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第04讲 用因式分解法求解一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分 ( http: / / www.21cnjy.com )解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
【答案】D
【分析】
利用解一元二次方程的因式分解法，即可求解
【详解】
解：x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，是解题的关键.
3．方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程求解．
【详解】
解：
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键．
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
解出该一元二次方程即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
5．一元二次方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3
【答案】C
【分析】
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：方程移项得：x2﹣3x＝0，
分解因式得：x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
6．如果（x﹣y﹣2）（x﹣y＋1）＝0，那么x﹣y＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
【答案】C
【分析】
由可得：或 从而可得答案．
【详解】
解：
或
或
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键．
7．解一元二次方程的过程中，变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
依题意，将方程右边代数式移项到左边，然后提取公因式，即可．
【详解】
依题意：
移项
提取公因式 ；
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的基本性质，重点在理解和熟练观察方程中的公因式．
8．若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（ ）
A．2 B．0 C．2或﹣2 D．0或2
【答案】D
【分析】
先列方程x2=2x，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：根据题意得x2＝2x，
移项得x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．21世纪教育网版权所有
9．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【分析】
将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：，
，
或，
解得：，，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
10．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先移项，再根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解： 3x(x 1)=2(x 1) ，
移项得：3x(x 1)-2(x 1)=0 ，
因式分解得：(x-1)(3x 2)=0 ，
∴x-1=0，3x-2=0，
∴ x1=3，x2= ，
故选C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解是解题关键．
11．方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝，x2＝﹣ C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝2
【答案】D
【分析】
由题意提取公因式x后，即可快速解出方程求得答案．
【详解】
解：x2﹣2x＝0
x（x-2）=0
所以方程的解为：x1＝0，x2＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
12．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
分解因式，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
，
，
，
或．
即，．
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，本题利用因式分解法求解是解题关键．
13．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
移项后左边提取公因式以因式分解，继而可得方程的解．
【详解】
解：x2-4x=0，
x（x-4）=0，
∴x=0或x=4，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查因式分解法解一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．www.21-cn-jy.com
14．方程的根为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因式分解法解方程．
【详解】
解：，
，
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是关键．
15．对于方程，下列说法正确的是（ ）
A．一次项系数为3 B．一次项系数为-3
C．常数项是3 D．方程的解为
【答案】B
【分析】
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再求出其一次项系数、二次项系数及常数项即可．
【详解】
∵原方程可化为2x2 3x＝0，
∴一次项系数为 3，二次项系数为2，常数项为0，方程的解为x=0或x=，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式， ( http: / / www.21cnjy.com )熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y
16．方程的解是（ ）．
A．x1=x2=0 B．x1=x2=1 C．x1=0, x2=1 D．x1=0, x2=-1
【答案】D
【分析】
利用提公因式法解方程，即可得到答案.
【详解】
解：∵，
∴，
∴或；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握提公因式法解方程是解题的关键.
17．方程的解是
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：（x-2）2=3（x-2 ( http: / / www.21cnjy.com )），
（x-2）2-3（x-2）=0，
（x-2）（x-2-3）=0，
x-2=0，x-2-3=0，
x1=2，x2=5．
故选C．21*cnjy*com
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．方程x2=x的解是（ ）
A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1
【答案】B
【分析】
方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
方程变形得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得：x=0或x﹣1=0，解得：x1=1，x2=0．
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
19．一元二次方程x2-3x=0的解是（ ）
A．0 B．3 C．0，3 D．0，-2
【答案】C
【详解】
原方程变形为：x(x-3)=0，
x1=0，x2=3．
故答案为x1=0，x2=3．
点睛： 本题考查了一元二次方程的解法．解一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．【来源：21cnj*y.co*m】
20．关于x一元二次方程的一个根为1，p=（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．-1
【答案】C
【解析】
∵将x=1代入原方可得p2﹣2p+1=0，解得p=1．
21．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【答案】B
【分析】
把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】
解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．
22．方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】C
【分析】
先把已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，每个因式为0，求出方程的解即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵，
