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第05讲 相似三角形判定定理的证明
【基础训练】
一、单选题
1．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ）
A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是，这个三角形就是等边三角形，一个角是，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值.
【详解】
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
D．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意；
故选A．
【点睛】
本题解题关键在于，找准一个角是，，的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.
2．如图，，图中相似三角形共有（ ）
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A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【分析】
本题告知了，则三条平行线分成的三角形有：△ADE，△AFG，△ABC，通过平行可以证明三角形相似的判定定理是，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.所以他们两两相似.
【详解】
在△AFG中
∵DE∥FG∴△ADE∽△AFG；
在△ABC中
∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
∵FG∥BC∴△AFG∽△ABC
∴相似三角形共有3对
故选B．
【点睛】
本题考察了平行于三角形一边的直线和其他两边相 ( http: / / www.21cnjy.com )交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，三角形相似的传递性也有一定涉及，两个三角形与同一个三角形相似，则这两个三角形也相似.
3．在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据位似图形的定义：如果两个 ( http: / / www.21cnjy.com )图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【详解】
解：根据位似图形的定义可知，第1,2,4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个
故选C
【点睛】
本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行．
4．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是( )
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A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形相似的判定：（ ( http: / / www.21cnjy.com )1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
A选项：∠ADE=∠C，∠A=∠A，能判断△ADE∽△ACB，故D选项不符合题意；
B选项：∠AED=∠B，∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故B选项不符合题意；
C选项：，∠A=∠A，能判断△ADE∽△ACB，故C选项不符合题意；
故选：D.
【点睛】
考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于∠A=36°，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，易求∠ABC=∠C=72°，而BD是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE∥BC，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，从而可证△ABD∽△DBE．
【详解】
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=36°，
即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．
6．如图，经平移得到，、交于点，则图中共有相似三角形（ ）
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A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移得到的三角形与原三角形相似，且对应边相互平行进行分析．
【详解】
解：根据平移的性质得，图中相似三角形有：△ABC∽△DEF∽△GEC∽△GDA，共6对．
故答案选：D．
【点睛】
本题考查了平移的性质及相似三角形的判定，注意要做到不重不漏．
7．若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( )
A．m∶n＝a∶b B．m∶n＝b∶a C．a∶b＝n∶m D．a∶m＝n∶b
【答案】A
【解析】
【分析】
线段成比例，找准对应关系即可.
【详解】
m、n、a、b成比例线段
m∶n＝a∶b
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对线段成比例的理解，抓住对应关系是解题的关键.
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
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A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选D．
考点：相似三角形的判定．
9．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD AB
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【详解】
有三个
①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选C
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键
10．如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出△ABC的三边，并求 ( http: / / www.21cnjy.com )出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：已知给出的三角形的各边分别为、2、 ，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：： ，
A、三角形的三边分别为1，，，三边之比为1：：，故A选项正确；
B、三角形的三边分别为，，3，三边之比为：：3，故B选项错误；
C、三角形的三边分别为1， ，2，三边之比为1： ：2，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为：2，，， 三边之比为2：：，故D选项错误．
故选：A．
【点睛】
题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
11．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义，平行线的性质易证，，从而求得
的值．
【详解】
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DEAB，
∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA.
∴∠EDA=∠EAD，
∴EA=ED，
∵,
∴ED:EC=2:3，
那么
故选:B.
【点睛】
考查了角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
12．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
分析：根据相似三角形的判定定理，利用已知条件判定相似的三角形．
详解：
∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠EDC=∠BCD
∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
有四个，分别是△DBE，△ACD，△CDE，△CBD，可以运用相似三角形的判定进行验证．
故选D．
点睛：主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，是证明相似的关键．
13．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是( )
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故选D．
14．已知△MNP如图27 1，则下列四个三角形中与△MNP相似的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
△MNP是底角为75°，顶角为30°的等腰三角形，要与之相似必定也是顶角为30°，底角为75°的等腰三角形，只有C选项符合.
故选C.
点睛：顶角相等或底角相等的两个等腰三角形相似.
