: / / www.21cnjy.com )，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0，
∴a2-1=0，且a-1≠0，
∴a+1=0，
解得a=-1．
则一元二次方程为-2x2+x=0，即x（1-2x）=0，
解得x1=0，x2=，即方程的另一根是，
综上所述，a的值是-1，方程的另一个根是；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．本题还考查了一元二次方程的定义，以及解一元二次方程，注意：一元二次方程的二次项系数不为零．
68．解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）用公式法求解即可；（2）整理后，用因式分解法求解即可．
【详解】
（1）∵，
∴a=1，b=2，c=-10，
∴x=,
∴，；
（2） ∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点灵活选择公式法，因式分解法求解方程是解题的关键．
69．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种 ( http: / / www.21cnjy.com )重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：
（a＋b）2或a2＋2ab＋b2，∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13＋23＝32
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1＋2）×（1＋2）的大正方形，由此可得：13＋23＝（1＋2）2＝32
（1）尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2（要求自己构造图形并写出推证过程）
（2）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13＋23＋33＋…＋n3＝ （要求直接写出结论，不必写出解题过程）
（3）实际应用：图3是由棱长为1的小正方体 ( http: / / www.21cnjy.com )搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有：4×4 ( http: / / www.21cnjy.com )×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×1＝13个，然后利用类比归纳的结论，可得：13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2 ，图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有 个．
（4）逆向应用：如果由棱长为1的 ( http: / / www.21cnjy.com )小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有 个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）见解析；（2）（1＋2＋3＋…＋n）2；（3）441；（4）8000
【分析】
（1）根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究？，肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．
（2）实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为来求得．
（3）根据规律即可求得大小正方体的个数．
（4）逆向应用：可将总个数看成m2 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后再写成m2＝（1＋2＋3＋…＋n）2，得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．
【详解】
（1）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H、E与F、I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1＋2＋3）×（1＋2＋3）的大正方形，即个大正方形，因此可得：13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝62．
故答案为：（1＋2＋3）2或62．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）根据规律可得：．
（3）依据规律得：．
故答案为：441．
（4）∵44100＝2102＝（1＋2＋3＋…＋n）2；
即1+2+3+…+n=210；
∴；
解得：n=20，n=-21（舍去）；
∴n＝20；
∴20×20×20＝8000．
故答案为：8000．
【点睛】
本题借助数形结合来计算，以及这个等式的应用．数形结合使得复杂的计算变得简单而且直观易懂，这就是数形结合的魅力所在．“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好”，这是数学家华罗庚对数形结合的精辟论述！
70．已知：直线y＝﹣x+12交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的直线y＝x+m交y轴于点C．
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，点D为线段AB上的一点，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E在线段AC上，连接DE，延长DE交y轴于点F，且DE＝EF，设点D的横坐标为t，线段OF的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥AC，AG交ED的延长线于点G，DE交OA于点H，若DG＝EH，求d的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）C(0，﹣3)；（2）d=；（3）d=8
【分析】
（1）由直线AB的表达式求出点A、B的坐标，再将点A的坐标代入直线AC的表达式中求得m，进而可求得点C的坐标；
（2）用t表示出点D、E的坐标，利用待定系数法求得直线DE的表达式，令x=0，求得d=﹣y即可解答；
（3）可先求出直线AG的表达 ( http: / / www.21cnjy.com )式，再和直线DE联立方程组求得点G的横坐标，根据DG＝EH结合图象可得xG﹣xD=xH﹣xE，将分别点G、D、H、E的横坐标代入可求得t值，进而可求得d的值．
【详解】
解：（1）当y=0时，由0＝﹣x+12得：x=9，∴A(9,0),
将A（9,0）代入y＝x+m，得：0＝×9+m，解得：m=﹣3，
∴直线AC的表达式为y＝x﹣3，
当x=0时，y=﹣3，
∴C（0,﹣3）；
（2）由DE=EF知点E为DF的中点，
由题意点D坐标为（t，﹣t+12），则点E坐标为（，﹣3），
设直线DE的表达式为y=kx+b，
将点D、E坐标代入，得：，
解得：，
∴直线DE的表达式为y=（）x+，
令x=0，则y=，则F(0，)，
∴d=∣y∣=；
（3）∵AG⊥AC，
∴设直线AG的表达式为y=﹣3x+n，
将A（9，0）代入，得0=﹣3×9+n，解得：n=27，
∴直线AG的表达式为y=﹣3x+27，
直线AG和直线DE联立方程组，
解得：，即点G的横坐标为
对于y=（）x+，
令y=0，解得，即点H的横坐标为，
设点E、D的横坐标为xE，xD，则，
∵点G、D、H、E在直线DE上，且DG=EH，
∴xG﹣xD=xH﹣xE，
即﹣t=﹣，
解得：t1=6，t2=12，t3=0，
∵点D在线段AB上，且DE=EF，
∴经检验，t=6，
∴d==8．
【点睛】
本题考查一次函数的综合，涉及求一次函数与 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标轴的交点、待定系数法求直线表达式、解二元一次方程组、坐标与图形性质、解一元二次方程等知识，解答的关键是理解题意，结合图象寻找相关信息，利用数形结合思想方法进行探究、推理和计算．
71．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）且 （2），
【分析】
（1）根据一元二次方程二次项系数不为0和＞0，列不等式即可；
（2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：
∵，
∴，
∴的取值范围是且；
（2）∵的取值范围是且，
∴的最大整数值为4，当时，原方程可化为：
，
，
或，
解得，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程的解法，解题关键是依据根的判别式列出不等式，注意一元二次方程二次项系数不为0这一隐含条件；熟练的解方程．
72．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），，，；（2），．
【分析】
（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可．
（2）同理，令，即原方程=，求解即可．
【详解】
（1）设，
得：，
解得：，．
当时，，解得：，
当时，，解得：，．
∴原方程的解为，，，．
（2）设，则方程可变成，
∴，
，．
当时，，所以无解．
当时，，
∴，
∴，．
经检验，是原方程的解．
【点睛】
本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．
73．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【分析】
（1）因为是的一个因式，所以方程的解方程的解，代入解即可求得；
（2）根据（1）中a、b、c的关系即可求得；
（3）根据（1）中a、b、c的关系，和，，为整数，即可求得．
【详解】
（1）是的一个因式，
，即，是方程的解，
，
得：③，
．
（2）由③得：④，
④代入①得：⑤，
．
（3），
，
，
解得：，
又，均为大于的整数，
可取的值有，，，，，
又为正整数，
，，
则，
，，．
【点睛】
本题考查多项式的因式和一元二次方程，掌握多项式与因式之间的关系并正确求出系数的关系是解题的关键．
74．阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descar ( http: / / www.21cnjy.com )tes，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1）；（2）a+ b=
【分析】
（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案
（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内 ( http: / / www.21cnjy.com )容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
【详解】
（1）令：，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，
解得：，
从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程的解，
所以，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