∴，
∴方程的解：，．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法， ( http: / / www.21cnjy.com )熟练掌握一元二次方程的解法，其解法包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，采用因式分解法求解速度较快是解题关键．21教育名师原创作品
23．对于实数a、b定义新运算“”如下：，如，，若一元二次方程的两根为 (),则的 结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：方程变形得：，
∵
∴解得：，，
∴
故选：C．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程及新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．方程＝x的根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
【答案】D
【分析】
将方程两边分别平方，去掉根号，化成一元二次方程，解一元二次方程，检验，舍去增根，得出原方程的根．
【详解】
将方程两边平方得：
x+2＝x2．
解这个一元二次方程得：
x1＝2，x2＝﹣1．
检验：把x1＝2，x2＝﹣1分别代入原方程，
x＝2是原方程的根，x＝﹣1是原方程的增根．
∴原方程的根为：x＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的定义以及一元二次方程方程的解法，解题的关键是两边同时平方去掉根号．需要注意根号有意义的情况．21*cnjy*com
25．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解法即可求解．
【详解】
解
∴或
解得
故选：D．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
26．一元二次方程的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
【答案】D
【分析】
首先移项，将方程右边2x移到左边，再提取公因式x，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：原方程移项得：
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查提公因式法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
27．方程x2+x﹣6＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】B
【分析】
利用因式解法即可求解．
【详解】
原方程因式分解得：，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
28．方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】D
【分析】
将方程右边的式子移到方程的左边，再对方程左边的式子因式分解，解出x的值即可．
【详解】
解：
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题关键．
29．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2+px+q可分解为（ ）．
A．（x+2）（x+3） B．（x－2）（x－3）
C．（x－2）（x+3） D．（x+2）（x－3）
【答案】C
【分析】
根据因式分解法，可写出以2和-3为根的一元二次方程为（x-2）（x+3）=0，原式得到x2+px+q=（x-2）（x+3）．
【详解】
解：∵方程x2+px+q=0的两个根分别是2和-3，
∴方程可写成（x-2）（x+3）=0，
∴x2+px+q可分解为（x-2）（x+3）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式 ( http: / / www.21cnjy.com )分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
30．一元二次方程的根是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】C
【分析】
用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：，
，
或，
，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
31．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】
解：由得：x(x﹣4)=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解答的关键．
32．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将原方程整理为，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．
【详解】
解：，
移项，得，
分解因式，得，
则或，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键．
33．解一元二次方程的过程中，变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
依题意，将方程右边代数式移项到左边，然后提取公因式，即可．
【详解】
解：
；
故选B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，重点在理解和熟练观察方程中的公因式．
34．方程x2＝x的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝0或1 D．x＝0
【答案】C
【分析】
原方程移项后，利用因式进行分解法即可求出结果．
【详解】
解：x2＝x
移项，得x2－x＝0
分解因式，得x（x－1）＝0
解得x1＝0，x2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
35．方程的解是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】C
【分析】
根据因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】
解：由，
，
，
可得：．
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
36．关于x的方程x2﹣mx+2m＝0的一个实数根是3，并且它的两个实数根恰好是等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为（ ）21教育网
A．12 B．15 C．10或12 D．12或15
【答案】B
【分析】
先把x＝3代入x2﹣mx+2m＝0得 ( http: / / www.21cnjy.com )9﹣3m+2m＝0，求出m后解方程得x1＝3，x2＝6，然后根据三角形三边的关系得到等腰三角形的三边，最后计算它的周长．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：把x＝3代入x2﹣mx+2m＝0得9﹣3m+2m＝0，解得m＝9，
原方程化为x2﹣9x+18＝0，解得x1＝3，x2＝6，
而3+3＝6，
所以等腰三角形的三边为6、6、3，
所以它的周长为6+6+3＝15.
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了三角形三边的关系．21·世纪*教育网
37．如果=0，则x等于( )
A．±2 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据“当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0”得到|x|-2=0，且x2-x-6≠0，解之即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得
解得x=2
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的值为0的条件．当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0．
38．一元二次方程x2+2x＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
【答案】C
【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
方程变形得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
故选C．
【点睛】
考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
39．一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2
【答案】C
【分析】
先将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x+2＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝0，
故选择：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的概念进行解答.