15．给出4个判断：
①所有的等腰三角形都相似， ②所有的等边三角形都相似，
③所有的直角三角形都相似， ④所有的等腰直角三角形都相似．
其中判断正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】试题分析：由相似三角形的判定方法得出①③不正确；②④正确；即可得出结论．
解：∵所有的等腰三角形不一定相似，
∴①不正确；
∵所有的等边三角形都相似，
∴②正确；
∵所有的直角三角形不一定相似，
∴③不正确；
∵所有的等腰直角三角形都相似，
∴④正确；正确的个数有2个，
故选：B．
考点：相似三角形的判定．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解．
故选A．
考点：三角形的中位线，平行四边形
17．D为△ABC边AB上一点，下列说法中错误的是 ( )
A．若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC B．若∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC
C．若AC2=AD·AB，则△ACD∽△ABC D．若AC：CD=AB：BC， 则△ACD∽△ABC
【答案】D
【解析】
试题分析：根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即AC：CD=AB：BC，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项D中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项D不能．
故选D．
考点: 相似三角形的判定．
18．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
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A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【分析】
直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.
【详解】
由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．
故选D．
【点睛】
本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．
19．如图，中，、分别在、上，下列条件中不能判断的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：
A.∠ADE=AC，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；
B. ，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故此选项错误；
C. ，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故此选项错误；
D. ，不能判定△ADE∽△ACB，故此选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
20．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.
【详解】
当，，
所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；
当，，
所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；
当，
即AC：：AC，
因为
所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；
当，即PC：：AB，
而，
所以条件④不能判断和相似，不符合题意；
①②③能判定相似，故选D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.
21．下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.
【详解】
A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;
B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;
D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.21教育网
故本题选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键.21·世纪*教育网
22．如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是( )
A．有一个角相等的两个等腰三角形
B．有一个角相等的两个直角三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．有一组角是对顶角的两个三角形
【答案】C
【分析】
因为角的不确定性，所以无法确定两个内角是等腰三角形的底角还是顶角，直角三角形中两个直角相等也无法确定三角形相似，即可解题．21*cnjy*com
【详解】
解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；
D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的证明，考查了等腰三角形底角相等的性质，考查了钝角等腰三角形的确定性．
23．如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
【答案】B
【分析】
题干提到能用一个条件独立的判断与相似，则务必用到隐藏条件公共角∠A，也就是说用任意的一组对应角相等可以证明与相似，或者两边对应成相等比例且夹角相等也可证明与相似.
【详解】
①公共角∠A是已知的，再加上，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似；②不是公共角∠A的夹边，故不能证明出相似③是公共角∠A的夹边，可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
∴①和③都能独立判断△ADE与△ACB相似，故选B．
【点睛】
本题解题关键，证明三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )相似注意运用公共角∠A的使用，本题运用到两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理.
24．如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，则图中的相似三角形对数共有（ ）
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A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质可得AD∥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，AB∥CD，再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，
∴△ABF∽△CEB，
∴图中的相似三角形共有3对，故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是充分运用平行四边形的性质和相似三角形的判定方法，并做到不重不漏.
25．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似
②顶角对应相等的两个等腰三角形相似
③两条边对应成比例的两个直角三角形相似
其中正确的是( )
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相似三角形的判定定理即可直接判断．
【详解】
①任意两个等边三角形相似，利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得结论正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似。可得③错误.
故选C.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
26．如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．DE∥BC B．∠ADE=∠ACB C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：A.符合平行线法，能判 ( http: / / www.21cnjy.com )断△ADE与△ABC相似，故本选项不符合题意；
B.正确符合两角法，能判断△ADE与△ABC相似，故本选项不符合题意；
C不符合两边与其夹角法，故本选项符合题意；
D.，符合两边及其夹角法，能判断△ADE与△ABC相似，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
27．如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有（ ）
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据EF∥AB、EF∥CD及AB∥CD分别求解可得．
【详解】
解：∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
28．在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（ ）对相似三角形.
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形相似的判定定理来判 ( http: / / www.21cnjy.com )断即可. 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似; 三边对应成比例，两个三角形相似; 两角对应相等，两个三角形相似.21教育名师原创作品
【详解】
∵MN∥BC，MC、NB交于点O
∴△ AMN∽△ABC，△MON∽△COB，故图中有两对相似三角形；
故本题答案应为：B
【点睛】
相似三角形的判定定理是本题的考点，熟练掌握其判定定理是解题的关键.