40．方程x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，；
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
二、填空题
41．一元二次方程的解是________．
【答案】
【详解】
原方程可转化为，∴或，解得．
42．关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，则此方程的根为____．
【答案】x1=x2=1
【详解】
略
43．已知实数满足，那么的值为______．
【答案】1
【分析】
设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
设，
∴原式可转化为：，
整理得，，
解得，或，
∵，
∴将(舍去)
∴的值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一个整体，并对所求值进行取舍．【出处：21教育名师】
44．已知实数，，，满足，若，则________．
【答案】或
【分析】
已知等式利用题中的新定义化简，整理得到，原式化简后代入计算即可求出值．
【详解】
解：根据题中的新定义得：
，即，
因式分解得：，
解得：．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，正确理解新定义、熟练掌握运算法则是解本题的关键．
45．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为_____．
【答案】24
【分析】
利用因式分解法解方程得到x1=4， ( http: / / www.21cnjy.com )x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【详解】
解：x2﹣9x+20=0，
（x﹣4）（x﹣5）=0，
x﹣4＝0或x﹣5=0，
∴x1=4，x2=5，
∵菱形一条对角线长为8，
当时，4+4=8，
不符合题意，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长，
∴菱形的面积=×6×8＝24．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式 ( http: / / www.21cnjy.com )分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．
三、解答题
46．解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．
【答案】
【分析】
先变形得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：
化简得：
因式分解得：
所以，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力， ( http: / / www.21cnjy.com )熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
47．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）利用公式法或因式分解法解一元二次方程；
（2）分别解出两个不等式的解集，再求得公共解集．
【详解】
（1）法1：
，
法2：
，；
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
将不等式的解集表示在数轴上，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以不等式组的解集为：．
【点睛】
本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
48．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）k＞0 ；（2）k＝1；x1＝0，x2＝2
【分析】
（1）根据判别式的意义得到△=(-2)2-4×1×(1-k)＞0，然后解不等式即可；
（2）根据（1）中k的取值范围，任取一符合条件的k值，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2x+1-k=0有两个不相等的实数根．
∴△=(-2)2-4×1×(1-k)＞0，
解得k＞0；
（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞0，
故取k=1，
则x2-2x=0，即x(x-2)=0，
解得，x1=0，x2=2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c ( http: / / www.21cnjy.com )=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
49．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若时，求这个方程的解．
【答案】（1）见解析；（2）或
【分析】
（1）由总有两个实数根可得，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；
（2）将代入这个方程求解即可．
【详解】
解：（1）证明：依题意，得．
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）当时，
代入得：，
，
解得，，
∴或．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；并且需要熟练掌握解方程的方法．【版权所有：21教育】
50．解方程：．
【答案】，
【分析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：移项得：，
提公因式x-1得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程．掌握利用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
51．（1）解方程：
（2）化简．
【答案】（1）x1=，x2=1；（2）1
【分析】
（1）直接用十字相乘法分解求值即可；
（2）除式先通分再化简，最后再算除法．
【详解】
解：（1）（2x-1）（x-1）=0，
∴2x-1=0或x-1=0，
解得x1=，x2=1；
（2）原式=
=
=
=1
【点睛】
本题考查了一元二次方程的因式分解法、分式的混合运算等知识点，掌握因式分解的十字相乘法和分式的混合运算是解决本题的关键．
52．先化简，再求值：其中x满足．
【答案】，
【分析】
先对分式进行化简，然后再求解一元二次方程，最后代值求解即可．
【详解】
解：原式=，
由可得：，
∵，
∴，
∴把代入得：原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算及一元二次方程的解法是解题的关键．
53．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：（1），
∴，
；
（2），
∴，
∴，
，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．
54．（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x1=3，x2=﹣1；（2）＜x＜
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x＋1）=0，
则x﹣3=0或x＋1=0，
解得x1=3，x2=﹣1；
（2）解不等式2x＞1﹣x，得：x＞，
解不等式2（2x＋1）＜x＋4，得：x＜，
则不等式组的解集为＜x＜．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和一元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
55．解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据配方法可直接求解一元二次方程；
（2）根据提公因式法可直接进行求解一元二次方程．
【详解】
解：（1）
∴
∴；
（2）
∴或，
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
56．解方程：
【答案】，
【分析】
先把方程化为：，再利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】
解：方程整理得：
，
分解因式得：
，
可得或，
解得：，．
【点睛】
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
57．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
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（1）求整式；
（2）请将整式分解因式；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】
（1）根据整式加减法即可求出；
（2）先根据整式加法算出，再利用公式法，公因式法分解即可；
（3）把带入，利用十字相乘即可求的值．
【详解】
解 :（1）
（2）
（3）由题意得，
【点睛】
本题考察了整式计算，因式分数，一元二次方程计算，属于基础题型．
58．解方程：．
【答案】，
【分析】
先移项合并同类项，再利用因式分解法，即可求解．
【详解】
解：，
移项得：，即：，
∴，即：或，
∴，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，是解题的关键．
59．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．
【答案】x1=2，x2=﹣1
【分析】
利用因式分解法求解方程即可．
【详解】
解：x（x﹣2）+x﹣2=0
∴（x﹣2）（x+1）=0，
∴x﹣2=0，x+1=0，
∴x1=2，x2=﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
60．解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
(1)利用配方法解一元二次方程，即可得到答案；
(2)先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案.