29．如图，，，、分别交于点、，则图中相似的三角形有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据AB∥CD，AE∥FD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与△CEG相似的三角形．
【详解】
解：AB∥CD，AE∥FD
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )△CEG∽△BAG，
△CEG∽△CDH，
∵△BFH∽△CDH，
∴△CEG∽△BFH，
∴与△CEG相似三角形有3对．
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【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证△BFH∽△CDH三角形相似是解题的关键．
30．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）
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A．若，则与相似 B．若，则与相似
C．若，则与相似 D．若，则与相似
【答案】A
【分析】
三角形相似的判定方法:两边成比例且 ( http: / / www.21cnjy.com )夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论.
【详解】
解:若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,A是假命题;
若,则DE∥BC，△ADE~ △ACB B正确;
若又∠A=∠A,△ADE~△ACB, C正确;
若∠ADE=∠B,又∠A=∠A,
△ADE~△ABC, D正确;
所以选A.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定方法;熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.
二、填空题
31．如图，添上条件________，则．
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【答案】∠ABC=∠ADE（答案不唯一）
【分析】
根据相似三角形的判定定理添加即可.
【详解】
添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．
理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为∠ACD=∠B（答案不唯一）
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键．
32．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角形相似的判定求解即可.
【详解】
由图可知,根据相似三角形的判定，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：或使得
故答案为：或
【点睛】
此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握.
33．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是_________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】DE∥BC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
【详解】
由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，
则△ADE∽△ABC，
故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，首先要找出已经满足的条件，然后再进一步分析需要添加的条件，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．
34．如图,在△ABC中,点P是AB边上的一点,连接CP,要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____.
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【答案】∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或
【解析】
【分析】
欲使△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形有一个公共角，即∠A，若夹此对应角的两边对应成比例或有一组角对应相等即可．
【详解】
∵∠A=∠A,
∴当∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或.
故答案为：∠B=∠ACP或∠ACB=∠APC或.
【点睛】
相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对 ( http: / / www.21cnjy.com )应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.
35．如图，是上的一点，要使，需补充的一个条件是________．
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【答案】或或
【分析】
根据相似三角形的判定方法:
(1) 三边法: 三组对应边的比相等的两个三角形相似;
(2) 两边及其夹角法: 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;
(3) 两角法: 有两组角对应相等的两个三角形相似. 进行条件的添加即可.
【详解】
解: 利用两角法进行相似的判定可添加: ∠ADC=∠ABD; ∠C=∠ADB;
利用两边及其夹角法判定可添加:;
故答案为: 或或.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,属于基础题, 掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键.
三、解答题
36．如图，在中，，D是边上一点，连接.
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（1）要使，还需要补充一个条件是______；(只要求填一个）
（2）若，且，，求的长.
【答案】（1）（答案不唯一）；（2）的长为1.
【分析】
（1）根据题目所给的条件，利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案；（2）设，则，根据得，列式求解即可.
【详解】
解：（1) （或或等)
(2)设，则.
∵，
∴.即.
解得， (不合题意，舍去）.
∴的长为1.
【点睛】
此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的 ( http: / / www.21cnjy.com )理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型题目，大部分学生能正确做出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣．【来源：21·世纪·教育·网】
37．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
38．如图，点是上的一点且，，求证：．
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【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由EG∥AD，根据平行线的性质和相似三角形的判定得到∠BGE=∠BDA，△BGE∽△BDA，则，同理可得∠BGF=∠BDC，，所以∠FGE=∠CDA，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．2·1·c·n·j·y
【详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一 ( http: / / www.21cnjy.com )边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.
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【答案】证明见解析.
【详解】
试题分析：由等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.
试题解析：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，
∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠ADE.
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.
40．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． 求证：△ABC∽△DEC.
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【答案】见解析
【分析】
根据直角三角形斜边上的中 ( http: / / www.21cnjy.com )线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC.
【详解】
∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴.
∴.
∵DE∥AC.
∴.
∴.
∵，CE⊥CD，
∴ .
∴△ABC∽△DEC.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是找出证明三角形相似的条件.
41．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，
证明：△ACP∽△APD．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】
由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠C=60°，进而得到∠C=∠APD，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠PAD=∠CAP，∠APD=∠C=60°，
∴△ACP∽△APD．
【点睛】
考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，掌握有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键.
42．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
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【答案】（1）证明见解析；（2）DE=4.5
【解析】
【分析】
（1）由条件可得，且为公共角，则可证明；
（2）由（1）可得，可求得.
【详解】
⑴ ∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，
∴AB=8，AC=10，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
⑵ ∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵BC=9，
∴DE=4.5.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键.
43．如图，已知、交于点，，，，，问与相似吗？为什么？
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【答案】与不相似，理由详见解析.
【解析】
【分析】
与不相似，根据已知条件可得，不符合相似三角形的条件，由此即可得与不相似．
【详解】
与不相似．理由如下：
∵，，，，，
∴，或者．
∴与不相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：①两个角对应相等的两个三角形相似；②两条对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似；③三条对应边的比相等的两个三角形相似．2-1-c-n-j-y
44．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC=3，AB=6，求BD的值．
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【答案】4.5
【解析】
试题分析：首先证明 然后利用相似三角形的性质即可求出．
试题解析：在△ABC中, CD是斜边AB上的高，
∴ ∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
而AC=3，AB=6，
45．如图，在中，交AC于E点，DE交AB于D点，若求BC的长．
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【答案】
【解析】
试题分析：由于DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得BC的长．
试题解析：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE=5，CE=2，DE=3，AC=AE+EC=7，
∴BC=.
46．学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC中，BD、CE是高.【出处：21教育名师】
（1）求证：AE·AB=AD·AC；
（2）若AD、AB的长是一元二次方程x2－8x＋15=0的根，求sin∠ACE的值.
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【答案】（1）证明见解析；（2）sin∠ACE=
【解析】
试题分析：（1）证明△ABD∽△ACE是解决AD AC=AE AB的途径；
（2）解方程x2－8x＋15=0得AD=3,AB=5,进而求得sin∠ABD=，由（1）知∠ACE= ∠ABD，故可得结论.
试题解析：（1）证明：BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC，CE⊥AB ∠ADB=∠AEC=90°和∠A=∠A △ABD∽△ACE AD：AE=AB：AC AE AB =AD AC；www-2-1-cnjy-com
（2）解方程x2－8x＋15=0得
x1=3，x2=5
∵AB> AD
∴AB=5，AD=3，
∴sin∠ABD=，
由(1)知∠ACE= ∠ABD，
∴sin∠ACE=.
47．如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AD是∠CAB的平分线，AC=10，AB=8．
（1）求；（2）求AD的长．
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【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)、过点C作CE∥AB，交AD的延长线于E，根据角平分线以及平行线的性质得出△ACE为等边三角形，根据平行得出△CDE∽△BDA，即，从而得出答案；(2)、根据三角形相似得出，从而求出AD的长度．
试题解析：解：（1）过点C作CE∥AB，交AD的延长线于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD平分∠CAB，∠CAB=120°， ∴∠CAD=∠BAD=60°．
∵CE∥AB， ∴∠E=∠BAD=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴CE=AC=10．
又∵CE∥AB， ∴△CDE∽△BDA， ∴==
（2）由（1）知，△ACE是等边三角形， ∴AE=10． ∵CE∥AB，
∴ ∴AD=．
48．如图，在ΔABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值，
（2）求BC的长
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【答案】（1）（2）9
【解析】
试题分析：（1）由已知条件求得AB的值，再求AD：AB即可；
（2）已知DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，可得出，把DE，AD，AB的值代入，即可求得BC的值．21*cnjy*com
试题解析：（1）∵AD=4，DB=8
∴AB=AD+DB=4+8=12
∴；
（2）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵DE=3
∴,
∴BC=9．
49．已知：如图，在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．
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【答案】周长之比：的周长：的周长：的周长；．
【详解】
试题分析：要求三个三角形的面积比，可通过证明三个三角形相似，从而得到其相似比，进而求得其面积比．
试题解析：∵四边形是正方形，
设
∴周长之比：的周长：的周长：的周长
50．已知：如图所示， AC、BD相交于点O，连接AB，CD，且∠ABD=∠ACD.
求证：△AOB∽△DOC
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【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据AAA判断两个三角形相似.
试题解析：
证明：∵∠ABD=∠ACD
∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△DOC
51．如图，四边形中， ，平分，点是延长线上一点，且．
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（1）证明：；
（2）若与相交于点，，，求的长.