【详解】
解：(1)
，
故答案为：，．
（2）
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法、因式分解法解方程.
61．解下列方程：
（1）；（2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）移项，提公因式因式分解即可得解；
（2）用十字相乘法分解因式即可得解．
【详解】
（1），
解：，
，
解得，；
（2），
解：，
解得，．
【点睛】
本题考查了用提公因式法、十字相乘法分解因式解一元二次方程；数量掌握两种方法是解题的关键．
62．已知-2是方程x2-3x+c=0的一个根，求：
（1）c的值，
（2）方程的另一个根．
【答案】（1）-10；（2）5
【分析】
（1）将x=-2代入原方程求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程
【详解】
解：（1）∵-2是方程x2-3x+c=0
∴22-3×(-2)+c=0，解得：c=-10
（2）∵c=-10
∴x2-3x-10=0
(x-5)(x+2)=10
∴x1=5；x2=-2
∴方程的另一个根为5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解及因式分解法解一元二次方程，理解概念，掌握因式分解的技巧正确计算是解题关键．21cnjy.com
63．用适当方法解方程：．
【答案】，
【分析】
利用因式分解的方法求解即可．
【详解】
解：，
，
，，
，．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解本题的关键．
64．（1）2x2+5x﹣1＝0（用配方法解方程）．
（2）6﹣2y＝（y﹣3）2（用适当的方法解方程）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）首先通过移项和二次项系数化为1将方程转化为，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，得到，直接开方后即可求解．21·cn·jy·com
（2）将等式左边提出后得到，整理得到，再提出公因式，运用提供因式法即可求解．
【详解】
解：（1）移项，得：
系数化为1，得：，
配方，得：，
即，
开方，得：，
解得： ，．
（2）方程整理得：，
提公因式得：，
可得或，
解得：，．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的方法，用配方法解一元二次方程时，学生应牢牢记住它的解题步骤，首先是要把方程化成（，为常数）的形式，再开始配方；在选用合适的方法解一元二次方程时首先应观察方程的特点，再选择出最简便的方法，解决本题需要学生在理解解一元二次方程的各种方法的同时能熟练运用，同时能做出判断，用最简便的方法去求解，考察了学生观察和分析的能力．
65．解方程
（1）（用配方法）；
（2）（用适当方法）．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）先将二次项系数化1，再根据配方法解答即可；
（2）先将右边的项移到左边，再提公因式再求解即可．
【详解】
解：（1）原方程可化为，
即，
∴，
即，
∴，
∴，．
（2）原方程可化为，
即，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【点睛】
本题考查了用配方法、提公因式法解一元二次方程；关键在于要观察方程的特征灵活选取不同的方法解决一元二次方程．
66．解方程：
【答案】
【分析】
将分式方程化简成一元二次方程的形式，再根据合并同类项，因式分解即可得解．
【详解】
解：
，
，
解得:
经检验：是原方程的解．
故原方程的解为．
【点睛】
本题考查了由分式方程转化成一元二次方程的解法；关键在于掌握解分式方程的一般步骤，能用因式分解法解一元二次方程．
67．解方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x+2）2＝3x+6．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据公式法进行求解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法进行求解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）2x2﹣5x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17，
∴x＝，
∴；
（2）（x+2）2＝3x+6，
（x+2）2＝3（x+2），
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）[（x+2）﹣3]＝0，
x+2＝0，（x+2）﹣3＝0，
∴．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
68．（1）解方程：
①x2﹣24x﹣16＝0；
②（x﹣5）（x+4）＝10．
（2）计算：．
【答案】（1）①x1＝12+4，x2＝12﹣4；②x1＝6，x2＝﹣5；（2）﹣2．