【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】
试题分析：（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
试题解析：（1）∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；
（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴，
设CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=x，
∵AB=AD=AC=1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
解得：x=，
故AE=1﹣=．
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考点：相似三角形的判定与性质
52．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求圆O的半径．
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【答案】（1）证明见解析；
（2）⊙O的半径为4．
【详解】
试题分析：(1)、根据题意得出△CAD和△CDE相似，从而得出∠CAD=∠CDE， 结合∠CAD=∠CBD得出∠CDB=∠CBD，从而得出答案；(2)、连接OC，根据OC∥AD得出PC=2CD，根据题意得出△PCB和△PAD相似，即，从而得出r的值.
试题解析：(1)、∵DC2=CE CA， ∴=， 而∠ACD=∠DCE， ∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠CDB=∠CBD， ∴BC=DC；
(2)、连结OC，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD=CB， ∴=， ∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD， ∴===2， ∴PC=2CD=4， ∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，
∴△PCB∽△PAD， ∴=，即=， ∴r=4， 即⊙O的半径为4．
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53．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠B=∠ACD，[若AD=4，BD=3，求AC的长．
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【答案】
【解析】
试题分析：本题首先根据∠B=∠ACD，∠A=∠A得出△ABC和△ACD相似，然后根据相似比求出AC的长度.
试题解析：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD． ∴， ∴．
∵AD=4，BD=3 ∴AB=7 ∴．
考点：三角形相似的应用.
54．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若 AB=10，求AC的长．
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【答案】
【解析】
分析：首先根据∠ACD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再根据D是AB的中点和AB=10得到AD＝AB＝5后代入以上比例式后即可求得AC的长．
详解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∵D是AB的中点，AB=10，
∴AD＝AB＝5．
∴．
∴AC2=50．
∴AC＝5（舍负）．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．
55．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
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【答案】（1）详见解析；（2）6．
【分析】
（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．
（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案．
【详解】
（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC BD．
∵AC＝4，BD＝9，
∴CD＝6．
【点睛】
此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.
56．如图1，两个全等的等边三角形如图放置，AC与DE交于点G，点D是AB的中点，BC与DF交于点K，连接GK.
（1）写出两对相似（不含全等）三角形；
（2）求证：；
（3）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然成立.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1），；（2）见解析；（3）成立.
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性质得出∠AGD=∠BDK，证出△DAG∽△KBD，得出对应边成比例，证出AD=BD=2，得出，证出△KDG∽△KBD即可；
（2）由（1）知：△KDG∽△KBD，根据相似三角形的对应角相等可得出结论；
（3）解法同（1）（2）.
【详解】
解：（1），.
理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴，
又∵∠B=∠GDK=60°，
∴；
（2）∵，
∴.
（3）解：（1）（2）中的结论依然成立；理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，
∴∠A=∠B=∠EDF，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴ ，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴，
∴△KDG∽△KBD，
∴∠GKD=∠BKD.
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查了相似三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
57．已知：如图，在四边形ABCD中，，，，.
求证：（1）；
（2）.
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【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；
（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）∵，，，
∴，即，
又∵，
∴.
（2）由（1）知，
∴.
∵.
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．21cnjy.com
58．如图，BE，CD是的高，连接DE.
（1）求证：；
（2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：.
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【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由BE、CD是△ABC的高得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；
（2）由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而，然后证明，可得，根据中，M为BC的中点，可得，所以DE=DM．
【详解】
解：（1）∵BE，CD是的高，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
∴∠ABE=30°，
∴.
由（1）得，即，
又∵，
∴，
∴.
在中，M为BC的中点，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质．
59．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）．
【分析】
（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB AD．
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【详解】
解：（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
60．如图，已知平行四边形ABCD，AE与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F.
求证：△AFD∽△EAB．
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【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BE，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB，∠DCE＝∠B，即可得到结论．21·cn·jy·com
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，AB∥CD，∴∠DAE＝∠AEB，∠D＝∠DCE＝∠B，∴△AFD∽△EAB．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
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第05讲 相似三角形判定定理的证明
【基础训练】
一、单选题
1．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ）
A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
2．如图，，图中相似三角形共有（ ）
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A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
3．在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（ ）21教育网
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是( )
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A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．
B．
C．
D．
6．如图，经平移得到，、交于点，则图中共有相似三角形（ ）
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A．对 B．对 C．对 D．对
7．若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( )
A．m∶n＝a∶b B．m∶n＝b∶a C．a∶b＝n∶m D．a∶m＝n∶b
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
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A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
9．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD AB
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
11．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
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A． B． C． D．
12．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是( )
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A． B． C． D．
14．已知△MNP如图27 1，则下列四个三角形中与△MNP相似的是( )
A． B． C． D．
15．给出4个判断：
①所有的等腰三角形都相似， ②所有的等边三角形都相似，
③所有的直角三角形都相似， ④所有的等腰直角三角形都相似．
其中判断正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B．1 C． D．
17．D为△ABC边AB上一点，下列说法中错误的是 ( )
A．若∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC B．若∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC
C．若AC2=AD·AB，则△ACD∽△ABC D．若AC：CD=AB：BC， 则△ACD∽△ABC
18．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
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A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
19．如图，中，、分别在、上，下列条件中不能判断的是（ ）
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A． B． C． D．
20．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
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A． B． C． D．
21．下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
22．如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是( )
A．有一个角相等的两个等腰三角形
B．有一个角相等的两个直角三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．有一组角是对顶角的两个三角形
23．如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．① B．①③ C．①② D．①②③
24．如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，则图中的相似三角形对数共有（ ）21·世纪*教育网
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A．对 B．对 C．对 D．对
25．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似
②顶角对应相等的两个等腰三角形相似
③两条边对应成比例的两个直角三角形相似
其中正确的是( )
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
26．如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )2-1-c-n-j-y
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A．DE∥BC B．∠ADE=∠ACB C． D．
27．如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有（ ）
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
28．在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（ ）对相似三角形.
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A．1 B．2 C．3 D．4
29．如图，，，、分别交于点、，则图中相似的三角形有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
30．如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ）
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A．若，则与相似 B．若，则与相似
C．若，则与相似 D．若，则与相似
二、填空题
31．如图，添上条件________，则．
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32．如图，在中，D是边上的点，如果________或________，则.
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33．如图，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是_________.
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34．如图,在△ABC中,点P是AB边上的一点,连接CP,要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____.
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35．如图，是上的一点，要使，需补充的一个条件是________．
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三、解答题
36．如图，在中，，D是边上一点，连接.
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（1）要使，还需要补充一个条件是______；(只要求填一个）
（2）若，且，，求的长.
37．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
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38．如图，点是上的一点且，，求证：．
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39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证：△ADE∽△ABD.
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40．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． 求证：△ABC∽△DEC.21*cnjy*com
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41．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，
证明：△ACP∽△APD．
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42．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
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43．如图，已知、交于点，，，，，问与相似吗？为什么？
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44．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC=3，AB=6，求BD的值．
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45．如图，在中，交AC于E点，DE交AB于D点，若求BC的长．
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46．学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC中，BD、CE是高.21世纪教育网版权所有
（1）求证：AE·AB=AD·AC；
（2）若AD、AB的长是一元二次方程x2－8x＋15=0的根，求sin∠ACE的值.
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47．如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AD是∠CAB的平分线，AC=10，AB=8．
（1）求；（2）求AD的长．
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48．如图，在ΔABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值，
（2）求BC的长
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49．已知：如图，在△ABC中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．21cnjy.com
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50．已知：如图所示， AC、BD相交于点O，连接AB，CD，且∠ABD=∠ACD.
求证：△AOB∽△DOC
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51．如图，四边形中， ，平分，点是延长线上一点，且．
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（1）证明：；
（2）若与相交于点，，，求的长.
52．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求圆O的半径．21·cn·jy·com
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53．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠B=∠ACD，[若AD=4，BD=3，求AC的长．
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54．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若 AB=10，求AC的长．
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55．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
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56．如图1，两个全等的等边三角形如图放置，AC与DE交于点G，点D是AB的中点，BC与DF交于点K，连接GK.www-2-1-cnjy-com
（1）写出两对相似（不含全等）三角形；
（2）求证：；
（3）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然成立.【来源：21cnj*y.co*m】
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57．已知：如图，在四边形ABCD中，，，，.
求证：（1）；
（2）.
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58．如图，BE，CD是的高，连接DE.
（1）求证：；
（2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：.
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59．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
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（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
60．如图，已知平行四边形ABCD，AE与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F.
求证：△AFD∽△EAB．
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