【分析】
（1）①利用公式法解一元二次方程；
②先将一元二次方程化为一般式，再利用因式分解法解方程；
（2）利用特殊角的锐角三角函数值解题．
【详解】
解：（1）①x2﹣24x﹣16＝0，
b2﹣4ac＝（﹣24）2﹣4×1×（﹣16）＝640，
x＝，
x1＝12+4，x2＝12﹣4；
②（x﹣5）（x+4）＝10，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
（x﹣6）（x+5）＝0，
x﹣6＝0或x+5＝0，
x1＝6，x2＝﹣5；
（2）
＝2×
＝+1﹣3
＝-2．
【点睛】
本题考查解一元二次方程、特殊角的锐角三角函数值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
69．解方程： x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝3
【分析】
用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1=0或x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝3．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
70．解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【答案】，
【分析】
方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：分解因式得：，即
可得：或
解得：，
【点睛】
本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．
71．用适当方法解下列方程：
（1）x（2x+4）＝10+5x．
（2）x2﹣b2＝6ax+7a2+8ab．
【答案】（1） x1＝﹣2，x2＝2.5；（2）x1＝7a+b，x2＝﹣a﹣b．
【分析】
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）首先对方程进行整理，然后利用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）方程整理得：2x（x+2）﹣5（x+2）＝0，
分解因式得：（x+2）（2x﹣5）＝0，
可得x+2＝0或2x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝2.5；
（2）方程整理得：x2﹣6ax＝b2+7a2+8ab，
配方得：x2﹣6ax+9a2＝b2+16a2+8ab，即（x﹣3a）2＝（4a+b）2，
开方得：x﹣3a＝±（4a+b），
解得：x1＝7a+b，x2＝﹣a﹣b．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法及配方法是解题的关键．
72．已知一次函数y＝（m+1）x+2m﹣1（m≠﹣1）的图象过点（m，3）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若A（x1，t），B（x2，t+1）是该一次函数图象上的两点，比较x1与x2的大小．
【答案】（1）y＝2x+1或y＝﹣3x﹣9；（2）一次函数y＝2x+1时，x1＜x2；一次函数y＝﹣3x﹣9时，x1＞x2
【分析】
（1）把（m，3）代入一次函数y＝（m+1）x+2m﹣1（m≠﹣1）求出m的值，即可求得一次函数的解析式．
（2）根据一次函数的性质即可判断．
【详解】
解：（1）∵一次函数y＝（m+1）x+2m﹣1（m≠﹣1）的图象过点（m，3）．
∴3＝（m+1）m+2m﹣1，
解得，，
∴一次函数的表达式为y＝2x+1或y＝﹣3x﹣9；
（2）若A（x1，t），B（x2，t+1）是一次函数y＝2x+1图象上的两点，
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵t＜t+1，
∴x1＜x2；
若A（x1，t），B（x2，t+1）是一次函数y＝﹣3x﹣9图象上的两点，
∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵t＜t+1，
∴x1＞x2．
综上，一次函数y＝2x+1时，x1＜x2；一次函数y＝﹣3x﹣9时，x1＞x2；
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
73．解方程：
【答案】．
【分析】
首先去掉分母，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元二次方程，最后检验即可求解．
【详解】
解：方程两边都乘以得：
，解得：或﹣1，
经检验：是增根，
∴原方程的解为．
【点睛】
本题考查解分式方程，解分式方程时一定要注意代入最简公分母验根．
74．解方程
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）先将方程化为一般式，再利用因式分解法解题；
（2）先将方程化为一般式，再利用配方法解题.
【详解】
解：（1）
整理得，
；
（2）
.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法、配方法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
75．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝4；（2）x1＝1，x2＝﹣
【分析】
（1）根据因式分解的方法可直接求解一元二次方程即可；
（2）利用整体思想进行移项，然后再提取公因式法进行求解方程即可．
【详解】
解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，
（x+1）（x﹣4）＝0，
则x+1＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
移项，得：3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0，
分解因式，得：（x﹣1）（3x+2）＝0，
则x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
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第04讲 用因式分解法求解一元二次方程
【基础训练】
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
3．方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
5．一元二次方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝0 且x＝3
6．如果（x﹣y﹣2）（x﹣y＋1）＝0，那么x﹣y＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
7．解一元二次方程的过程中，变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．若代数式x2的值与2x的值相等，则x的值是（ ）
A．2 B．0 C．2或﹣2 D．0或2
9．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
10．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
11．方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝，x2＝﹣ C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝2
12．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
13．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
14．方程的根为（ ）．
A． B． C． D．
15．对于方程，下列说法正确的是（ ）
A．一次项系数为3 B．一次项系数为-3
C．常数项是3 D．方程的解为
16．方程的解是（ ）．
A．x1=x2=0 B．x1=x2=1 C．x1=0, x2=1 D．x1=0, x2=-1
17．方程的解是
A． B． C．或 D．或
18．方程x2=x的解是（ ）
A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1
19．一元二次方程x2-3x=0的解是（ ）
A．0 B．3 C．0，3 D．0，-2
20．关于x一元二次方程的一个根为1，p=（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．-1
21．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
22．方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
23．对于实数a、b定义新运算“”如下：，如，，若一元二次方程的两根为 (),则的 结果是（ ）
A． B． C． D．2
24．方程＝x的根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
25．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
26．一元二次方程的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
27．方程x2+x﹣6＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3
28．方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
29．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2+px+q可分解为（ ）．
A．（x+2）（x+3） B．（x－2）（x－3）
C．（x－2）（x+3） D．（x+2）（x－3）
30．一元二次方程的根是（ ）
A．， B． C．， D．
31．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
32．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
33．解一元二次方程的过程中，变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
34．方程x2＝x的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝0或1 D．x＝0
35．方程的解是（ ）
A． B． C． D．，
36．关于x的方程x2﹣mx+2m＝0的一个实数根是3，并且它的两个实数根恰好是等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
A．12 B．15 C．10或12 D．12或15
37．如果=0，则x等于( )
A．±2 B．-2
C．2 D．3
38．一元二次方程x2+2x＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
39．一元二次方程x2+2x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣2
40．方程x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．没有实数根
二、填空题
41．一元二次方程的解是________．
42．关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，则此方程的根为____．
43．已知实数满足，那么的值为______．
44．已知实数，，，满足，若，则________．
45．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的面积为_____．
三、解答题
46．解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．
47．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
48．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
49．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若时，求这个方程的解．
50．解方程：．
51．（1）解方程：
（2）化简．
52．先化简，再求值：其中x满足．
53．解方程：
（1）；
（2）．
54．（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
55．解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
56．解方程：
57．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
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（1）求整式；
（2）请将整式分解因式；
（3）若，求的值．
58．解方程：．
59．解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．
60．解下列方程：
（1）； （2）．
61．解下列方程：
（1）；（2）
62．已知-2是方程x2-3x+c=0的一个根，求：
（1）c的值，
（2）方程的另一个根．
63．用适当方法解方程：．
64．（1）2x2+5x﹣1＝0（用配方法解方程）．
（2）6﹣2y＝（y﹣3）2（用适当的方法解方程）．
65．解方程
（1）（用配方法）；
（2）（用适当方法）．
66．解方程：
67．解方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）（x+2）2＝3x+6．
68．（1）解方程：
①x2﹣24x﹣16＝0；
②（x﹣5）（x+4）＝10．
（2）计算：．
69．解方程： x2﹣2x﹣3＝0．
70．解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
71．用适当方法解下列方程：
（1）x（2x+4）＝10+5x．
（2）x2﹣b2＝6ax+7a2+8ab．
72．已知一次函数y＝（m+1）x+2m﹣1（m≠﹣1）的图象过点（m，3）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若A（x1，t），B（x2，t+1）是该一次函数图象上的两点，比较x1与x2的大小．
73．解方程：
74．解方程
（1） （2）
75．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
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